1、2011高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區設置報名

2、號的話）： 所屬學校（請填寫完整的全名）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：企業退休職工養老金的模型摘要：養老保險是世界各國較普遍實行的一種社會保障制度，我國也不例外，我國的養老保險改革正處于過渡期。對于問題一，根據附件1，利用MATLAB

3、畫出年對應的散點圖像1，根據圖像分析，年平均工資成指數增長模型，并對它進行擬合，函數為：。接著從網上查找了一些國家統計局數據，并進行擬合，建立了中國經濟增長函數為，觀察圖像3，發現中國經濟增長和年平均工資增長模式吻合，確定了模型1對年平均工資的增長假設較為合理。利用MATLAB畫出擬合圖像2，發現圖像3與擬合圖像2相吻合。因此預測2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。對于問題二，根據附件2數據，利用EXCEL算出年該企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比，即得出職工繳費指數的參考值（附件8），建立替代率的函數模型然后分別將該企業職工自2000年起從30歲、40歲開始繳養老保險，一直

4、繳到退休（55歲，60歲，65歲），這六種情況的對應值代入中，養老金替代率利用EXCEL分別算出來， 。對于問題三，由題意，養老金保險基金的來源于企業將職工工資總額的20%繳納到社會統籌基金賬戶與職工個人工資的8%繳納到個人賬戶，養老金的支出即為發放給個人的退休養老保險額，則收支平衡模型為：當時，養老金的收支達到平衡；即此人領養工資62歲時，繳存的養老保險與其領養的養老保險之間達到收支平衡。對于問題四應該從社會養老保險基金的征繳、發放與管理等方面做好收支平衡的工作。關鍵詞：擬合；MATLAB軟件； EXCEL軟件 ；指數增長；收支平衡.問題提出養老保險是世界各國較普遍實行的一種社會保障制度，我

5、國也不例外，我國的養老保險改革正處于過渡期。附錄中沒有提到職工在職期間每月的繳費工資，因此需要根據題意及附錄估算出職工在職期間每月的繳費工資；個人賬戶儲存額儲存在銀行，務必考慮個人賬戶的利息，而且得考慮的是銀行的存款利息是按復利計算還是按單利計算，這個問題便可在假設中說明；該職工自2000年起從30歲、40歲開始繳養老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），退休當年，該職工是否還繳養老保險金這容易讓人產生誤解，值得考慮，根據題意，我們多次的揣摩，認為退休當年不繳養老保險金，且從退休的當年便可以領取養老保險了；既要達到目標替代率，又要維持養老金之間收支平衡，則根據問題二與問題三的模型便可

6、求出，參保人員退休前年的值，而要同時滿足這兩個模型，求出的值很可能不一樣，因此得采取適當的措施來達到目標替代率同時能夠維持養老保險基金的收支平衡。.問題的分析本文討論了歷年養老金的繳費、替代率、養老保險的缺口的問題。問題一針對未來中國經濟的發展和工資的增長趨勢，我們建立的指數增長模型，利用MATLAB 算出的函數，從而根據函數預測出未來中國經濟的發展和工資的增長趨勢。同樣的方法預測出山東省職工的年平均工資。問題二針對替代率，根據題意及附錄的信息便可估算出2000年到2035年個人退休前的工資，從而計算出六種情況下的替代率。問題三針對缺口問題，影響缺口的因素主要有繳存養老保險基金額與領取的養老保

7、險基金額，根據題意及附錄，建立了收支差額模型，對模型進行求解便可算出該企業職工自2000年從30歲開始繳養老保險金，一直領養到62歲時，他繳存的養老保險基金與領取的養老保險基金達到收支平衡。問題四針對目標替代率與養老保險金的收支平衡，可以提出一些合理的措施，如適當提高退休年齡、推遲職工的就業年齡、建立健全有關的法律法規等。模型假設1.假設此人是年初退休；2.假設年時該企業職工恰好為歲或歲；3.假設山東該企業職工在2000年到2035年無死亡情況；4.假設現階段企業與個人的繳費比例都不變。.符號說明：職工退休時的養老金；：基礎養老金；：個人賬戶養老金；:國家收入與支出的差值；：本人指數化月平均繳

8、費工資；： 企業和職工實際繳納基本養老保險費的月數合計；：企業和職工實際繳納基本養老保險費的年限；：替代率；：開始繳納養老保險的年份：職工的死亡時的年齡：參保人員退休前年本人繳費工資額；：參保人員退休前年山東省 “職工平均工資”；：年齡為時退休養老金的計發月數。：職工工人工資繳納到個人賬戶的比例為：個人賬戶儲存額一年期存款的利率為5模型求解（一）問題一的求解圖1根據附件1中的統計數據，利用MATLAB對數據進行描點，畫出散點圖，如圖1所示：通過對圖像的觀察，建立山東省平均工資關于年份成指數增長模型1， （1）利用MATLAB對散點進行擬合（見圖2）并求解，得出平均工資關于年份的關系式為： （2

9、） （求解過程見附件1）圖2由題可知，工資水平與人均GDP相關，根據中國歷年GNP和人口增長率求的從1978-2009年的人均GDP（附件3表1），而利用MATLAB對數據進行擬合，求解的出人均GNP關于年份的表達式為: （3）（求解過程見附件1）利用MATLAB進行繪圖，通過對比平均工資的增長和人均GDP的增長模式相符（見圖3），從而推斷出模型1的假設是合理的。因此可以預測中國經濟發展和工資都是成指數增長趨勢；2011年-2035年山東省職工的年平均工資也是成指數增長趨勢，預測到2035年。如圖3所示：圖3結果給出（二）問題二的求解根據附錄2，利用EXCEL軟件計算出2009年該企業各年齡段

10、職工的總人數及各年齡段職工年工資總額（其中：某年齡段年工資總額= 各檔工資的中值×相應年齡段該檔工資的人數），然后將各年齡段職工年工資總額與對應年齡段職工的總人數相比即得出各年齡段職工年工資的平均值。同理，也可以算出2009年山東省該企業的年平均工資。由題意，將各年齡段職工年工資的平均值分別與山東省該企業的年平均工資相比，得出的即是職工繳費指數的參考值。應給出繳費指數，結果。（太簡單）個人賬戶儲存額以當時公布的一年期存款利息計算，題中利息統一設定為。由題意，養老金=基礎養老金+個人賬戶養老金，即；個人賬戶養老金=個人賬戶儲存額計發月數，即；基礎養老基金=（全省上年度在崗職工月平均工資

11、+本人指數化平均繳費工資）繳費年限，即本人指數化平均繳費工資因此替代率若該職工2000為30歲開始繳養老保險，一直繳費到55歲退休，此時計算出從30到55歲繳納的個人賬戶養老基金，即這年齡段中每年工資的本息和的8%，30-34歲段個人賬戶養老金和為元；35-39歲段個人賬戶養老金和為17256.02379元；40-44歲段個人賬戶養老金和為31440.71794元；45-49歲段個人賬戶養老金和為57027.22061元；50-54歲段個人賬戶養老金和為114116.7198元；將這些年齡段累加得出個人賬戶養老金21020.66元，進而算出基礎養老金，便可算出退休時的養老金，此時退休前工資為元

12、，最終算出此種情況的替代率為，同樣地計算出30歲開始繳養老保險，一直繳費到60歲退休，此種情況的替代率為；30歲開始繳養老保險，一直繳費到65歲退休（因為附件中沒有60-64歲年齡段的月平均工資，因此需要對這個年齡段的總工資，與這個年齡段的總人數分別進行二次函數擬合與一次線性函數擬合，擬合結果見附件7）得出60-64段的個人月平均工資為1259.693878，繳費指數為0.48821，此種情況的替代率為；40歲開始繳養老保險，一直繳費到55歲退休，此種情況的替代率為；40歲開始繳養老保險，一直繳費到60歲退休，此種情況的替代率為：40歲開始繳養老保險，一直繳費到65歲退休，此種情況的替代率為。

13、 （求解見附件8）（三）問題三的求解 由圖3可知山東省該職工歷年平均的工資，由附件2可知該職工2009年的個人平均工資，結合圖2與圖3，可以觀察，個人的平均工資與社會平均工資的變化是呈正相關的，則有 便可求出該職工自2000年30歲時的平均工資，同理我們可以得出從2000年到2035年個人退休前的工資，如圖5所示，利用圖5中的數據算出六種情況的對應值，從而算出六種情況下歷年的養老保險，建立收支平衡模型為：當時，不存在養老保險金的缺口情況；當時，養老金的收支達到平衡；當時，存在養老保險金的缺口情況。歷年養老保險 將2000年從30歲開始繳養老保險直到（55歲，60歲，65歲）退休時對應的值代入,

14、從而得出，,;（見附件11）要使收支平衡，則令時，此時得出，約等于62年，即該職工領取養老金到歲時62歲，養老保險達到收支平衡。（四）問題四的求解措施一：退休年齡退休年齡是決定養老金負擔水平的一個基本因素。在平均預期壽命和保障水平一定的情況下，提高退休年齡，不僅可以縮短平均享用養老金年限，降低養老金支付總負擔，而且還可以延長職工繳納養老保險費的期限，增加養老保險基金收入，從雙向有利于實現養老基金收支的平衡。措施二：繳費工資按照國家規定，企業應以全部職工繳納工資基數之和作為繳費基數。繳費基數的大小對社保基金收入的增減以及繳費率升降產生重要影響，在繳費比例既定的前提下，繳費基數大，基金收入數額就越

15、大。當基金收入達到一定規模的結余后，又為降低繳費比例創造了條件；反之，繳費基數小，基金收入就少，從而不利于基金收支的平衡。為了保持養老基金收支的平衡，人們又不得不提高養老保險費的征收比例。措施三：就業年齡根據我國的基本養老保險制度，則每個退休職工從歲到歲每年獲得養老金和為該職工的總款額，將它折算為其在歲時初的現值為： 每個職工從歲開始工作，到歲退休。退休后養老金包括基礎養老金在歲出的現值和個人人賬戶養老金在歲出的現值.則：根據社會養老基金“以收定支”的原則進行測算，則據此，在其他變量不變的情況下，每增大一歲，養老金的繳費年限就會減少一年，總供款額會因此減少，進入個人賬戶的供款額也相應減少，故個

16、人賬戶儲存額減少，從而個人賬戶養老金年齡額也降低。在領取年限不變的情況下，總額款項也因此而減少。因此，推遲職工的就業年齡有利于減少養老金負擔，緩解就業壓力。而延長年輕人的教育年限，限制正式職工最低年齡等，都不失為推遲職工開始工作年齡的有效途徑。另外，從經濟發達國家的經驗來看，推遲就業年齡也是符合社會經濟發展的客觀規律的。措施四：工資增長率由于職工繳費的指數化工資與領取的養老金均按一定的比例與工資掛鉤，因此一旦工資增長，職工所繳納與所領取的養老金也會隨著整長。過去20年，我國工資增長一直較快，年平均5.7%，預計今后20年仍以3%-5%的速度增長。如此高度的增長速度，大大增加了與其掛鉤的養老金負

17、擔和轉制成本。既然理論分析表明，養老金應首先與消費者物價指數掛鉤，使其保值，那么我們就應該盡快改革現有的按工資指數話的管理方法，以相應的減輕養老金支付負擔和轉制成本，從而緩解養老金收支不平衡的狀況。既要達到目標替代率，又要維持養老保基金的收支平衡，則可以建立 （1） （2）的模型，通過上文四項措施對（1）（2）進行優化，從而得到與的最優值。6.模型的評價優點：1.根據題目中的附件，能夠提取信息，畫出對應的圖形，便于模型的建立與求解；2.層次清晰，解答簡便，結果明了。缺點：1.沒有準確的數據來調整模型的系數，使模型更加貼近現實。2.第二問僅用2009年的職工繳費指數來預測，由于僅利用一年數據來預

18、測，可能會影響預測的效果。3.模型是在理想的情況下建立了J型曲線，沒考慮現實生活中存在的因素，因此模型仍存在不足，我們根據發達國家的國情，一個國家或地區的經濟增長曲線大致呈一條拉平的“”型曲線。因為Logistic函數具有典型的“”型曲線特征，比較符合自然界和人類社會發展規律，因此經濟增長呈“”型曲線具有很好的借鑒意義和指導價值。參考文獻：黃開枝譯.MATLAB7基礎教程面向工程應用. 北京：清華大學出版社，2007.7姜啟源,謝金星,葉俊.數學建模M。北京：高等教育出版社，2007歷年國內生產總值(出自中國統計年鑒2010)，2f8c2f2a3169a4517723a3d1.html，（20

19、11年9月9日）。kexianchao，中國歷年GDP數據,GDP及人均GDP增長率,通貨膨脹率,人口總數,人口出生率、死亡率和自然增長率，（2011年9月9日）。呂志勇，王霞，張良。新政策下養老保險基金收支平衡精算模型的相關因素分析.山東大學學報 2009年第1期.哲學社會出版社 附 錄1>> x=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 200

20、6 2007 2008 2009 2010;>> y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;>> plot(x,y,'*')2x=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1

21、991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010;y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;y=log(y');d =ones(1,size(x,

22、2);a=d;x;b = a*y;a=a*a'c=abc = -254.63000.13193x=1978:0.1:2010;>> y=exp(-254.7+0.1319*x);>> w=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010;z=566 632 745 755 769 789

23、 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;>> plot(x,y,'r',w,z,'*')>> title('附件1數據擬合')>> xlabel('年份'),ylabel('元')4x=1978:1:2009;>> y=3

24、79.0823 416.4954 460.5262 488.5943 524.372 581.0764 694.1318 854.1003 955.649 1102.527 1354.352 1508.457 1637.176 1884.444 2298.971 2975.103 4014.056 4938.081 5731.111 6314.273 6654.666 7034.102 7734.218 8467.505 9271.538 10460.2 12277.04 14210.33 16548.19 20265.32 23812.05 25441.83 ;>> y=log(

25、y');d =ones(1,size(x,2);a=d;x;b = a*y;a=a*a'c=abc = -275.9364 0.14245>> x=1978:0.1:2035;>> y=exp(-254.63+0.1319*x);>> plot(x,y,'r',w,z,'*')>> w=1978:0.1:2035;>> z=exp(-275.9364+0.1424*w);>> plot(x,y,'r',w,z,'b')>> titl

26、e('GNP和平均工資增長對比圖')>> xlabel('年份'),ylabel('元')61978379.08231979416.49541980460.52621981488.5943 1982524.3721983581.0764198469410031986955.69419871102.52719881354.35219891508.4571990163744419922298.97119932975.10319944014.05619954938.08119965731.

27、11119976314.27319986654.66619997034.10220007732.21820018467.50520029271.538200310460.2200412277.04200514210.33200616548.19200720265.32200823812.05200925441.837x=22 27 32 37 42 47 52 57;y=487000 546250 613500 622000 668750 634000 421000 301000;polyfit(x,y,2)ans = 1.0e+005 * -0.0088 0.6551 -5.5545x=22

28、 27 32 37 42 47 52 57;y=282 263 242 226 221 194 135 101;>> polyfit(x,y,1)ans = -4.8952 401.36198年份職工平均工資xi/ci20008988.7261.024707200110254.241.024707200211655.011.024707200312877.491.024707200414686.091.024707200518482.321.112454200621390.271.112454200725412.911.112454200829373.251.11245420093

29、3026.551.112454201039230.61.223128201146737.931.223128201253327.711.223128201360846.611.223128201469425.631.223128201585549.851.320954201697611.881.3209542017111374.61.3209542018127077.81.32095420191449951.3209542020157869.11.2605172021180127.81.2605172022205524.81.2605172023234502.61.26051720242675

30、66.11.2605172025291750.31.2046072026332885.41.2046072027379820.31.2046072028433372.71.2046072029494475.81.20460720302384780.5091732031272102.10.5091732032310466.90.5091732033354240.90.5091732034404186.80.5091732035461174.80.509173年齡段各年齡段平均工資繳費指數20-24歲職工數1726.9503550.669325-29歲職工數2076.9961980.80530-3

31、4歲職工數2535.1239670.982535-39歲職工數2752.2123891.066740-44歲職工數3026.01811.172845-49歲職工數3268.0412371.266650-54歲職工數3118.5185191.208655-59歲職工數2980.198021.15560-65歲職工數1259.6938780.488219年份社會平均工資個人年平均工資繳費指數 200087728988.7257231.02470653520011000710254.238291.02470653520021137411655.012131.02470653520031256712877.487021.02470653520041433214686.094061.02470653520051661418482.318771.11245448220061922821390.274781.11245448220072284425412.910191.11245448220082640429373.248151.11245448220092968833026.548671.11245448220103207439230.600061.223127769201138211.8134746737.930151.22312776