1、第十一講 分數、百分數應用題初步教學說明：在課本上此章節應為小學六年級上半學期內容，也是整個小學的重難點，但各各學校的進度不一，有部分學校已經講解過，在我們奧數的學習進度中也必須提前有所了解，所以教師在講解時側重于基礎知識的理解應用提高，同時兼顧本班孩子的進度，進行適當補充，為我們以后的工程問題、經濟濃度等問題打好基礎！我們將“列方程解應用題”放在此講之前，意在讓學生多一種解決分數、百分數應用題的方法，增加他們的信心，但主體仍以算術方法為主，碰到個別例題教師可講述方程思路.古希臘杰出的數學家丟番圖的墓碑上有一段話：“他生命的六分之一是幸福的童年再活十二分之一臉上長起了細細的胡須，他結了婚還沒有

2、孩子，又度過了七分之一再過了五年，他幸福地得到了一個兒子可這孩子光輝燦爛的壽命只有他父親的一半兒子死后，老人在悲痛中活了四年，也結束了塵世的生涯”你能根據這段話推算出丟番圖活了多少歲？多少歲結的婚嗎？怎么樣？你能根據大數學家丟番圖的敘述找到答案么？呵呵！學習了今天的知識，你就可以在課后解決這個“數學趣題”了！好了，讓我們開始今天的學習吧！內容概述在解有關分數的應用題時，首先要弄清以下幾個基本問題：（1）如何求一個數的幾分之幾（或百分之幾）？求一個數的幾分之幾，只需要將這個數乘以幾分之幾就得到例如：5的24%是多少？ 解答：5×24%=1.2 . （2）如何求一個數是另一個數的幾分之幾

3、（或百分之幾）？求一個數是另一個數的幾分之幾，只需要將前一個數除以后一個數就得到例如：是的幾分之幾？ 解答： .（3）已知一個數的幾分之幾（或百分之幾），如何求這個數？已知一個數的幾分之幾，要求這個數，只需要將這個幾分之幾的數除以幾分之幾例如： 一個數的等于18，那么這個數等于多少？ 解答：.分數應用題經常要涉及到兩個或兩個以上的量，我們往往把其中的一個量看作是標準量也稱為：單位“1”，例如a是b的幾分之幾，就把數b看作單位“1”在幾個量中，弄清哪一個是單位“1”很重要，否則容易出錯誤而百分數應用題中所涉及的百分數，只是分母是100的分數，因而計算的方法和分數應用題是一樣的，關鍵也是要找準單位

4、“1”和對應的百分率，以及對應量三者的關系 類型：單位“1”不變【例1】 （奧數網習題庫）（難度系數：）六年級男生有50人，女生有40人，（1）女生人數是男生人數的幾分之幾？（2）男生人數比女生人數多百分之幾？（3）女生人數比男生人數少百分之幾？（4）女生比男生少的人數是全班人數的百分之幾？分析：此題四個問題都是求一個數是另一個數的百分之幾，解答的關鍵是找準單位“1”，要注意幫助學生找一些典型字眼如：“的”、“占”、“是”、“比”等.（1） 男生人數為單位“1”，40÷50=4/5；（2） 女生人數為單位“1”，（50-40）÷40=25%；（3） 男生人數為單位“1”，（

5、50-40）÷50=20%；（4） 全班人數為單位“1”，（50-40）÷（50+40）11.1% .【鞏固】一個機關精簡機構后有工作人員120人，比原來工作人員少40人，精簡了百分之幾？分析：“精簡了百分之幾”是在說“現在比原來少的人數是原來工作人員的百分之幾” 單位“1”就是“原來工作人數”，40÷（120+40）=25%.【例2】 （1）（首師附入學測試題）（難度系數：）小強看一本書，每天看15頁，4天后加快進度，又看了全書的，還剩下30頁，這本故事書有多少頁？（2）（數學趣題）（難度系數：）古希臘杰出的數學家丟番圖的墓碑上有一段話：“他生命的六分之一是幸福

6、的童年再活十二分之一臉上長起了細細的胡須，他結了婚還沒有孩子，又度過了七分之一再過了五年，他幸福地得到了一個兒子可這孩子光輝燦爛的壽命只有他父親的一半兒子死后，老人在悲痛中活了四年，也結束了塵世的生涯”你能根據這段話推算出丟番圖活了多少歲？多少歲結的婚嗎？分析：（1）教師可先講解下題：小強看一本故事書，每天看20頁，5天后還剩下全書的沒看，這本故事書有多少頁？分析：（頁）. 回到原題：4天看了15×4=60（頁），而60+30=90頁占全書的：1-=，這本故事書有：90÷=150（頁）.（2）活的歲數：(歲) ，結婚年齡：（歲）.【例3】 （奧數網習題庫）（難度系數：）有男

7、女同學325人，新學年男生增加25人，女生減少5，總人數增加16人，那么現有男同學多少人？分析：男生增加25人，總人數只增加16人，說明女生減少9人，而女生減小5，故9人對應的為5，女生原人數為9÷5=180人【例4】 （迎春杯刊賽）（難度系數：）甲、乙、丙三人一起買了八個面包平分著吃，甲拿出五個面包的錢，乙付了三個面包的錢，丙沒帶錢，等吃完后一算，丙應該拿出四元錢，問：甲應收回多少錢?(以角為單位) 分析：每人應付個面包的錢，丙拿出的40角就是個面包的錢，所以一個面包的價格應為：（角），甲多付的錢為：（角），所以甲應收回35角.【例5】 （奧數網習題庫）（難度系數：）好味多西餅屋推

8、出一款新蛋糕，第一天賣出了全部的20%，第二天賣出了剩下的，第二天比第一天多賣出40個，那么好味多西餅屋這次共推出新蛋糕多少個？分析：好味多西餅屋推出新蛋糕個數看作“1”，（個）.【鞏固】（迎春杯決賽）迎春農機廠計劃生產一批插秧機，現已完成計劃的56，如果再生產5040臺，總產量就超過計劃產量的16那么，原計劃生產插秧機臺分析：5400÷(1+16一56)=9000(臺).【例6】 （小數報數學競賽）（難度系數：）某運輸隊運一批大米第一天運走總數的多60袋，第二天運走總數的少60袋還剩下220袋沒有運走。這批大米原來一共有多少袋？分析：可畫圖幫助學生理解，(220-60+60)

9、47;(1-)=400（袋）此題也可使用倒推法解決.【鞏固】小強看一本故事書，第一天看了全書的還多21頁，第二天看了全書的少6頁，還剩172頁，這本故事書一共有多少頁？分析：如右圖，【例7】 （奧數網習題庫）（難度系數：）奧數網派出60名選手參加2008年“華羅庚金杯小學數學邀請賽”，其中女選手占正式比賽時有幾名女選手因故缺席，這樣就使女選手人數變為參賽選手總數的正式參賽的女選手有多少名？分析： 因為女選手人數有變化，男選手人數未變，所以抓住男選手人數不變求解把總人數視為“1”， 男選手人數是60×(1-)=45(人)，男選手人數占正式參賽選手總數的1-，所以正式參賽選手總數是：45

10、÷(1-)=55(人)，正式參賽的女選手人數是55×=10(人)【例8】 （小數報數學競賽初賽）（難度系數：）甲、乙兩人星期天一起上街買東西，兩人身上所帶的錢共計是86元.在人民市場，甲買一雙運動鞋花去了所帶錢的，乙買一件襯衫花去了人民幣16元這樣兩人身上所剩的錢正好一樣多問甲、乙兩人原先各帶了多少錢? 分析：把甲所帶的錢視為單位“1”，那么甲原來帶了（元），乙原來帶了41元類型：單位“1”變化【例9】 （小數報數學競賽二試）（難度系數：）專業戶王老伯養了許多雞鴨，雞的只數是鴨的只數的倍鴨比雞少幾分之幾？分析：把鴨看成1，那么雞就是，鴨比雞少：（-1）÷=.（此時

11、的單位“1”是雞的只數）【鞏固】某校男生比女生多，女生比男生少幾分之幾？ 分析：男生比女生多，則男生有1+=，女生比男生少÷=.【例10】 （1）（十一中學入學考試題）（難度系數：）某工廠二月份比元月份增產10，三月份比二月份減產10問三月份比元月份增產了還是減產了？（2）一件商品先漲價15，然后再降價15，問現在的價格和原價格比較升高、降低還是不變？分析：（1）一定會有同學認為三月份比元月份不增不減，這對嗎？工廠二月份比元月份增產10，我們就要將元月份產量看作1，將元月份產量看作1，則二月份產量為：，三月比二月減產10，則三月份產量為： ，所以三月份比元月份減產了 .（2）1

12、15;（1+15%）×（1-15%）=0.97751，所以現在的價格比原價降低了.【例11】 （迎春杯決賽）（難度系數：）路鐵水凝成鐵塊 ，其體積縮小了，那么這個鐵塊又熔化成鐵水（不計損耗），其中體積增加了幾分之幾?分析：設鐵水的體積為1，則鐵塊為1-=現在變回來，那么鐵塊的體積就要變為單位1，則鐵水的體積就為l÷=，故體積增加了：.【例12】 （07年希望杯培訓試題）（難度系數：）某校學生參加大掃除的人數是未參加大掃除人數的，后來又有20名同學參加大掃除，實際參加的人數是未參加人數的，這個學校有多少人？分析：（人）.【鞏固】（迎春杯決賽）（難度系數：）小剛給王奶奶運蜂窩煤

13、，第一次運了全部的，第二次運了50塊，這時已運來的恰好是沒運來的.問還有多少塊蜂窩煤沒有運來？分析：運完第一次后，還剩下沒運，再運來50塊后，已遠來的恰好是沒運來的，也就是說沒運來的占全部的，所以，第二次運來的50塊占全部的：，全部蜂窩煤有：（塊），沒運來的有：（塊）.【例13】 （華杯賽口試）（難度系數：）一根木桿，第一次截去了全長的，第二次截去所剩木桿的，第三次截去所剩木桿的，第四次截去所剩木桿的，這時量得所剩木桿長為6厘米問：木桿原來的長是多少厘米?分析：法1：設木桿原長為1，第一次截后所剩為原長的；第二次截后所剩為×(1一)=；第三次截后所剩為×(1一)=；第四次截

14、后所剩為×(1一)=，即原長的等于6厘米，由部分求整體得：木桿原長=6÷=6×5=30(厘米)法2: 倒推法！注意單位“1”的不斷變化.此法方便學生解答出類似附加8的題目.【鞏固】建筑工地需要一批水泥，從倉庫第一次運走全部的，第二次運走余下的，第三次運走（前兩次運后）又余下的，這時還剩下15噸水泥沒運走這批水泥共是多少噸？分析：法1：把這批水泥視為單位“1”，第一次遠走后所剩為：，第二次遠走后所剩為：，第二次遠走后所剩為：，即原來的即為15噸，原來有水泥=（噸）法2:畫線段圖幫助分析，依據逆向思路可以得出，最后剩下的15噸對應的是“又余下”的，因此求出“又余下”為

15、60噸，這時60噸對應得恰好是“余下”的，這樣可以求出“余下”的噸數為90噸，即全部的，所以原有水泥150噸. 附加題目 【附1】（華杯賽初賽）（難度系數：）右圖是一個園林的規劃圖，其中，正方形的是草地；圓的是竹林；竹林比草地多占地450平方米 問：水池占多少平方米?分析：把水池的面積作為1個單位，那么草地的面積便是3個單位，而竹林的面積是6個單位。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=）3個單位。3個單位的面積是450平方米，可見1個單位的面積是450÷3=150（平方米）。【附2】（迎春杯刊賽）（難度系數：）村里種了新瓜，男女老少品嘗它小伙每人吃一個，姑娘兩人分一瓜；老人一瓜三人吃

16、，四個小孩吃一瓜男女老少四個組，一共吃了五十瓜，各組人數都相等，每組多少人品嘗瓜？分析：把各組人數都視為“1”，那么有：50÷(1+)=24（人）.【附3】（北大附中入學測試題）（難度系數：）有三堆棋子，每堆棋子數一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把這三堆棋子集中在一起，問白子占全部棋子的幾分之幾?分析：不妨認為第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即將第一堆黑子與第二堆白子互換)，第二堆黑子是全部棋子的，同時，又是黑子的1-所以黑子占全部棋子的÷(1-)=，白子占全部棋子的1-=.【附4】（小學數學奧林匹克初賽）

17、（難度系數：）足球賽門票15元一張，降價后觀眾增加了一半，收入增加了五分之一，則一張門票降價多少元？ 分析：設原來收入是1現在收入是1+，那么原收入有：，因此每張門票降價：15×(1-)=3(元)【附5】（迎春杯刊賽）（難度系數：）小莉和小剛分別有一些玻璃球，如果小莉給小剛24個，則小莉的玻璃球比小剛少；如果小剛給小莉24個，則小剛的玻璃球比小莉少小莉和小剛原來共有玻璃球多少個？分析：小莉給小剛24個時，小莉是小剛的 (=I一)，即兩人球數和的；小剛給小莉24個時，小莉是兩人球數和的(=)，因此24+24是兩人球數和的一=從而，和是(24+24) ÷=132(個) 【附6】

18、（華校課本）（難度系數：）菜園里西紅柿獲得豐收，收下全部的時，裝滿3筐還多24千克，收完其余部分時，又剛好裝滿6筐，求共收西紅柿多少千克？分析：法1：1-=是6筐，所以總筐數就是： （筐），收下全部的就是（筐），筐比3筐多筐，每筐是：24÷=40（千克），共收西紅柿40×=384（千克）.法2：（千克）.【附7】（祖沖之杯數學邀請賽）（難度系數：）某班了次集會，請假人數是出席人數的，中途又有一人請假離開，這樣一來，請假人數是出席人數的，那么，這個班共有多少人？分析：因為總人數未變，以總人數作為”1”原來請假人數占總人數的，現在請假人數占總人數的，這個班共有：l÷(

19、-)=50(人)【附8】（07年希望杯1試題）（難度系數：）小紅看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天看了10頁正好看完。這本故事書共有多少頁？分析：利用倒推法解. 第一天余下了，原有. 練習十一1一個水箱中的水是裝滿時的，用去200立升以后，剩余的水是裝滿時的，這個水箱的容積是多少立升？分析：200÷(-)=2400(立升)2小新暑假練習寫字，每天寫3頁，5天后加快速度又寫了全部的，還剩下25頁，小新共練習多少頁？分析：（頁）.3向陽生產隊用拖拉機耕地，第一天耕了全部土地的25，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30畝，問：這個生產隊共有多少畝土地?分析：這個生產隊共有土地：30÷×(125)一25=120(畝).4六年級選出男生的和12名女生參加數學競賽剩下的男生人數是女生的2倍已知六年級共有學生156人，其中男