1、數學思想方法與新題型解析1 .本周教學內容：數學思想方法與新題型解析2 .重點、難點：數學思想反映著數學概念、原理及規律的聯系和本質，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、技能、方法的關鍵。在解綜合題時，尤其需要用數學思想來統帥，分析、探求解題的思路，優化解題的過程，驗證所得的結論。在初中數學中常用的數學思想有方程思想、數形結合思想、轉化思想和分類討論思想。（一）方程思想在初中數學中，我們學習了許多類型的方程和方程組的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化為一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程組、三元一次方程組的解法，以及二元二次方程組的解法等，所以我們

2、如果能把實際問題或數學問題轉化成解上述方程或方程組，問題就容易解決了。所謂方程思想，就是從分析問題的數量關系入手，通過設定未知數，把問題中的已知量與未知量的數量關系，轉化為方程或方程組等數學模型，然后利用方程的理論或方法，使問題得到解決。用方程思想分析、處理問題，思路清晰，靈活、簡便。1.方程思想的最基本觀點一一幾個未知數，列幾個獨立的方程我們知道在一般情況下，幾個未知數在幾個獨立的方程的制約下有確定的解。在涉及數量關系的問題中，用這一基本思想來分析、處理，能較為容易地找到解題途徑。例1.已知：x1、x2是關于x的方程x2+2x+m2=0的兩個實數根，且x2x2=2,求m的值。分析：本題中涉及

3、三個未知數xx2、m,需列出三個方程，題目中已給出了一個關于xx2的方程x2-x2=2,那么只需再找出兩個關于x1、x2和m的方程即可。=4-4m2>0dx1+x2=-2解法1依題意，得Ix1x2=m2、x2-x2=2+，得x1x2=T,3.一1把x1=一一代入，傳x2=一一2223m二x1x2二43.0又當m=±時，A=44m>02,m=±&為所求2說明：一般地，有幾個未知數，則需列幾個方程。例2.如圖，在直角三角形ABC中，/C=90*,AD是iABC的角平分線，DE/CA,已知CD=12,BD=15,求AE、BE的長。BEBD15分析：題目要求AE

4、、BE這兩個未知數的值，由于DE/CA,并且DC=12,BD=15,容易得到=一，得到EADC12關于BE、EA的一個方程。而題目中有兩個未知數，還需要再建立一個關于BE、EA的方程。由條件易知，AABC和AEBD都是直角三角形，由AD是角平分線和DE/CA可以證明AE=ED,這樣就把AE、EB集中在RtAEDB中，用勾股定理可再列一個方程。解：:AD是AABC的角平分線CAD=DABDE/CA/ADE=/CADADE"DAE.DE=AE設AE為x,BE為y,那么DE=XDE/CAAECDBEBD1215C=90°EDB=90°BD2DE2:BE2即225x2=y

5、2(2)解由（1）、（2）組成的方程組，得x1 =20y1 二25X2=20!(舍去)，AE =20,BE =25y2=-2529到解決。例3.已知：如圖,AD =2偈 AE :EC =2: 1,求。O 半徑。B2.方程思想解題的核心一一構造方程，溝通已知與未知的聯系用方程思想解題的核心是揭示題目中隱含的等量關系，設未知數、構造方程，溝通已知與未知的聯系，從而使問題得DB是半圓O的直徑，A為BD延長線上一點，AC與半圓O相切于點E,CB1AB,若分析：題目的條件給我們提供了許多等量關系。已知CB垂直直徑DB,可知CB是。的切線，于是有CE=CB;由切割線定理得AE2=ADAB；在RUABC中，

6、由勾股定理得AC2=AB2+BC2。題目又給出了兩條線段的比AE:EC=2:1,則可設未知數，尋找等量關系，構造方程。若設CE=CB=x,則根據上面的等量關系易得AE=2x,AC=3x,AB=2J2x。以AE2=ADAB為等量關系構造方程：(2x)2=262<2x解得x=2、3，AB =446,DB =2.6.二OO半徑為解略問：題目要求。的長呢？O半徑，能否直接設所求量為未知數呢？這時，應以哪個等量關系來構造易解的方程，從而求出半徑進一步分析可以看到，由 CE =CB, AE: EC =2: 1 ,可知CB: AC =1:3,即sinA =。連結OE （如圖），3則OE_LAC。設OE

7、=OD=m,則AO=2<6+m,.OE1.一216 m在RtMEO中，sinA=:=一,把它作為等量關系構造方程:AO3解得m=用從而求出半徑長為J6。說明：從本例的兩種不同解法可看到，列方程的關鍵是尋求等量關系。在幾何計算題中，常利用幾何中的定理、公式，如勾股定理、切割線定理、相交弦定理、三角函數關系式等作為等量關系來構造方程，或利用圖形中某些位置關系所隱含的等量關系(線段和差、面積和差、相似三角形對應邊成比例)等構造方程。下面我們把此例的已知條件稍加變化，分析如何尋找等量關系構造方程求解。例4.如圖，DB是半圓O的直徑，A為BD延長線上一點，AC與半圓O相切于點E,CB1AB。若AE

8、:EC=2:1,DE+BE=4+242,求&ABC的面積。分析：要求AABC的面積，只要求出AB、BC的長即可。題目中給出了線段比，可利用比值設未知數，把其它線段用此未知數表示出來，尋找等量關系，構造方程。此題解法很多，僅舉其中一種解法。簡解：可證CB為半圓O的切線，CE=CB設CE=CB=x,則AE=2x由勾股定理得AB=2辰,由切割線定理得AD=V2x.DB=：2x_2過E作EF_LAB于F,可得EF=-x31 ,.222在RtADEB中，DEBE=EFBD=x3=BD2=DE2+BE2=(DE+BE)2-2DE-BE,(<2x)2=(4+2&)2-27x2解得x=2

9、,3，AB=4疽BC=2a/3,S&bc=12行ABC說明：此例是利用勾股定理作為等量關系構造方程的。由以上幾例可以看出，設未知數一般是所求的量是什么，就設什么為未知數。當所求的量不易直接求出時，要根據題目的特點，選擇便于把條件、結論結合起來的未知量用字母表示為未知數，這樣解題比較方便。例5.已知：在AABC中，AD為/BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E,交AD于點F,交AE于點M,且NB=NCAE,FE:FD=4:3。(1)求證：AF=DF;(2)求ZAED的余弦值；如果BD=10,求AABC的面積。分析：(1)略；(2)要求/AED的余弦值，首先要使/

10、AED為一個直角三角形的內角，所以可連DM,構造RUDME,也可過點A作AN_LBE于點N,構造RtAANE。無論利用哪個直角三角形，都需知該直角三角形中兩條邊的長。題目給出了線段比，可利用比例設未知數，再把其它線段用此未知數表示出來。這時就需利用幾何中的定理或圖形的性質為等量關系，構造方程。本題的解法很多，僅舉其中四種解法。(3)利用BD=10,可求出所設未知數的值，易求出AABC的面積。(1)證明：:AD平分/BAC.BAD=DAC.B=CAEBADB=DACCAEADE"BADBADE"DAE.EA=ED丁DE是半圓C的直徑.DFE=90.AF=DE(2)解法一：連結

11、DM(如圖2)丁DE是半圓C的直徑.DME=90丁FE：FD=4：3二可設FE=4x,則FD=3x由勾股定理，得DE=5x.AE=DE=5x,AF=FD=3x由切割線定理的推論，得AFAD=AMAE3x(3x+3x)=AM5x18,AMx5,ME=AE-AM二5x57=-x5在RtADME中cos. AEDMEDE7x55x25解法二：同解法一得在RtAAMD和RtAEMD中(如圖2)由勾股定理，得AD2-AM2=DE2-ME22222.(3x3x)2-AM2=(5x)2-ME2(1)又AMME=AE=5x(2)解(1)(2)聯立的方程組，得ME=7x57m,ME7x25在RtADME中，co

12、s/AED=5-DE5x解法三：如圖3,過A點作AN_LBE于N在RtADFE中丁FE:FD=4:,可設 FE =4x,貝 UFD =3x由勾股定理，得DE =5x，AE=DE=5x,AF=FD=3x11=ADEF=DEANADEF=DE.AN3x +3x) 4x =5x AN二由勾股定理，得ENEN.cos-AED =- AE7 x55x7圖3解法四：同解法三，得AE=DE=5x , AF=DF=3x.ADN=/EDFRtADNRtEDFDNDFADEDDN3x6x5xDN18二一x5187,EN=DE-DN=5xx=x55EN7.cosZAED=AE25(3)解法一：如圖1丁/CAE=/B

13、,/AEC=/BEA.CAE：ABE5AECE2x1BE-AE-5x-2.BE=2AE=2DE-3BD=DE,BC=DE2，5x=10,x=2c3c312csSabc=-Sade=一父AD，EF=18x72222解法二：如圖3,在ACAE和AABE中丁NCAE=2B,NAEC=BEACAEABEAE_CEBE一AE_2，AE2=BECE、2，、55x)=(10+5x),-x2解得x=24824BC=BDDC=1052=152c1-1/48八Sabc=BC,AN=515=72225說明：此例是用方程思想解幾何問題的典型題目。第（2）問中解法一是利用切割線定理為等量關系構造方程；解法二是利用勾股定

14、理為等量關系構造方程組；解法三是利用同一三角形面積為等量關系構造方程；解法四是利用相似三角形對應邊成比例構造方程。可見，方程思想的運用是解本題的關鍵。例6.如圖，AB為半圓。的直徑，C為OB上一點，且OC:CB=1:3,過C點作CD_LAB交半圓于D點，過D點作半圓。的切線交AB延長線于E點，若BE=12（1）求OB的長；（2）在弧BD上任取一點P（P與B、D不重合），連結EP并延長與弧AD交于點F,設PC=x,EF=y,求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍。A0CBE分析：第（1）問是求線段的長，由于題目中給出了兩條線段長度的比，所以可以設未知數，利用圖形的幾何性質構造方程來求

15、解。第（2）問涉及研究線段與線段函數關系的問題，線段作為變量，解題的關鍵是用幾何定理揭示它們之間的等量關系，列出方程后，再化為函數解析式。實質上還是構造方程，利用方程思想解題。解：（1）連結OD,設OC=a,貝UBC=3a,OD=OB=4a;DE為半圓O的切線.OD_DE又DC_AB.RtOCDRtODE可得OD2=OCOE即（4a）2=a,（4a12）解得a1=1,a2=0（舍去）.OB=4a=4（2）連結OFRtDCERtODEDECE口口2,二=，即DE=OECEOEDE由切割線定理可得DE2=PEEFPEOE:.PEEF=OECE,即=CEFE又CEP=FEOCEPFEOPCECx15

16、=,即一=OFEF4y60y=一x當P取B點時，PC最短，此時PC=3當P取D點時，PC最長，此時PC=Ji5二x的取值范圍是3<x<v'15說明：此例是利用相似三角形對應邊成比例的性質為等量關系，列出方程后，再化為函數解析式的。特別要注意用圖形的幾何性質來確定自變量的取值范圍。方程思想也可解決某些證明題。我們來看下面的例題。例7.如圖，OOi、OO2交于A、B兩點，DT切O。2于T,交OO1于D、M,且M為DT的中點。BA的延長線交DT于Co求證：CT=2CM。證明：設CM=a,CT=x<CT是。2的切線，CAB是。O2的割線2_:.CT=CACB:CAB、CMD是

17、。O1的割線，CMCD=CACB2，CT2=CM-CD丫M是DT的中點.CD-CMDM-CMCMCT-2CMCT2,CT2=CM（2CMCT）即x2=a（2ax）得x2一ax-2a2=0,x=2a,x=a（不合題意，舍去）.CT-2CM可以看到，方程思想是初中數學中的一個重要的數學思想，在解題中有廣泛的應用。利用方程思想解題，要善于從題目中挖掘等量關系，能夠根據題目的特點選擇恰當的未知數，注意保證方程的個數與未知數的個數相同。（二）數形結合思想數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。“數”與“形”是數學中的兩個最基本的概念，每一個幾何圖形中都蘊含著一定的數量關系；而數量關系又常常可以通過幾

18、何圖形做出直觀的反映和描述，所以數形結合也就成為研究數學問題的重要思想方法。數形結合的思想，就是把問題中的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想。在解題方法上，“數”與“形”相互轉化，從而使問題化難為易、化繁為簡，達到解決問題的目的。1.以形助數一一通過幾何圖形，使數量關系直觀化、形象化，從而尋找解題的途徑例1.在正方形ABCD中，A、B、C的坐標分別是（1,2）、（-2,1）、（-1,-2）,求點D的坐標。分析：依題意畫圖，可看到點A、點C關于原點O成中心對稱，所以。應是正方形ABCD的中心。根據正方形性質可知，點D應與點B關于原點O對稱，已知點B坐標為（-2,1）,利用關于坐標原點對稱的

19、兩點坐標之間關系，可確定點D坐標（2,-1）。解略。說明：平面直角坐標系建立了平面上的點與有序實數對之間的一一對應關系，為數形結合創造了條件。本題就是利用直角坐標系，把“數”轉化為“形”，以形助數，由兩點之間的特殊位置關系得到兩點之間的數量關系。例2.選擇題：若2A為銳角，則sinA+cosA的值（）A.大于1B.等于1C.小于1D.不能確定分析：可構造直角三角形，根據銳角三角函數的定義及三角形中邊之間的關系進行判斷。構造RtAABC,CC=90°(如圖)，則有absinAcosA=一cc.sinAcosA1應選A說明：本題是把數量關系通過構造的直角三角形使之明顯化，從而得到解題途徑

20、。例3.二次函數y1=ax2-2bx+cffiy2=(a+1)x22(b+2)x+c+3在同一坐標系中的圖象如圖。(1)哪個函數的圖象過B、C、D三點?(2)若BO=AO,BC=DC,且點B、C的橫坐標分別是1、3,求這兩個函數的解析式。y分析：借助函數的圖象研究函數的性質，是一種很重要的方法。觀察圖象，過A、B、C三點的拋物線開口向下，則相應二次函數解析式中二次項系數應小于零，而過B、C、D三點的拋物線開口向上，則相應二次函數解析式中二次項系數應大于零，所以只要判斷a與a+1哪個大于零即可。因為a+1>a,易得出y2經過B、C、D三點。利用拋物線的對稱性確定y1的對稱軸為x=0,y2的

21、對稱軸經過C點，則可推出D點坐標。再利用圖象上點的坐標應滿足函數解析式，則可構造關于a、c的方程組，求出待定系數的值。解：(1):a+1Aa,又由圖象可知a+1與a異號a10.y2=(a1)x2-2(b2)xc3的圖象開口向上，y2的圖象經過B、C、D三點(2).|BO|=|AO|j.yi的對稱軸=3=02a.b=0:B(1,0)、C(3,y)又|BC|=|DC|j.y2的對稱軸經過點，出(5,0)將B(1,0)代入y1，得a+c=0(1)將D(5,0)代入y2,得25a+c+8=0(2)解(1)、(2)得一1 2V1 = -x32 21二一x -4x 3-說明：觀察圖形主要是觀察圖形的形狀、

22、大小、位置關系等，尋找圖形中蘊含的數量關系，運用推理或計算得出結論。這是數形結合分析、解決問題的一個重要方面。2例4.設二次函數y=x-(k-3)x+k+4的圖象與x軸交于點A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),P點在y軸上(非原點)，已知/PAB與/PBA都是銳角。(1)求k的取值范圍；(2)比較線段PA、PB的長度的大小；當/PAB+/PBA=90o時，求P點的坐標(用含k的式子表示)分析：(1)解決本題的關鍵是依據題目的已知條件正確地繪制草圖，確定A、B兩點的大致位置。由P點在y軸上,且PAB、/PBA都是銳角，確定拋物線與x軸的兩個交點A、B必須在原點的兩側(如圖)，轉化

23、為與函數相應的二次方程的兩根異號，則c=k+4<0。a(2)觀察圖形，由圖形的幾何性質知，線段PA、PB長度的大小取決于A、B兩點到。點距離的大小，則轉化為判斷相應的二次方程兩根中正根的絕對值大還是負根的絕對值大。利用函數所對應的一元二次方程根與系數的關系即可判斷出來。(3)利用RtAPAORtABPO,求出OP長，即可得出P點坐標。解：(1);/PAB與/PBA均為銳角，點P在y軸上:.A、B兩點必在原點的兩側:x1x2<0,此時必有0>0,k4二0.k：-4(2)設P點坐標為(0,y)x1x2=k-3:二02 2，|xi|>|x2|,即xi>x2PA=Jx2+

24、y2,PB=”2+y2,PAPB3 3):/PAB+/PBA=90°.APB=90.AOPPOB:.OP2=OAOB即y2=|x1|x2|=|x1.x2|=|k+4|=-(k+4).y=-k-4，點P的坐標為(0,Jk4)或(0,-J-k-4)說明：由本例看到，二次函數解析式中的系數與二次函數圖象的形狀及在坐標系中的位置相互制約。正確地畫出圖象，把二次函數的問題轉化為二次方程的問題是解決這類問題的典型方法，它體現了數形結合及轉化的數學思想。例5.已知：關于x的方程x22mx+3m=0的兩個實數根是x1，x2,且(x一x2)2=16。如果關于x的另一個方程x2-2mx+6m-9=0的兩

25、個實數根都在x/Dx2之間，求m的值。分析：本題是已知一元二次方程的兩個實數根所滿足的條件，求方程中待定系數的值的題目。常規的解法是由第一個方程兩根滿足的條件，利用根與系數的關系，建立關于待定系數m的方程，求出m的值。再把m的值代入第二個方程，并求出其根，檢驗其兩根是否都在第一個方程的兩根之間，從而確定m的值。(參看解法一)2我們可以換個角度，以形助數來考慮這個問題。關于x的方程x-2mx+3m=0(1)有兩個不等實數根22x1、x2（因為（x1x2）=16¥0）,即拋物線y1=x-2mx+3mx軸有兩個父點，且兩父點為A（x1,0）、B22（x2,0）,不妨設xi<x2。萬程

26、x-2mx+6m-9=0（2）也有兩個實數根，對應的拋物線y2=x-2mx+6m-9與x軸也有兩個交點或唯一公共點，設兩交點為C（x1',0）、d（x2',0）。x1'<x2'o我們可以看到，這兩條拋物線形狀相同，開口方向相同（由于二次項系數相同），且對稱軸也相同，都是直線x=m。由于方程（2）的兩根x1'、x2'都在x1、x2之間，即拋物線丫2與*軸的兩個交點C、D（或C、D重合）在拋物線y1與x軸的兩個交點A、B之間，以形助數，在坐標系中畫出這兩條拋物線的示意圖（如圖），看到只要滿足拋物線丫2的判別式A2>0,且拋物線y2在y軸上

27、截距大于拋物線y1在y軸上截距即可，很易確定m的取值。（參看解法二）解法一：;x1、x2是方程x2-2mx+3m=0(1)的兩個實數根,二x1+x2=2m,x1.x2=3m2(x1-x2)2=16，、2.(x1x2)-4x1x2=16.24m-12m=16解得m1=T,m2=4(I)當m=T時，方程(1)為x22x 3 = 0ItX13,X21方敬2-2mx+6m9=0(2)為x2+2x15=0"'=5,x2'=3;_5、3不在3和1之間,m=_1不合題意，舍去(II)當m=4時，方程(1)為x2-8x+12=0,'tx129x2=6方程(2)為x2-8x+1

28、5=0.1乂1=3,x2=5<2c3<5c6,即x1<x1'<x2'<x2二方程(2)的兩根都在方程的兩根之間.m=4綜合(I)(II),m=4解法二：同解法一，得m1-1,m2=4方程x2-2mx+3m=0(1)與方程x2-2mx+6m-9=0(2)都有兩個實數根，且方程(2)的兩根在方程(1)的兩根x1和x2之間。工拋物線y1=x2-2mx+3m與x軸有兩個交點，拋物線y2=x2-2mx+6m-9與x軸有交點:拋物線y1與y2形狀相同，開口方向同且對稱軸也相同.：2=4m2-4(6m-9)=4(m-3)2-0二只要I6m-93m%解不等式組，得

29、m-3，取m=4說明：由以上幾例看到，正確地繪圖對于題意的理解、思路的探求、方法的選擇、結論的判定都有重要的作用，要善于把作圖與計算結合起來，充分發揮圖形的作用。2.以數解形一一挖掘幾何圖形中的數量關系，用代數方法解幾何問題例6.如圖，在矩形ABCD中，EF是BD的垂直平分線，已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周長。DFCAEB分析：要求矩形的周長，則需先求出矩形的長和寬。可把長、寬分別設為兩個未知數，根據圖形中線段的位置關系,利用相似三角形的性質和勾股定理轉化為線段間的數量關系，構造方程組用代數方法求解。解：在矩形ABCD中，設長AB=x,寬BC=y，因為EF是BD的垂直平分線根據

30、題意RtDABRtEOBABADOBOE2015(1)在RtMBD中，由勾股定理可得AB2+AD2=BD2即x2y2=202（2）解（1）、（2）聯立的方程組，得Ji'舍去)y1=12y2=-12,二矩形周長為56例7.如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC=100米，高AH=80米，某單位要沿著底邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓。當這個大樓地基面積最大時，這個矩形的長和寬各是多少？分析：這個實際問題抽象為數學問題后是一個平面幾何問題，即求三角形內接矩形面積最大時，矩形的邊長。進一步觀察圖形可以看到，當矩形的長（或寬）變化時，矩形DEFG的面積也隨之而變化，但當內接矩形的長（或寬）一

31、確定，矩形的面積也隨之而確定。可見，內接矩形的面積是這個矩形長（或寬）的函數。于是問題就轉化為建立函數關系式并求函數何時取得最值的代數問題。解：設矩形DEFG的寬DE為x米，則AM=(80x)米DG/BC.ADGABCDGAMBC-AHDG80-x100-805DG=100-x4一一_559一.二S矩形=DEDG=x(100-5x)=-5x2+100x44(0<x<80),當x=2=40時(40在0cx<80范圍內)2aS最大=2000,當地基面積最大時，矩形的長為50米，寬為40米。說明：在幾何圖形中建立函數關系式是數形結合的典型例題。在這類問題中，常運用相似形的性質定理、

32、勾股定理、圓的有關定理、面積關系等建立量與量的函數關系式。3.依形判數，以數助形，結合具體問題，靈活進行數形轉化數量關系體現了圖形的內在性質，把握數量關系和相應圖形的特征是進行數與形相互轉化的關鍵。例8.如圖，AB是半圓。的直徑，CD_LAB于D,C在半圓上，設/COD=8。，2IDB求證：tan-=。2AD8一日，八_分析：解本題的關鍵是尋找圖形的幾何性質，連AC-,表不出tan-。由已知/COB=日，且/COB為圓周角，要想辦法利用這個角。根據BC,圓心角/A的度數等于所對弧上圓心角/COB度數的一半，所以二二BCBCDB/A=一,tan/A=。問題就轉化為證一2=。利用兩對直角三角形相似

33、，對應邊成比例則很易證得。22ACAC2AD證明：連結AC、BCAB是半圓O的直徑.ACB=90COB=11 “fACOB=一22在RtAACB中，tanZA=tan=-BC2AC2BC2.tan=22 AC2CD_ABRtACDRtABCACAD"AB-AC_2二AC=ADAB同理BC2=BD-AB,2.BCBDABDB/2日DB>7=,即tan-=AC2AD-ABAD2AD例9.如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點P,與y軸交點為Q。過Q點的直線y=2x+m與x軸交于點A,與這個二次函數的圖象交于另一點Bo若S作pq=3S&pq,求這個二次函數

34、的解析式。分析：本題為函數與平面幾何的綜合題，要確定二次函數的解析式，就需要構造關于待定系數b、c的方程組，求出b、c的值。如何利用題目給出的眾多條件呢？(1)以數助形，求出圖象上關鍵點的坐標。二次函數圖象與y軸交點Q的坐標為(0,c)又；直線y=2x+m過點Q干y = x2 bx c 聯立-y.解得B點坐標為(2b, 42b+c)(2)依形判數，利用函數圖象，結合幾何圖形的性質，構建關于作BC_Lx軸于C,顯然有BC=42b+cb、c的方程組。又, S BPQ - 3S APQS ABP - 4S APQ,: AAPQ與AAPB等底(AP)而不等高: S&PB : SPQ = 4 1

35、= BC: OQ又OQ=c(c0)二(4-2b+c):c=4:1即2b3c-4=0(1)又拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點=b2-4c=0(2)(3)數形結合，得出結論“e,入、"一口,4,，、，4人，解(1)、(2)聯立的方程組，可得bi=,b2=-4。但檢驗知，bi=一時，拋物線頂點在y軸左側，不合題意，舍去。33,b=Y,c=4,二次函數解析式為y=x2-4x+4說明：依形判數，以數助形是解函數型綜合題時重要的思想方法。此題用待定系數法求函數解析式時，根據圖形的幾何性質尋找待定系數所滿足的條件，列方程或方程組來求解。解題時還必須根據題目條件對結果進行檢驗，舍去不合題意

36、b4的解，如本例中根據拋物線頂點在y軸右側知-E>0,由已知得a=1>0,所以b<0,因而舍去b1=。2a3例10.已知：如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標系xOy中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連結AC。將AABC沿AC翻折，點B落在該坐標平面內，設這個落點為D,CD交x軸于點E。如果CE=5,OC、OE的長是關于x的方程x2+(m-1)x+12=0的兩個根，并且OC>OE。(1)求點D的坐標；(2)如果點F是AC中點，判斷點(8,-20)是否在過D、F兩點的直線上，并說明理由。OC>OE,解：(1);OC、OE的長是關于x的方程x2+(m-1)

37、x+12=0的兩個根,OCOE=12(1)在Rt：COE中，由勾股定理得OC2OE2=CE2又CE=522_.OCOE-25(2)OCOE0OC=4，解(1)、(2)得4OE=3當OC=4,OE=3時，m=-6,符合題意:.OC=4,OE=3ABC沿AC翻折后，點B的落點為點D過D點作DG_Lx軸于G,DH_Ly軸于HBCA=/ACD;矩形OABC中，CB/OABCA=CAECAE=ACD.EC=EA可證RtCOE三RtADE.二ED=3,AD=4,EA=5在RtMDE中，DGAE=EDADDGEDADAE125在ACHD中，OE/HDCEOE，CD-HD24HD=5由已知條件可知D點是第四象

38、限的點點D的坐標是2412（2）F點是AC的中點二點F的坐標是（4,2）設過D、F兩點的直線的解析式為y=kx+b1254k+b=224kl5,11k=一解得f2b=24過D、F兩點的直線的解析瑜以11x+242丁x=8,y=-20滿足上述解析式，點（8,-20）在D、F兩點確定的直線上（答題時間：40分鐘）一.填空1 .一個角的外角是它的三倍，則這個角的度數為。2 .一個等腰三角形的周長是16cm,底邊上的高是4cm,則腰長為。3 .AABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上,其余兩頂點分別在AB、AC上，則這個正方形的邊長為mm。4 .已知：MB