1、12 排隊(duì)論簡(jiǎn)介： 排隊(duì)論(Queuing Theory)，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論(Random Service System Theory),是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)主要分支，是一門研究擁擠現(xiàn)象(排隊(duì)、等待)的科學(xué)。具體地說(shuō)，它是在研究各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制問(wèn)題。主要包含以下三個(gè)方面的研究?jī)?nèi)容： (1)性態(tài)問(wèn)題，即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，如隊(duì)長(zhǎng)、等待時(shí)間、忙期等要素滿足的分布。有瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情況。 (2)最優(yōu)化問(wèn)題，包括最優(yōu)設(shè)計(jì)下的靜態(tài)最優(yōu)和現(xiàn)有排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營(yíng)下的動(dòng)態(tài)最優(yōu)。 (3)排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合何種模型，以便進(jìn)一

2、步根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究。 前前 言言3 起源于起源于19091909年在丹麥哥本哈根電子公司工作的電話工程年在丹麥哥本哈根電子公司工作的電話工程師師A. K. Erlang(A.K.A. K. Erlang(A.K.愛(ài)爾朗愛(ài)爾朗) )對(duì)電話通話擁擠問(wèn)題的研究工作，對(duì)電話通話擁擠問(wèn)題的研究工作，其開(kāi)創(chuàng)性論文其開(kāi)創(chuàng)性論文-概率論和電話通訊理論則標(biāo)志此理論的誕生。概率論和電話通訊理論則標(biāo)志此理論的誕生。表明了排隊(duì)論的發(fā)展最早是與電話，通信中的問(wèn)題相聯(lián)系的，表明了排隊(duì)論的發(fā)展最早是與電話，通信中的問(wèn)題相聯(lián)系的，并到現(xiàn)在也還是排隊(duì)論的傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域。近年來(lái)在計(jì)算機(jī)通并到現(xiàn)在也還是排隊(duì)論的傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)

3、域。近年來(lái)在計(jì)算機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、各類生產(chǎn)服務(wù)、庫(kù)存訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、各類生產(chǎn)服務(wù)、庫(kù)存管理等等各領(lǐng)域中均得到廣泛的應(yīng)用。管理等等各領(lǐng)域中均得到廣泛的應(yīng)用。 排隊(duì)論歷史： 排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。例如：搭乘公共排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。例如：搭乘公共汽車；顧客到商店購(gòu)買物品；病員到醫(yī)院看病；旅客到售票處購(gòu)買車票；汽車；顧客到商店購(gòu)買物品；病員到醫(yī)院看病；旅客到售票處購(gòu)買車票；學(xué)生去食堂就餐等就常常出現(xiàn)排隊(duì)和等待現(xiàn)象。除了上述學(xué)生去食堂就餐等就常常出現(xiàn)排隊(duì)和等待現(xiàn)象。除了上述有形的排隊(duì)有形的排隊(duì)之外，之外，還有大量的所

4、謂還有大量的所謂“無(wú)形無(wú)形”排隊(duì)排隊(duì)現(xiàn)象，如幾個(gè)顧客打電話到出租汽車站要求現(xiàn)象，如幾個(gè)顧客打電話到出租汽車站要求派車，如果出租汽車站無(wú)足夠車輛、則部分顧客只得在各自的要車處等待，派車，如果出租汽車站無(wú)足夠車輛、則部分顧客只得在各自的要車處等待，他們分散在不同地方，卻形成了一個(gè)無(wú)形隊(duì)列在等待派車。排隊(duì)的不一定他們分散在不同地方，卻形成了一個(gè)無(wú)形隊(duì)列在等待派車。排隊(duì)的不一定是人，也可以是物：例如：通訊衛(wèi)星與地面若干待傳遞的信息；生產(chǎn)線上是人，也可以是物：例如：通訊衛(wèi)星與地面若干待傳遞的信息；生產(chǎn)線上的原料、半成品等待加工；因故障停止運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器等待工人修理；碼頭的的原料、半成品等待加工；因故障停止運(yùn)

5、轉(zhuǎn)的機(jī)器等待工人修理；碼頭的船只等待裝卸貨物；要降落的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤旋等等。船只等待裝卸貨物；要降落的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤旋等等。 排隊(duì)論具體事例： 4 上述事例中的各種問(wèn)題雖互不相同，但卻都上述事例中的各種問(wèn)題雖互不相同，但卻都有要求得到某種服務(wù)的人或物和提供服務(wù)的人或有要求得到某種服務(wù)的人或物和提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)。排隊(duì)論里把要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱為機(jī)構(gòu)。排隊(duì)論里把要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱為“顧顧客客”, ,而把提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)稱為而把提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)稱為“服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)”或或“服務(wù)員服務(wù)員”。不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣。不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣的服務(wù)系統(tǒng)。顧客為了得到某種服

6、務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)、的服務(wù)系統(tǒng)。顧客為了得到某種服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)、若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊(duì)等待，則加入若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)。等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)。5模型模型1 1 單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型排隊(duì)模型及類型排隊(duì)模型及類型 根據(jù)顧客到達(dá)和服務(wù)臺(tái)數(shù)，排隊(duì)過(guò)程可用下列模型表示：模型模型2 2 單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)模型單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)模型6模型模型3 3 多隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)的并聯(lián)排隊(duì)模型多隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)的并聯(lián)排隊(duì)模型模型模型4 4 單隊(duì)多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)模型單隊(duì)多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)模型7 模型模型5 5 多隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模型

7、多隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模型縱觀上述排隊(duì)模型，實(shí)際上都可由下面模型加以統(tǒng)一描述：縱觀上述排隊(duì)模型，實(shí)際上都可由下面模型加以統(tǒng)一描述： 稱該統(tǒng)一模型為隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)。稱該統(tǒng)一模型為隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)。由于顧客到來(lái)的時(shí)刻和服務(wù)臺(tái)提由于顧客到來(lái)的時(shí)刻和服務(wù)臺(tái)提供服務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)短都是隨機(jī)的，因此供服務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)短都是隨機(jī)的，因此任一排隊(duì)系統(tǒng)都是一個(gè)隨機(jī)聚散任一排隊(duì)系統(tǒng)都是一個(gè)隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)。服務(wù)系統(tǒng)。 “聚聚”表示顧客的到達(dá)表示顧客的到達(dá),“,“散散”表示顧客的離去。表示顧客的離去。8 面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊(duì)，面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊(duì)，通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施，但是增

8、加的數(shù)量越多，通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施，但是增加的數(shù)量越多，人力、物力的支出就越大，甚至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費(fèi)，如人力、物力的支出就越大，甚至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費(fèi)，如果服務(wù)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等待的時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng)，這果服務(wù)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等待的時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng)，這樣對(duì)顧客會(huì)帶來(lái)不良影響。樣對(duì)顧客會(huì)帶來(lái)不良影響。 顧客排隊(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小，就顧客排隊(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小，就構(gòu)成了設(shè)計(jì)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的一對(duì)矛盾。構(gòu)成了設(shè)計(jì)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的一對(duì)矛盾。 如何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)，又使服務(wù)如何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)，又使服務(wù)設(shè)施費(fèi)用經(jīng)濟(jì)合理，恰當(dāng)?shù)亟鉀Q顧客排隊(duì)時(shí)間與服務(wù)設(shè)施費(fèi)用經(jīng)濟(jì)合理，

9、恰當(dāng)?shù)亟鉀Q顧客排隊(duì)時(shí)間與服務(wù)設(shè)施費(fèi)用大小這對(duì)矛盾。這就是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論設(shè)施費(fèi)用大小這對(duì)矛盾。這就是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題。排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題。9 一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征 排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：1.1.輸輸入過(guò)程；入過(guò)程；2.2.排隊(duì)規(guī)則；排隊(duì)規(guī)則；3.3.服務(wù)機(jī)構(gòu)。如下圖所服務(wù)機(jī)構(gòu)。如下圖所示：示： 排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念10 1、輸入過(guò)程 輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況：輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況： 1 1）顧客源可能是有限的，也可能是無(wú)限的。）顧客源可能是有限的，也可能是無(wú)限

10、的。 2 2）顧客是成批到達(dá)或是單個(gè)到達(dá)。）顧客是成批到達(dá)或是單個(gè)到達(dá)。 3 3）顧客到達(dá)間隔時(shí)間可能是隨機(jī)的或確定的。）顧客到達(dá)間隔時(shí)間可能是隨機(jī)的或確定的。 4 4）顧客到達(dá)可能是相互獨(dú)立或關(guān)聯(lián)的。所謂獨(dú)）顧客到達(dá)可能是相互獨(dú)立或關(guān)聯(lián)的。所謂獨(dú)立就是以前顧客的到達(dá)對(duì)以后顧客的到達(dá)無(wú)影響。立就是以前顧客的到達(dá)對(duì)以后顧客的到達(dá)無(wú)影響。 5 5）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的。）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的。輸入過(guò)程平穩(wěn)的是指顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和輸入過(guò)程平穩(wěn)的是指顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和參數(shù)（均值、方差）與時(shí)間無(wú)關(guān)；非平穩(wěn)的則是與時(shí)參數(shù)（均值、方差）與時(shí)間無(wú)關(guān)；非平

11、穩(wěn)的則是與時(shí)間相關(guān)，非平穩(wěn)的處理比較困難。間相關(guān)，非平穩(wěn)的處理比較困難。11 這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序。可以分為序。可以分為損失制、等待制、混合制損失制、等待制、混合制3 3大類。大類。 (1)(1)損失制。損失制。這是指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，這是指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被先來(lái)的顧客占用，那么他們就自所有服務(wù)臺(tái)都已被先來(lái)的顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)永不再來(lái)。動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)永不再來(lái)。 典型例子是，如電話拔號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客不典型例子是，如電話拔號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客不愿等待而自動(dòng)掛斷電話，如要再打，就需重新拔愿等待而自動(dòng)掛

12、斷電話，如要再打，就需重新拔號(hào)，這種服務(wù)規(guī)則即為損失制。號(hào)，這種服務(wù)規(guī)則即為損失制。 2 2、排隊(duì)規(guī)則、排隊(duì)規(guī)則12 (2)(2)等待制等待制。指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)。指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)。都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)。 例如，排隊(duì)等待售票，故障設(shè)備等待維修等。例如，排隊(duì)等待售票，故障設(shè)備等待維修等。 等待制中，服務(wù)臺(tái)在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)，常有等待制中，服務(wù)臺(tái)在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)，常有如下四種規(guī)則：如下四種規(guī)則： 先到先服務(wù)（先到先服務(wù)（FCFS FCFS ）。按顧客到達(dá)的先后順。按顧客到達(dá)的先后順序?qū)︻櫩瓦M(jìn)行服務(wù)，這是最普遍的情形。序?qū)︻?/p>

13、客進(jìn)行服務(wù)，這是最普遍的情形。 后到先服務(wù)（后到先服務(wù)（LCFSLCFS）。倉(cāng)庫(kù)中迭放的鋼材，。倉(cāng)庫(kù)中迭放的鋼材，后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。13 隨機(jī)服務(wù)隨機(jī)服務(wù)(RAND) 。即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑。即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)序列而隨意指定某個(gè)顧客去時(shí)，不按照排隊(duì)序列而隨意指定某個(gè)顧客去接受服務(wù)，如電話交換臺(tái)接通呼叫電話就是接受服務(wù)，如電話交換臺(tái)接通呼叫電話就是一例。一例。 優(yōu)先權(quán)服務(wù)優(yōu)先權(quán)服務(wù)(PR)。如老人、兒童先進(jìn)。如老人、兒童先進(jìn)車站；危重病員先就診；遇到重要數(shù)據(jù)需要車站；危重病員先就診；遇到重要數(shù)據(jù)需要處理計(jì)算機(jī)立即中斷其他數(shù)據(jù)的處理

14、等，均處理計(jì)算機(jī)立即中斷其他數(shù)據(jù)的處理等，均屬于此種服務(wù)規(guī)則。屬于此種服務(wù)規(guī)則。14 (3)(3)混合制混合制這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去。具體說(shuō)來(lái)，大致有三種： 隊(duì)長(zhǎng)有限。隊(duì)長(zhǎng)有限。當(dāng)排隊(duì)等待服務(wù)顧客人數(shù)超過(guò)規(guī)定數(shù)量時(shí)，后來(lái)顧客就自動(dòng)離去，另求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。例如最多只能容納N個(gè)顧客在系統(tǒng)中，當(dāng)新顧客到達(dá)時(shí)，若系統(tǒng)中的顧客數(shù)(又稱為隊(duì)長(zhǎng))小于N，則可進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)或接受服務(wù)；否則，便離開(kāi)系統(tǒng)，并不再回來(lái)。再如水庫(kù)的庫(kù)容是有限的，旅館的床位是有限的。15 等待時(shí)間有限等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不超

15、過(guò)某一給定的長(zhǎng)度等待時(shí)間不超過(guò)某一給定的長(zhǎng)度T T，當(dāng)?shù)却?dāng)?shù)却龝r(shí)間超過(guò)時(shí)間超過(guò)T T時(shí)，顧客自動(dòng)離去，不再回來(lái)。時(shí)，顧客自動(dòng)離去，不再回來(lái)。 如易損壞的電子元器件的庫(kù)存問(wèn)題，如易損壞的電子元器件的庫(kù)存問(wèn)題，超過(guò)一定存儲(chǔ)時(shí)間被自動(dòng)認(rèn)為失效。超過(guò)一定存儲(chǔ)時(shí)間被自動(dòng)認(rèn)為失效。 又如顧客到飯館就餐，等了一定時(shí)間后又如顧客到飯館就餐，等了一定時(shí)間后不愿再等而自動(dòng)離去另找飯店用餐。不愿再等而自動(dòng)離去另找飯店用餐。16 逗留時(shí)間逗留時(shí)間( (等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和) )有有限。限。 例如用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射例如用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時(shí)間為炮射擊

16、有效區(qū)域的時(shí)間為t t時(shí)，若在這個(gè)時(shí)間時(shí)，若在這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。 不難注意到，損失制和等待制可看成是混不難注意到，損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記合制的特殊情形，如記c c為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)數(shù)，則當(dāng)K=cK=c 時(shí)，混合制即成為損失制；當(dāng)時(shí)，混合制即成為損失制；當(dāng)K=K=時(shí)，混合制即成為等待制。時(shí)，混合制即成為等待制。173 3、服務(wù)臺(tái)、服務(wù)臺(tái) 服務(wù)臺(tái)可以從以下3方面來(lái)描述： (1) 服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成形式服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成形式。從數(shù)量上說(shuō)，服務(wù)臺(tái)有單服務(wù)臺(tái)和多服務(wù)臺(tái)之分。從構(gòu)成形式上看，服務(wù)臺(tái)有：?jiǎn)侮?duì)

17、單服務(wù)臺(tái)式； 單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式； 多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式； 單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)式； 單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式,以及多隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式等等。 如之前的分類模型圖所示。如之前的分類模型圖所示。18 (2) 服務(wù)方式服務(wù)方式。這是指在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，它有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種。如公共汽車一次就可裝載一批乘客就屬于成批服務(wù)。 (3) 服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)時(shí)間的分布。一般來(lái)說(shuō)，在多數(shù)情況下，對(duì)每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是一隨機(jī)變量，其概率分布有定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布、K階愛(ài)爾朗分布、一般分布(所有顧客的服務(wù)時(shí)間都是獨(dú)立同分布的)等等。19排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)與模型分類排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)與模型分類 為了

18、區(qū)別各種排隊(duì)系統(tǒng)，根據(jù)輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)制的變化對(duì)排隊(duì)模型進(jìn)行描述或分類，可給出很多排隊(duì)模型(見(jiàn)前面分析與圖示)。為了方便對(duì)眾多模型的描述,DG肯道爾（DGKendall）提出了一種目前在排隊(duì)論中被廣泛采用的“Kendall記號(hào)”，完整的表達(dá)方式通常用到6個(gè)符號(hào)并取如下固定格式：X X/Y/Z/A/B/C/Y/Z/A/B/C 各符號(hào)的意義如下：X X-表示顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布，表示顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布，常用下列符號(hào)：常用下列符號(hào)： MM表示到達(dá)過(guò)程為泊松過(guò)程或表示到達(dá)過(guò)程為泊松過(guò)程或( (負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布Markov)Markov)； DD表示定長(zhǎng)輸入表示定長(zhǎng)輸入( (確定

19、型分布確定型分布Deterministic)Deterministic)； E EK K表示表示k k階愛(ài)爾朗分布；階愛(ài)爾朗分布； GI GI 一般相互獨(dú)立的隨機(jī)分布一般相互獨(dú)立的隨機(jī)分布( (General Independent)General Independent) G G表示一般的隨機(jī)分布。表示一般的隨機(jī)分布。20 Y Y-表示服務(wù)時(shí)間分布，表示服務(wù)時(shí)間分布，所用符號(hào)與表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間分布相同。所用符號(hào)與表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間分布相同。 Z-Z-表示服務(wù)臺(tái)表示服務(wù)臺(tái)( (員員) )個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：“1”1”則表示單個(gè)服務(wù)臺(tái)，則表示單個(gè)服務(wù)臺(tái)，“s”s”。(s(s1)1)表表示多個(gè)服務(wù)臺(tái)

20、。示多個(gè)服務(wù)臺(tái)。 A-A-表示系統(tǒng)中顧客容量限額，表示系統(tǒng)中顧客容量限額，或稱等待空間容量；或稱等待空間容量； 如系統(tǒng)有如系統(tǒng)有K K個(gè)等待位子，則個(gè)等待位子，則 0K0K0),P(t0),Pn n(t1,t2)(t1,t2)表示在時(shí)間區(qū)間表示在時(shí)間區(qū)間t1,t2)(t2t1)t1,t2)(t2t1)內(nèi)有內(nèi)有n(0)n(0)個(gè)顧客到達(dá)的概率。即：個(gè)顧客到達(dá)的概率。即：)()(,1221ntNtNPttPn （t2t1，n0） 當(dāng)當(dāng)P Pn n(t1,t2)(t1,t2)同時(shí)符合下述三個(gè)條件時(shí)，顧客到達(dá)過(guò)程就是同時(shí)符合下述三個(gè)條件時(shí)，顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)程泊松過(guò)程( (顧客到達(dá)形成顧客到達(dá)形成

21、泊松泊松流流) )。 1 1、泊松分布、泊松分布27 無(wú)后效性：無(wú)后效性：各區(qū)間的到達(dá)相互獨(dú)立各區(qū)間的到達(dá)相互獨(dú)立, ,即即MarkovMarkov性。性。. . . . . . . t0 t1 t2 tn-1 tn|)(|)(11112211)()(,.,)(,)(nnnnxtxnxtxxtxxtxnntxPntxP 也就是說(shuō)過(guò)程在也就是說(shuō)過(guò)程在t+tt+t所處的狀態(tài)與所處的狀態(tài)與t t以前所處的狀以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。態(tài)無(wú)關(guān)。 平穩(wěn)性：平穩(wěn)性：即對(duì)于足夠小的即對(duì)于足夠小的tt，有：，有：)()(tttttP ，1泊松流具有如下特性：泊松流具有如下特性： 在在t,t+tt,t+t內(nèi)有一個(gè)顧客到

22、達(dá)的概率與內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與t t無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), ,而與而與tt成正比。成正比。28 普通性：普通性：對(duì)充分小的對(duì)充分小的t,t,在時(shí)間區(qū)間（在時(shí)間區(qū)間（t,t+tt）內(nèi)有內(nèi)有2 2個(gè)或個(gè)或2 2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是一高階無(wú)窮小個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是一高階無(wú)窮小. . 由此知，在由此知，在(t，t+t)t)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：)(1),(0tottttP 令令t1 1=0,t=0,t2 2=t,=t,則則P(tP(t1 1,t,t2 2)=P)=Pn n(0,t)=P(0,t)=Pn n(t)(t) 0 0 是常數(shù)，它是常數(shù)，它表示單位時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)，

23、稱表示單位時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)，稱為概率強(qiáng)度。為概率強(qiáng)度。2)(),(nntotttP 即即 P P0 0+P+P1 1+P+P22=1=1 下面將討論求關(guān)鍵的下面將討論求關(guān)鍵的P Pn n(t)(t)。 29情情 形形 0 0， t t) ) 概概 率率 t t， t t+ + t t) ) 概概 率率 0 0， t t+ + t t ） A A n n P Pn n( (t t) ) 0 0 1 1- - t t + + O O( ( t t) ) P Pn n( (t t) )( (1 1- - t t + + O O( ( t t) ) ) B B n n- -1 1 P Pn n- -1

24、 1( (t t) ) 1 1 t t P Pn n- -1 1( (t t) ) t t n n- -2 2 P Pn n- -2 2( (t t) ) 2 2 n n- -3 3 P Pn n- -3 3( (t t) ) 3 3 . . . . . . . . . . . . C C 0 0 P P0 0( (t t) ) n O O( ( t t) ) O O( ( t t) ) 在在00，t+tt+t內(nèi)到達(dá)內(nèi)到達(dá)n n個(gè)顧客應(yīng)是上面三種互不相個(gè)顧客應(yīng)是上面三種互不相容的情況之一，所以有：容的情況之一，所以有： 為了求為了求Pn(t),即即Pn(0,t)，需要研究它在（，需要研究它在（

25、t，t+tt）上的改變）上的改變量量, ,建立建立P Pn n(t)(t)的微分方程。對(duì)于區(qū)間的微分方程。對(duì)于區(qū)間0,0,t+t)+t)可以分成可以分成00，t)t)和和tt，t+t),t+t),其到達(dá)總數(shù)是其到達(dá)總數(shù)是n n，不外有下列三種情況：，不外有下列三種情況：00,()0,nnnn kkkPttP ttPt P t tt30 令令t0t0取極限（并注意初始條件）得：取極限（并注意初始條件）得：)()()(1tPtPdttdPnnn (3)(3) 當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，沒(méi)有時(shí)，沒(méi)有B，C兩種情況，則：兩種情況，則：)()(00tPdttdP1)0(0P (4)(4)()()1)()(1tOtt

26、PttPttPnnn)()()()()(1tOttPttPtPttPnnnnttOtPtPttPttPnnnn)()()()()(1 湊微分湊微分 區(qū)間長(zhǎng)度（區(qū)間長(zhǎng)度（0 0，0 0）有有n n個(gè)顧客到達(dá)個(gè)顧客到達(dá) (0,t)(0,t)有有n-1,n-2n-1,n-2個(gè)個(gè)顧客到達(dá)顧客到達(dá)(0)0nP 即：即：31ln10tCC C C = 0 = 00ln( )Ptt （3 3）式兩端乘）式兩端乘e e t t并移項(xiàng)得：并移項(xiàng)得： te)t(P 0 (5)(5) （沒(méi)有顧客到達(dá)的概率）（沒(méi)有顧客到達(dá)的概率）dtPtdP )()(0000ln( )P ttC 兩邊積分得：兩邊積分得： 代入初始條

27、件代入初始條件( (t=0)t=0)有：有： P P0 0(0)=1(0)=1)t(P)t(Pdt)t(dPnnn1 )()(00tPdttdP(0)0nP32 將將n=1,2,3代入（代入（6）得：）得：tntnetPetPdtd )()(1 11101)()(dtetPetPtnttn (6)(6)110011)()(dtetPetPttt (注意利用注意利用(5)式式)tdteettt 1011tntntne )t (Pe )t (Pedt)t (dP 1tntnnte )t(Pe )t(Pdt)t(dPe 1 湊成湊成P Pn n(t)e(t)e t t兩兩項(xiàng)乘積的微分項(xiàng)乘積的微分 兩

28、邊積分兩邊積分te)t(P 033 如此繼續(xù)遞推下去得：如此繼續(xù)遞推下去得：tettP !2)()(22 （2 2個(gè)顧客到達(dá)的概率）個(gè)顧客到達(dá)的概率） （n n個(gè)顧客到達(dá)的概率）個(gè)顧客到達(dá)的概率）tnnenttP !)()( 即隨機(jī)變量即隨機(jī)變量N(t)=n服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望和方差為：和方差為：ttetP )(1 （1 1個(gè)顧客到達(dá)的概率）個(gè)顧客到達(dá)的概率）11011102111)()(dteetdtetPetPtttttt 2221t 34 引入級(jí)數(shù)引入級(jí)數(shù).!nx.!xxenx 212 tkke!k)t( 0!)()()(11ntnetnPtNEnntnn

29、 )!1()(11 nttennt 令令k=n-1，則：，則：!)()(0kttetNEkkt tetetNEtt )(352121)()!1()()!2()(tntntttennnt tttttettett 22)()1()1(ttar )(N(V 即即：21221)(!)()()(tntnnettPnnntnn 22E(N(t)EN(t)( tNVar 同理方差為：同理方差為：211121)()!1()()!1()() 1()()!1()(tntntntetntnnennntnnt 說(shuō)明顧客到達(dá)過(guò)程確實(shí)是一個(gè)說(shuō)明顧客到達(dá)過(guò)程確實(shí)是一個(gè)泊松過(guò)程泊松過(guò)程( (泊松泊松流流) )，這也是泊松分布

30、的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。這也是泊松分布的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。36 其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：tTTedtdF)t(f t0t02 2、負(fù)指數(shù)分布、負(fù)指數(shù)分布 當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，我們研究?jī)深櫩拖嗬^到當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，我們研究?jī)深櫩拖嗬^到達(dá)的時(shí)間間隔的概率分布。達(dá)的時(shí)間間隔的概率分布。 設(shè)設(shè)T T為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為F FT T（t t），則：），則：F FT T（t t）=PTt=PTt 此概率等價(jià)于在此概率等價(jià)于在0,t)0,t)區(qū)間內(nèi)至少有區(qū)間內(nèi)至少有1 1個(gè)顧客到達(dá)個(gè)顧客到達(dá)的概率。的概率。tTetPtF 1)(1)(0 t0t0tetP)(0 沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：沒(méi)

31、有顧客到達(dá)的概率為： (由（由（5）式而來(lái)）式而來(lái)) 間隔：間隔： 間隔：間隔： 間隔間隔 對(duì)分布函對(duì)分布函數(shù)微分?jǐn)?shù)微分37 表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)。表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)。 1/表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間。表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間。 可以證明，間隔時(shí)間可以證明，間隔時(shí)間T T獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與顧客到達(dá)形成泊松流是等價(jià)的。負(fù)指數(shù)分布是一種無(wú)顧客到達(dá)形成泊松流是等價(jià)的。負(fù)指數(shù)分布是一種無(wú)記憶性的分布。記憶性的分布。對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間 ：系統(tǒng)處于忙期時(shí)系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離兩顧客相繼離開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間間隔開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布

32、。，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布。 即即T服從負(fù)指數(shù)分布，它的期望及方差為：服從負(fù)指數(shù)分布，它的期望及方差為： 1TE21 TVar 接受服務(wù)，然后離開(kāi)接受服務(wù)，然后離開(kāi)服務(wù)時(shí)間的分布：服務(wù)時(shí)間的分布：即：即：P(Xt+s|Xt)=P(Xs)P(Xt+s|Xt)=P(Xs)38其中：其中：表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)的顧客數(shù)，即平均表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)的顧客數(shù)，即平均 服務(wù)率。服務(wù)率。 1/1/表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。3 3、愛(ài)爾朗、愛(ài)爾朗(Erlang)(Erlang)分布分布 設(shè)設(shè)v v1 1, v, v2 2，, v, vk k是是k k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同個(gè)

33、獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)參數(shù) k k 的負(fù)指數(shù)分布，那么：的負(fù)指數(shù)分布，那么：tetF 1)(tetf )( ，則，則 令令 ，則，則稱為服務(wù)強(qiáng)度稱為服務(wù)強(qiáng)度。kT 21 令令39 串列串列k k個(gè)服務(wù)臺(tái)個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)相同負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)k k ），那么一顧客走完），那么一顧客走完k k個(gè)服個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間服從上述務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間服從上述k k階階ErlangErlang分布。分布。011 te)!k()kt(k)t (ftkkk 則稱則稱T服從服從k階階愛(ài)爾朗分布。其特征值為：愛(ài)爾朗分布。其特征值為：

34、1TE21 kTVar ,其概率密度是其概率密度是1/ k1/ k表示一個(gè)顧客一個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)間。表示一個(gè)顧客一個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)間。 其他常用的分布參見(jiàn)教材其他常用的分布參見(jiàn)教材P122-123P122-123，也可參見(jiàn)概，也可參見(jiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)教程。率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)教程。40生滅過(guò)程生滅過(guò)程1、生滅過(guò)程簡(jiǎn)介、生滅過(guò)程簡(jiǎn)介 一類非常重要且廣泛存在的排隊(duì)系統(tǒng)是生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)。生滅過(guò)程是一類特殊的隨機(jī)過(guò)程，在生物學(xué)、物理學(xué)、運(yùn)籌學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。 2 2、生滅過(guò)程的定義、生滅過(guò)程的定義 設(shè)N(t),t0 為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 如N(t)的概率分布具有以下性質(zhì)： (1)假設(shè)N(t)=

35、n，則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布，n=0，1，2，。間隔時(shí)間分布間隔時(shí)間分布 (2)假設(shè)N(t)=n，則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客離去時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布，n=0，1，2，。服務(wù)時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間分布 (3)同一時(shí)刻只有一個(gè)顧客到達(dá)或離去。 則稱設(shè)N(t),t0 為一個(gè)生滅過(guò)程。41 顧客到達(dá)“生”； 顧客離開(kāi)“滅” n ， n ，生滅過(guò)程示意圖：顧客到達(dá)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去42 一般說(shuō)來(lái)，得到 是比較困難的或非理論作用不太大，因此通常是求當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后的狀態(tài)分布，記為 , n=0,1,2, 為求平穩(wěn)分布 ，考慮系統(tǒng)在 t+t 時(shí)刻可能處

36、的任一狀態(tài)n的概率。可給出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：np( )( ) ( )nN tp tP N tn的分布np狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 說(shuō)明：說(shuō)明：n n狀態(tài)下，排隊(duì)系統(tǒng)中的人數(shù)穩(wěn)定為狀態(tài)下，排隊(duì)系統(tǒng)中的人數(shù)穩(wěn)定為n,n=0,1,2,.,n,n=0,1,2,.,即進(jìn)了多少個(gè)就要出去多少個(gè)。即進(jìn)了多少個(gè)就要出去多少個(gè)。43方式方式 t t時(shí)刻狀態(tài)時(shí)刻狀態(tài)t t狀態(tài)的狀態(tài)的概率概率（t,t+tt,t+t）內(nèi)發(fā)生）內(nèi)發(fā)生的事件的事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率1n nP Pn n(t)(t)0 0人到達(dá)，人到達(dá)，0 0人離去人離去 （1-n nt） (1-n nt) 2n -1n -1P Pn-1n-1(t)(t)1

37、1人到達(dá)，人到達(dá)，0 0人離去人離去 n-1n-1t (1-n-1n-1t) 3n +1n +1P Pn+1n+1(t)(t)0 0人到達(dá)，人到達(dá)，1 1人離去人離去(1-n+1n+1t) n+1n+1t 4n nP Pn n(t)(t)1 1人到達(dá)，同時(shí)人到達(dá)，同時(shí)1 1人離人離去去(n nt) (n nt) 各種方式下發(fā)生概率表（保證各種方式下發(fā)生概率表（保證n狀態(tài)狀態(tài):t+tt時(shí)刻時(shí)刻穩(wěn)定有穩(wěn)定有n個(gè)人）個(gè)人） 說(shuō)明：狀態(tài)說(shuō)明：狀態(tài)n n下，下，1 1人到達(dá)的概率約為人到達(dá)的概率約為 n ntt，1 1人離去的概人離去的概率約為率約為 n ntt，0 0人到達(dá)的概率約為人到達(dá)的概率約為1

38、-1-n ntt，0 0人離去的概率約為人離去的概率約為1-1-n ntt。( (根據(jù)根據(jù)泊松流的特征得到泊松流的特征得到) )44又因?yàn)榍笆龇绞?，2，3，4是互不相容且完備互不相容且完備的，因此有：111111()( ) (1)(1)( ) ()(1)( ) (1)()( ) ()()nnnnnnnnnnnnnP ttP tttPtttPtttP ttt 0()( )limnntP ttP tt1111( )( )()( )nnnnnnnPtP tPt對(duì)上式展開(kāi)并構(gòu)造如下極限式： ，則有：，則有： 這剛好就是這剛好就是P Pn n(t)(t)對(duì)對(duì)t t的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 事件事件(0,t+(

39、0,t+t)t)發(fā)生可發(fā)生可看作事件看作事件(0,t(0,t）和事件）和事件(t,t+(t,t+t)t)同時(shí)發(fā)生。因同時(shí)發(fā)生。因此：此：P(0,t+P(0,t+t)= t)= P(0,t)P(t,t+P(0,t)P(t,t+t)t)45當(dāng)n=0時(shí)，只有方式1和3，4發(fā)生，且方式1中無(wú)離去的概率為1，則:00011( )( )( )dP tP tP tdt 設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)的，即與時(shí)刻t無(wú)關(guān)，于是可得：( )0ndPtdt0011111100()0,1,2,nnnnnnnPPnPPPn令P0已知，可用遞推方法求得：4600110PP0101()PP0011122()0PPP1111122()0PPP

40、012011122()PPP 120011.nnnnnPP記12011.nnnnnC則平穩(wěn)狀態(tài)的分布為：0nnPC P 下面求下面求P P0 0。47由概率分布的要求：01nnP0111nnCP有：0111nnPC即綜上述，得到各狀態(tài)平衡時(shí)的概率分布遞推計(jì)算式如下：12001101.11nnnnnnnPPPC 所以關(guān)鍵是得到各狀態(tài)下單位時(shí)間單位時(shí)間到達(dá)和離開(kāi)的人數(shù)：,0 ,1,nnn48例：某小型超市有一個(gè)收款臺(tái)。付款顧客以每小時(shí)30人的負(fù)指數(shù)分布到達(dá)。當(dāng)收款臺(tái)前只有一名顧客時(shí)，有一名收款員單獨(dú)服務(wù)，收款時(shí)間為平均1.5min的負(fù)指數(shù)分布；當(dāng)有2名或以上顧客時(shí)，將增加一名助手共同為顧客服務(wù)，收

41、款時(shí)間將縮短至平均1min的負(fù)指數(shù)分布。求收款臺(tái)前有n名顧客的概率Pn01.30/nh人16040/1.5h人260.60/1nh人解：這里的單位時(shí)間是1小時(shí)，所以491011112.303 1( ).(40)(60)4 2nnnnnnC n=1,2.=011111231511.( )42nnnnPC則有由0nnPC P可知：131231()()42552nnnP50 一般地，對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，一般地，對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，主要研究系統(tǒng)的下述運(yùn)行指標(biāo)：主要研究系統(tǒng)的下述運(yùn)行指標(biāo)： (1)(1)系統(tǒng)的系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)平均隊(duì)長(zhǎng)L Ls s( (期望值期望值) )和和平

42、均隊(duì)列長(zhǎng)平均隊(duì)列長(zhǎng)L Lq q( (期望值期望值) )； (2)(2)系統(tǒng)中系統(tǒng)中顧客平均逗留時(shí)間顧客平均逗留時(shí)間W Ws s與隊(duì)列中與隊(duì)列中平均等待平均等待時(shí)間時(shí)間W Wq q；M/M/sM/M/s等待制排隊(duì)模型等待制排隊(duì)模型單服務(wù)臺(tái)模型：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)模型： M/M/1/ M/M/1/ 是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)數(shù)為1，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無(wú)限，允許無(wú)限排隊(duì)。511、隊(duì)長(zhǎng)的分布、隊(duì)長(zhǎng)的分布(參數(shù)、就是單位時(shí)間進(jìn)入或被服務(wù)的人數(shù))所以n =( n=0，1，2，)，n =( n=0，1，2，)記 = / ，并設(shè) 1 (否則隊(duì)列將排至無(wú)限遠(yuǎn))， 則()n

43、nC0nnppn= 1,2,.，n= 1,2,而1100111()()111nnnnpC 因此(1)nnP n=0,1,2是系統(tǒng)中至少有一個(gè)顧客的概率，也就是服務(wù)臺(tái)處于忙的狀態(tài)的概率，因而也稱為服務(wù)強(qiáng)度為服務(wù)強(qiáng)度，它反映了系統(tǒng)繁忙的程度。即為平衡條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率。522. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算 (1) 系統(tǒng)中的隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)中的隊(duì)長(zhǎng)Ls（平均隊(duì)長(zhǎng)：排隊(duì)（平均隊(duì)長(zhǎng)：排隊(duì)+被服務(wù)）被服務(wù)） nnnnsnPnL 001.)(n.)()()(n 11312132.nn.nn 1433223322 132.n (01) 1 期望期望53(2) 隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)隊(duì)列中等待的平均

44、顧客數(shù)Lq ：僅排隊(duì)：僅排隊(duì) nnnnqnPnL 111) 1() 1( nnnn)(n 1111221sL (3) 顧客在顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws 顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間是隨機(jī)變量，可以證顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間是隨機(jī)變量，可以證明，它服從參數(shù)為明，它服從參數(shù)為-的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù) 11nn54 和密度函數(shù)為：和密度函數(shù)為：w)(e)w(F 1w)(e )()w( f （w00）()ssLW 1sWE w (4) (4)顧客在顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間W Wq q 111qsWW ()qqLW 等待時(shí)等待時(shí)間間 顧客在隊(duì)列

45、中的平均逗留時(shí)間應(yīng)為顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間應(yīng)為W Ws s減去平均服減去平均服務(wù)時(shí)間。務(wù)時(shí)間。 考慮考慮L LS S與與W WS S的關(guān)的關(guān)系系55 LsLsLLqs 12WsLs WqLq 四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系為四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系為(Little Little 公式公式)： 3. 系統(tǒng)的忙期與閑期系統(tǒng)的忙期與閑期 系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率： 10P 系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率： 010P)N(P服服務(wù)務(wù)強(qiáng)強(qiáng)度度56 在繁忙狀態(tài)下，隊(duì)列中的平均顧客數(shù)在繁忙狀態(tài)下，隊(duì)列中的平均顧客數(shù)L Lb b：(0)qbsLLLP N 顧客平均等待時(shí)間顧客平均等待時(shí)間:1(

46、0)qbsWWWP N 忙期的平均長(zhǎng)度忙期的平均長(zhǎng)度: 1B 1IB ( (由由 來(lái)來(lái)) ) 一個(gè)忙期平均服務(wù)顧客數(shù)為：一個(gè)忙期平均服務(wù)顧客數(shù)為： 111 L Lb bP P(N0)(N0)=L=Lq q57例：某修理店只有一個(gè)修理工，來(lái)修理的顧客到達(dá)過(guò)程為Poisson流，平均4人/h; 修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6min。試求：（1）修理店空閑的概率（2）店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率（3）店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率（4）在店內(nèi)的平均顧客數(shù)（5）每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間（6）等待服務(wù)的平均顧客數(shù)（7）每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間（8）顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過(guò)10min的概率58解 本例可看成一個(gè)

47、M/M/1/排隊(duì)問(wèn)題，其中124100.15（1）修理店空閑的概率02110.65p（2）店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率33322(1)() (1)0.03855p（3）店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率02110.45P Np 59（4）在店內(nèi)的平均顧客數(shù)25250.6711L（5）每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間0.67( )10(min)4LWh（人）（6）等待服務(wù)的平均顧客數(shù)2 22()5250.26711qLL（人）60（7）每位顧客平均等待服務(wù)的時(shí)間0.267( ) 4(min)4qqLWh（8）顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間超過(guò)10min的概率由于逗留時(shí)間服從參數(shù) 的負(fù)指數(shù)分布，即分布函數(shù)為()0tP Ttet

48、則10(1/6 1/15)1100.3679P Tee注：對(duì)于： 1小時(shí) 10 人 則 1分鐘 10/60=1/6(人)。同理61多服務(wù)臺(tái)模型：多服務(wù)臺(tái)模型： M/M/s/M/M/s/ M/M/s/ 是指：設(shè)顧客單個(gè)到達(dá)，相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)數(shù)為s，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無(wú)限，允許無(wú)限排隊(duì)。當(dāng)考慮系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布,有(1,2. )(,1,2.)nnnnssss ss1、隊(duì)長(zhǎng)的分布62記ssc且1s有( /)!( /)( /)()!nnsn sn snCsss s n=1,2,sns故00,1,2,!,!nnnn spnsnPpnss s其中1100)!(1nssnspns63上面兩個(gè)式子給出了平衡條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率，當(dāng)ns時(shí)，即系統(tǒng)中顧客數(shù)大于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，這時(shí)再來(lái)的顧客必須等待，因此記：0( ,)!(1)snn ssc sPPsErlang等待公式它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率。由平穩(wěn)狀態(tài)下隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，可得到平均排隊(duì)長(zhǎng)Lq:021()!(1)ssqnnssPLns Ps 2、幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)640( ,)!(