1、第四章 數(shù)字特征2.二 某產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗員每天檢驗4次。每次隨機地抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E (X)。（設(shè)諸產(chǎn)品是否是次品是相互獨立的。）解：設(shè)表示一次抽檢的10件產(chǎn)品的次品數(shù)為P=P（調(diào)整設(shè)備）=P (>1)=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.7361=0.2639.因此X表示一天調(diào)整設(shè)備的次數(shù)時XB(4, 0.2639). P (X=0)=×0.26390×0.73614 =0.2936.P (X=1)=×0.26391×0.73613=0

2、.4210, P (X=2)= ×0.26392×0.73612=0.2264.P (X=3)=×0.26393×0.7361=0.0541, P (X=4)= ×0.2639×0.73610=0.0049.從而E (X)=np=4×0.2639=1.05563.三 有3只球，4只盒子，盒子的編號為1，2，3，4，將球逐個獨立地，隨機地放入4只盒子中去。設(shè)X為在其中至少有一只球的盒子的最小號碼（例如X=3表示第1號，第2號盒子是空的，第3號盒子至少有一只球），求E (X)。 事件 X=1=一只球裝入一號盒，兩只球裝入非一號盒

3、+兩只球裝入一號盒，一只球裝入非一號盒+三只球均裝入一號盒（右邊三個事件兩兩互斥）事件“X=2”=“一只球裝入二號盒，兩只球裝入三號或四號盒”+“兩只球裝二號盒，一只球裝入三或四號盒”+“三只球裝入二號盒”同理：故5.五 設(shè)在某一規(guī)定的時間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時間X（以分計）是一個連續(xù)型隨機變量。其概率密度為求E (X)解： 6.六 設(shè)隨機變量X的分布為X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5)解：E (X)= (2)×0.4+0×0.3+2×0.3=0.2E (X2)= (2)2×0.4+02×0.3+22&

4、#215;0.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.47.七 設(shè)隨機變量X的概率密度為求（1）Y=2X（2）Y=e2x的數(shù)學(xué)期望。解：（1） （2） 8.八 設(shè)（X，Y）的分布律為XY1231010.20.10.10.100.100.30.1(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 設(shè)Z=Y/X，求E (Z )。(3) 設(shè)Z= (XY )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=1×0.4+2×0.2+

5、3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)×0.3+0×0.4 +1×0.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1（2） E (Z )= (1)×0.2+(0.5)×0.1+(1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.Z (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(2- 0)2或(1- (-1)2

6、或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40（3） E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=510.十 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。若工廠出售一臺設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費300元。試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解：一臺設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺設(shè)備的凈贏利則故 11.十一 某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（a, b）服從均

7、勻分布。試求圓盤面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)X為圓盤的直徑，則其概率密度為用Y表示圓盤的面積，則12.十三 設(shè)隨機變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X13)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）13.十四 將n只球（1n號）隨機地放進(jìn)n只盒子（1n號）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，記X為配對的個數(shù)，求E(X )解：引進(jìn)隨機變量 i=1, 2, n 則球盒對號的總配對數(shù)為Xi的分布列為Xi:10P:i=1, 2 n i=1, 2 n14.十五 共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能

8、打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。設(shè)抽取鑰匙是相互獨立的，等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（1）寫出X的分布律，（2）不寫出X的分布律。解：（1）X123nP （2）設(shè)一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。設(shè) i=1, 2 n則試開到能開門所須試開次數(shù)為Xii0PE (Xi)=i=1, 2n 15. （1）設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E (X)，方差為D (X)>0，引入新的隨機變量（X*稱為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量）：驗證E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知隨機變量X的概率密度。求X*的概率密度。解：（1） D (X* )= E X*E

9、(X )* 2= E (X*2 )= = （2） 16.十六 設(shè)X為隨機變量，C是常數(shù)，證明D (X )<E (XC )2 ，對于CE (X )，（由于D (X ) = E XE (X )2 ，上式表明E (XC )2 當(dāng)C=E (X )時取到最小值。）證明： D (X )E (XC )2 = D (X2 )E (X )2E (X2 )2CE (X2 )+C2 =E (X )22CE (X2 )+C2 =E (X )C 2<0，當(dāng)E (X )C時D (X )< E (XC )2 17. 設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為其中>0是常數(shù)，求E (X )，D (X )。

10、解：又D (X )= E (X 2 )E 2 (X )=222=221設(shè)X1, X2 , Xn是相互獨立的隨機變量且有,i=1,2, n.記，.（1）驗證（2）驗證.（3）驗證E (S 2 )證明：（1）(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2°，3°) (利用方差的性質(zhì)2°，3°)（2）首先證于是（3） 23二十五 設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY1011001驗證：X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨立的。證：P X=1 Y=1=P X=1= P Y=1= P X=1 Y=1P X=1 P Y=1 X，Y不是獨立的又E (X )=1×+0×+1

11、15;=0 E (Y )=1×+0×+1×=0 COV(X, Y )=EXE (X )YE (Y )= E (XY )EX·EY = (1)(1) +(1)1×+1×(1)×+1×1×=0 X，Y是不相關(guān)的27已知三個隨機變量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, XY=0 XZ=，YZ=。設(shè)W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1

12、1=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E (X+Y+Z)E (X+Y+Z)2 = E XE (X )+ YE (Y )+ZE (Z )2 = E XE (X )2+ YE (Y )2+ ZE (Z )2+2 XE (X ) YE (Y ) +2 YE (Y ) ZE (Z )+2ZE (Z ) XE (X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 +=1+1+1+2× 26.二十八 設(shè)隨機變量（X1，X2）具有概率密度。，0x2,0y2求E

13、 (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），解： D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =28.二十九設(shè)XN（， 2），YN（， 2），且X，Y相互獨立。試求Z1= X+Y和Z2= XY的相關(guān)系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）.解：由于X，Y相互獨立Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)E(Z1) E(Z2)=E (X+Y ) (XY )(EX+EY ) (EXEY ) =2EX 2EY 22 (EX ) 2+(EY ) 2=2DX 2DY=(2 2) 2DZ1=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2, DZ2=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2,(利用數(shù)學(xué)期

14、望的性質(zhì)2°3°)故29二十三 卡車裝運水泥，設(shè)每袋水泥重量（以公斤計）服從N（50,2.52）問最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05.解：已知XN（50,2.52）不妨設(shè)最多可裝A袋水泥才使總重量超過2000的概率不大于0.05.則由期望和方差的性質(zhì)得Y=AXN（50A,2.52A）.故由題意得P Y20000.05即解得A39.30.三十二 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計每毫升含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率p.解：由題意知=7300,=700，則由契比雪夫不等式31.三十三對于兩

15、個隨機變量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,證明E (VW)2E (V2 )E (W 2 )這一不等式稱為柯西施瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式.證明：由和關(guān)于矩的結(jié)論，知當(dāng)E (V2 ), E (W 2 )存在時E (VW)，E(V ), E(W ), D (V ), D (W ),都存在.當(dāng)E (V2 ), E (W 2 )至少有一個為零時，不妨設(shè)E (V2 )=0，由D (V )= E (V2 )E (V )2E (V2 )=0知D (V )=0，此時E (V )2 = E (V2 )=0即E (V )=0。再由方差的性質(zhì)知P (V=0)=1.又故有P (VW=0)=1.

16、于是E(VW )=0，不等式成立. 當(dāng)E (V2 )>0，E (W 2 )>0時，對有E (WtV )2 = E (V2 ) t22 E(VW )t+ E (W 2 )0.(*)(*)式是t的二次三項式且恒非負(fù)，所以有=2 E(VW ) 24 E (V2 ) E (W 2 ) 0故Cauchy-Schwarz不等式成立。二十一（1）設(shè)隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5i, i=1,2,3,4。設(shè)Y=2 X1X2+3X3X4，求E (Y)，D (Y)。（2）設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且XN（720，302），YN（640，252），求

17、Z1=2X+Y，Z2=XY的分布，并求P X>Y , P X+Y>1400 解：（1）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2°，3°有E (Y )= 2E (X1 )E (X2 )+3 E (X3 )E (X4 )=7利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2°，3°有D (Y )=22 D (X1 )+ (1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=37.25（2）根據(jù)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1N（· ，·），Z2N（· ，·）而E Z1=2EX+Y=2×720+640

18、, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EXEY=720640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1N（2080，4225），Z2N（80，1525）P X>Y = P XY >0 = P Z2>0 =1P Z2 0 =P X+Y >1400 =1P X+Y 1400 同理X+YN（1360，1525）則P X+Y >1400 =1P X+Y 1400 =二十二 5家商店聯(lián)營，它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以kg計）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1N（200，225），X2N（240，240），X3N（180，225），X4N（260，265），X5N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨立。（1）求5家商店兩周的總銷售量的均值和方差；（2）商店每隔兩周進(jìn)貨一次，為了