1、基于小波變換的APF（用于三相不對稱電路）基于瞬時無功功率理論的電流檢測方法被廣泛應(yīng)用于電力有源濾波器。僅適合對稱的三相三線電路，不適合三相不對稱，三相四線和單相電路。小波理論分析1.連續(xù)小波變換小波是一個衰減的波形，它在有限的區(qū)域里存在（不為零），且其均值為零。圖是一個Daubechies小波(db10)與正弦波的比較。 傅里葉變換與小波變換基元 正弦波是振幅不變、隨時間無限振動的光滑波形，它是傅里葉變換的基礎(chǔ)。由圖看出，小波是尖銳變化而且是無規(guī)則的波形，這是小波變化的基礎(chǔ)。因此用小波能更好地刻畫信號的局部特性。 在數(shù)學(xué)上，傅里葉變換的公式為積分是從到。圖給出了傅里葉變換的示意圖。由圖看出，

2、原始信號是由不同的頻率成分構(gòu)成的。 信號 不同頻率分量的組成 信號傅里葉變換過程連續(xù)小波變換（Continue Wavelet Transform）的數(shù)學(xué)表示式為式中，為小波；a為尺度因子；b為平移參數(shù)。圖是小波變換的示意圖。由圖看出，小波變換給出了在各個時刻信號是由哪些尺度的小波構(gòu)成的。 信號 不同尺度和不同位置小波的組成 信號小波變換示意圖小波中的尺度因子的作用是將小波在保持完全相似條件下的“拉伸”或者“壓縮”。圖給出了尺度因子的“拉伸”和“壓縮”作用。小波中的位移參數(shù)，是簡單地將波形沿時間軸平移。 不同尺度下小波形狀2.離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機(jī)上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離

3、散化。這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。離散的目的是減少連續(xù)小波變換的信息冗余，同時又要保證反映出信號的特征信息。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，則相應(yīng)的離散小波函數(shù)為:相應(yīng)的離散小波變換為:其重構(gòu)公式為C是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。3.二進(jìn)制小波變換 上面是對尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b進(jìn)行離散化的要求。為了使小波變換具有可變化的時間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號的非平穩(wěn)性，需要改變a和b的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。換言之，在實際中采用的是動態(tài)的采樣網(wǎng)格。最常用的是二進(jìn)制的動態(tài)采樣網(wǎng)格，即，每個網(wǎng)格點對應(yīng)的尺度為

4、，而平移為。由此得到的小波 二進(jìn)小波對信號的分析具有變焦距的作用。假定有一放大倍數(shù)，它對應(yīng)為觀測到信號的某部分內(nèi)容。如果想進(jìn)一步觀看信號更小的細(xì)節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)即減小值；反之，若想了解信號更粗的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，即加大值。在這個意義上，小波變換被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。二進(jìn)小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對時間域上的平移參量仍保持連續(xù)變化，因此，二進(jìn)小波變換不破壞信號咋時間域上的平移不變量，這是它較之離散小波變換所具有的連續(xù)的獨特優(yōu)點。 時間域 頻率域 短時傅里葉變換 小波變換 （1）小波變換示意圖4.MALLAT算法濾波的基本原理Mallat算法在小波分析

5、中的地位相當(dāng)于快速傅里葉變換算法在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。關(guān)于多分辨率分析的理解，以一個三層的分解進(jìn)行說明，其小波分解樹如圖 三層多分辨率分析樹結(jié)構(gòu)圖從圖可以明顯看出，多分辨率分析只是對低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻不予以考慮。分解具有關(guān)系：.這里只是以一個層分解進(jìn)行說明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分。以下再分解依次類推。4.1康托爾（Cantor）間斷集設(shè),則是一個長度等于1的閉區(qū)間，現(xiàn)在將單位長度等分，去掉中間長度為的開區(qū)間，剩下的是左、右各長度的閉區(qū)間，用表示，則，接著再把中兩個長度各為的區(qū)間三等分，去掉中間的部分，其長度為的開區(qū)間，剩下的是，則，它是

6、由個長度等于的閉區(qū)間所構(gòu)成，如圖所示。如此繼續(xù)分割下去就得到一個無窮嵌套序列,其中是由個長度為的閉區(qū)間所組成，這些集的交集用D表示，則，這就是康托爾間斷集。因為是由個長度等于的閉區(qū)間所組成，它的總長度等于。所以D若是有長度的話，其長度等于如下極限：與閉區(qū)間同時存在的是開區(qū)間，記為,.不難看出，康托爾間斷集中任意兩個不同的開區(qū)間即交集是空集，說明它們是相互正交的，即為了方便，稱下標(biāo)為康托爾間斷集的尺度。4.2康托爾間斷集與希爾伯特空間的對應(yīng)關(guān)系 由圖易將康托爾間斷集與希爾伯特空間H聯(lián)系起來，建立二者之間的對應(yīng)關(guān)系。為此用H空間的子空間表示康托爾間斷集中的。每次去掉的部分用子空間表示，而每次剩余的

7、部分用子空間表示。顯然，任意兩個不同的開區(qū)間與的交集是，意味著它們彼此正交。同時與的交集并不是，因此與并不正交，在尺度為1時，分解為與的直和，即，就是在中的正交補空間，改變尺度繼續(xù)分割下去就有,可見，就是對空間結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)補充。同時就是在尺度下對的基本特征的表現(xiàn)。康托爾間斷集與希爾伯特空間的關(guān)系4.3康托爾間斷集的性質(zhì)由圖可以直觀地看出，康托爾間斷集有如下性質(zhì)：1.：即分辨率高的空間包含了分辨率低的空間 全部信息。2.，即。3.如果，則。4.若，則，即康托爾間斷集對于函數(shù)的平移是不變的。4.4 多分辨率分析多分辨率分析的實質(zhì)是滿足一定條件中的一系列子空間，其定義如下：在空間中的多分辨率分析是指滿

8、足下列條件的一空間序列:(1) 單調(diào)性：，;(2) 漸進(jìn)完全性：，；(3) 伸縮性：對任意，則；(4) 平移不變性：，則，;(5) 里茲（Riesz）基存在性：存在函數(shù)，使得構(gòu)成的里茲基，即對任意的，存在唯一的序列,使得。4.4.1空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基（尺度函數(shù)的引入） 由里茲基得存在性，設(shè)，則 (1)其傅里葉變換為 (2) 式中在多分辨分析中，稱為尺度函數(shù)。由多分辨率分析的性質(zhì)（3），可以得出空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基為，。尺度函數(shù)與小波在小波變換中起著重要作用，尺度函數(shù)時構(gòu)造小波的重要途徑。4.4.2的正交補空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基若，則可構(gòu)成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而由多分辨率分析的伸縮性，空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基為，。4

9、.4.3尺度函數(shù)的兩尺度方程和的性質(zhì) 尺度函數(shù)，當(dāng)和時有但，所以可以用展開，即 (3)其中 式(3)成為尺度函數(shù)的兩尺度差分方程。將式(2.3)兩邊取傅里葉變換， （4）其中稱為序列的傅里葉變換。序列或者與之等價的完全決定了多分辨率分析。4.4信號的多分辨率分析 將空間與空間結(jié)合起來，就相當(dāng)于希爾伯特空間H的正交分解，即實際測量的信號，只能得到有限的分辨率，假設(shè)對于尺度，該尺度就對應(yīng)著，然后在空間不斷變換尺度進(jìn)行越來越細(xì)的分解，用公式表示如下：4.5 濾波器脈沖系列和設(shè)為的多分辨率逼近，由多分辨率理論有 （5）為尺度函數(shù)，令，則 （6）是的規(guī)范正交基。將代入式（6），的規(guī)范正交基也可表示為（7

10、）為小波函數(shù)，令，則（8） 是的規(guī)范正交基。將代入式(8)，的規(guī)范正交基也可表示為 （9） 且 （10） 根據(jù)式（10），可以用空間的規(guī)范正交基表示空間的基函數(shù)，即令，則由內(nèi)積變成 （11）這正是式(3)中定義的，不過現(xiàn)在是。對任意，上式均成立。所以有（12）將代入上式，就得到等價表示式（13）（14）完全相似地可以得到小波函數(shù)的如下關(guān)系：（15）（16） （17）脈沖系列和是馬拉算法的基礎(chǔ)。4.6 二進(jìn)正交小波分解的物理意義由于為規(guī)范的正交基，對不同的，是正交的。所以由不同的所確定的頻帶是相互獨立的。隨著的變化，這些相互獨立的頻帶覆蓋了整個頻率軸。從頻譜分析角度看，二進(jìn)正交小波變換是 把信號

11、分解到一系列相互獨立的頻帶上，分辨率反映了頻帶的位置和帶寬。 在多分辨率分析理論中，是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。信號在空間的正交投影，稱為在分辨率為時的細(xì)節(jié)部分。顯然，為在分辨率時的近似信號，它是由分辨率為時的近似部分與細(xì)節(jié)部分之和構(gòu)成。綜上所述，對二進(jìn)正交小波分解可表示為如下：（1）當(dāng)分辨率為時，空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基為，則 （18）式中 （19）是帶通的，所以是由所確定的帶通頻帶對信號的貢獻(xiàn)，提供在分辨率為時的細(xì)節(jié)部分，而正交展開系數(shù)稱為離散細(xì)節(jié)。(2)當(dāng)分辨率為時，空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基為,則（20）式中 （21）它是相對所確定帶通頻帶的相鄰低通頻帶對信號的貢獻(xiàn)，稱為信號在分辨率為時的近似部

12、分，而是正交展開系數(shù)稱為離散近似。(3) （22） 它是由所確定的帶通頻帶與比其低且相鄰的低通頻帶之和的一段低通頻帶隊信號的貢獻(xiàn)，包含了信號的分辨率為時的近似和細(xì)節(jié)。 下圖說明了（22）的頻帶關(guān)系：和分別是分辨率為時的近似部分和細(xì)節(jié)部分的頻帶；而和分別是分辨率為時的近似和細(xì)節(jié)部分頻帶。是中的高頻部分，是中的低頻部分。式（2.22）的頻帶關(guān)系4.7MALLAT算法4.7.1小波分解根據(jù)，有（23）與 （24）將式（14）和式（17）定義的和代入式（23）和（24）有 （25）與 （26） 因此，由式（25）有 （27）即 （28）由式（26）有 （29）即 （30） 令，則式（28）與式（30）

13、 （31） （32）上面兩式就是小波分解的馬拉算法。圖表示小波分解的馬拉算法，表示抽樣，即從到和，樣點數(shù)減少一半。 小波分解的馬拉算法4.7.2小波重構(gòu) 根據(jù)，及與兩個正交基之和就是的正交基，有 （33）與小波分解馬拉算法推導(dǎo)相同，引入系數(shù)和，上式化簡為 （34）即 （35） 上式即為小波重構(gòu)的馬拉算法。圖為這種算法的示意圖，表示內(nèi)插，即有和到，樣點數(shù)增加一倍。 小波重構(gòu)的馬拉算法示意如果從信號處理的觀點來看，小波分解與重構(gòu)算法，實質(zhì)上是一種濾波處理過程。根據(jù)信號處理理論，如果一個線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為，則該線性系統(tǒng)對信號的響應(yīng)可由卷積運算來表示 （36）式 （36）代表了系統(tǒng)對輸入信號的濾波處理，由卷積定理得頻域關(guān)系 （37） 這種濾波處理將包括三種情形：低通濾波，即，；高通濾波，即，；帶通濾波，即，及。將其用于離散信號處理有 （38）式（38）與式（31），（32）進(jìn)行比較可由看出，近似部分分別與序列和作卷積運算，即作濾波處理，不同的是它們的下標(biāo)順序與常規(guī)的順序不同。在式（31），（32）中卷積的形式為、。卷積是對所有的值作卷積運算，或者說對而言是全濾波，而、則是對作卷積運算，缺少了的奇數(shù)部