1、第31卷第6期用非線性反饋函數法研究蔡電子線路的混沌同步3方天華(,),對著名的蔡(Chua)電子線路,。該方法具有同步時間短、適應性較廣,。自從Pecora和Carroll1在1990年提出驅動2響應方法并首先在電子線路上實現了混沌同步以來,國際上混沌同步的研究迅速發展。它不僅在通訊等領域有很大的應用潛力,而且在醫學、生物及工程等領域都有廣泛的應用發展前景。近年來,混沌同步及其應用已成為非線性科學中的1個重要研究課題和競爭熱點2。迄今已經提出了許多方法實現混沌同步2。但它們中的大多數是基于線性反饋原理。值得注意的是,近年來非線性控制法正在興起,特別是非線性反饋法,它不僅可以應用于混沌控制,而

2、且還可以應用于混沌同步,因此已成為人們關注的1個重要研究方向35。)函數方法6,7本文將應用非線性控制的基本思想3,4及李雅普諾夫(對1個著名的有實用價值的蔡(Chua)電子線路8尋找一些非線性反饋函數以實現混沌同步,這將為混沌同步在實驗上提供有用的實例和1個新的可能途徑。1混沌同步的基本原理現考慮2個n維非線性動力學系統:X=F(t、X)Y=F(t、Y)+G(X、Y) (1)(2)其中:X、Y為n維矢量,X、Y分別具有x1,x2,xn和y1,y2,yn;F為n維非線性函數,F具有分量F1,F2,Fn;G為m維輸入控制函數,G具有分量G1,G2,Gm,mn,這里,G為非線性反饋函數。顯然,當G

3、=0時,式(2)是式(1)的復制系統。但是,它們具有不同的初始條件。通常,稱式(1)為驅動系統,式(2)為響應系統。從通訊角度說,前者稱為發射機系統,后者稱為3福建省自然科學基金資助項目收稿日期:1997206216收到修改稿日期:1997206223第6期方天華:用非線性反饋函數法研究蔡電子線路的混沌同步489接收機系統。通過選擇合適的G(X、Y),使得t時,G(X、Y)0,Y(t)X(t),也就是說,使式(2)的解漸近地趨向式(1)的解,從而使系統(2)與系統(1)達到同步。這時,可以表示為:當tlimY(t)-X(t)=0(3)時,G(X、Y)0。為了應用李雅普諾夫函數方法討論混沌同步,

4、可將上述問題轉變為研究式(1)與(2)的誤差動力學方程:(4a)e=X-Y=F(t、X)-F(t、Y)-G(X、Y)即nei=1nim=Fi=1i(t,X)-Fi(t,Y)-n(X,ii=1(4b)倘若找到1個正定的李雅普諾夫函數Lnneiim(5)它對于時間t),即i=1iieFii=1ti(t,X)-Fi(t,Y)-eG(X,Y)0,miii=1n(6)其中,ei=0,(i=1,2,n)成立。因此,式(4)對原點是漸近穩定的6,則有limyi(t)-xi(t)=0,i=1,2,n或tlimY(t)-X(t)=0由式(3)知,式(2)與(1)已達到同步。對2個混沌系統同步的上述論證是直接應用

5、李雅普諾夫關于運動穩定性一般理論得出的,與He和Vaidya7用李雅普諾夫函數方法對混沌同步的論證以及Pecora和Carroll1,9,10的同步原理實質上都是等價的。這就給出了發生同步的充分必要條件。本文正是基于上述原理,研究應用非線性反饋函數法實現系統的混沌同步。2用非線性反饋函數實現混沌同步現在考慮蔡電子線路的混沌同步。因為目前它在秘密通訊方面在國際上具有很大的競爭性,以此典型系統來研究實現混沌同步,具有實際意義。這里關鍵兩步是:構造1個合適的李雅普諾夫函數;選擇一類適于實現混沌同步的非線性反饋函數。蔡電子線路方程為:x1=x3-x1-f(x1),x2=-x3,x3=x1-x3+x2(

6、a-b)( x1+1 - x1-1 )其中:f(x1)=bx1+2T對式(7)帶有反饋函數G(X、Y)=G1,G2,G3的響應系統為y1=y3-(7)y1-f(y1)+G1,y2=-y3+G2,y3=y1-y3+y2+G3(8)(a-b)( y1+1 - y1-1 )其中:f(y1)=by1+2已知:當參數=10100,=14187,a=-1127,b=-0165時,其李雅普諾夫指數為490(01279,01000,-21359),該系統處于混沌態。原子能科學技術第31卷由式(6)得出L=-2)e1e3-(b+1)e2e3+(1+1-(-1)e2e3-G1e1-G2e2-G3e3(9)選擇如下

7、非線性反饋函數:G1=0,G2=Ktg(x2-G3=Ktg(x3-y2)K(x2-y3)+y2)+(x2-y2)3,(10)y3)K(x3-(x3-y3)3其中:K為反饋系數。(10)代入式(9),有2 -22(1+)(b+1)L=-(b+1)e1-3-2222+K+1-e-4(b+1)4K當K滿足下面條件+-K>0e22()-2e32-2-4(b+1)2>04K(11)時,對任意e1、e2、e3,則有L0,把b值代入式(11),解得K>11173。因此,當K>11173時,L0,則在非線性反饋式(10)控制下,蔡電子線路式(8)與(7)達到混沌同步。數值算得響應系統式

8、(8)的李雅普諾夫指數為(-010554,-010558,-1018886),完全滿足Pecora和Carroll同步原理9,10,同樣證明在非線性反饋函數式(10)控制下式(8)與(7)實現了混沌同步。數值計算再次驗證了上述的解析結果是正確的。當K=12時,2個蔡電子線路達到混沌同步過程的轉變時間=90步,說明非線性反饋函數法是很有效的。本文找到了幾種非線性反饋函數G的形式、K的范圍以及與K值對應的值(表1),它們都可以實現蔡電子線路的混沌同步。表1適于蔡電子線路實現混沌同步的幾種非線性反饋函數(系統參數:=10100,=14187,b=-0165)Table1Someofnonlinear

9、feedbackfunctionsforsynchronizationofchaosbetweentwoChuascircuitswithdifferentinitialconditions(systemparameters:=10100,=14187,b=-0165)序號12G1G2Ktg(x2-y2)G3Ktg(x3-y3)Ktg(x3-y3)KK>11173K>7164(步長=0101)90(K=12)9900(K=8)00y1(x3-y3)-(-1)(x2-y2)-y1(x2-y2)+Ktg(x3-y3)30K1(x2-y2)+Ktg(x2-y2)K2(x2-y2)K>

10、;11173K1<14(K2-48109)K2>481092000(K=12)37900(K1=315,K2=50)4)(x3-y3)+(1+第6期方天華:用非線性反饋函數法研究蔡電子線路的混沌同步491表1中序號4為線性反饋函數的結果。比較表明,應用非線性反饋函數法達到混沌同步的轉變時間更短,說明非線性反饋函數法更為有效。從表1還可以看出:從非線性反饋函數形式看,可以采用一維反饋,也可以采用多維反饋,而以采用多變量反饋為宜。從反饋系數看,所有系數均可相同,也可不同。將此法應用于Rossler系統、限于篇幅,將另行Lorenz系統等,也已成功實現了混沌同步。報道。3結論應用非線性控

11、制法,結合李雅普諾夫函數方法,數,實現了對有實用價值的蔡電子線路的混沌同步。可能途徑。和Vaidya用李雅普諾夫函數方法的論證,以及rall。非線性反饋,適用性較廣,在某些非線性系統下是較簡便、,非線性反饋函數更為有效,預期它將有良好的發展前景。、關遐令研究員和方錦清研究員等給予的幫助和指導,表示衷心感謝。參考文獻2方錦清1非線性系統中混沌控制方法、同步原理及其應用前景(一),(二)1物理學進展,1996,16(1):1;16(2):13713AliMK,FangJQ.SynchronizationofChaosandHyperchaosUsingLinearandNonlinearFeedb

12、ackFunc2.PhysRevE,1997,55(5):1257.tions4成雁翔,王光瑞1用非線性反饋實現混沌的同步化1物理學報,1995,44(9):138215FangJQ,AliMK.SynchronizingSpatiotemporalChaosintheCoupledMapLatticesUsingNonliearFeed2.NuclearScienceandTechniques.1997,8(3):129.backFunctions6秦元勛,王慕秋,王聯1運動穩定性理論及應用1北京:科學出版社,198111711992,46(12):7387.8ChuaLO.ChuasCir

13、cuit:AnOverviewTenYearsLater.JournalofCircuits,SystemsandComputers,1994,4(2):117.9CarrollTL,PecoraLM.SynchronizingChao492原子能科學技術第31卷NONLINEARFEEDBACKFUNCTIONSFORSTUDYINGSYNCHRONIZATIONOFCHAOSINCHUASCIRCUITSFangTianhua.tages,andsimplicityforlowdimensionalchaoticsystemsKeySynchronizationofchaosNonlinearfeedbackfunctionalmethodChuascircuitWWER-440型213核電站選定的安全狀況SelectedSafetyAspectsofWWER-440Model213NuclearPowerPlants本書1996年由IAEA出版。IAEA及許多成員國承擔了若干項提高老式設計的核電站的安全研究,其中之一是WWER2440型反應堆核電站。IAEA關于WWER2440型213核電站安全評價項目的主要目的,是在這一類型反應堆選用的安全狀況研究中給予協調及全面的幫助。這一項目不僅增加了對前蘇聯設計的此