1、2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了全國大學生數(shù)學建模競賽章程和全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則

2、的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜喝A南理工大學參賽隊員(打印并簽名) ：1.劉軍 2.張偉罡 3.張雄鋒指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 日期：2013年 8月27日

3、賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：制動器試驗臺的控制方法分析摘 要：本文研究制動器試驗臺的控制方法。在試驗臺上測試制動器與路試不同，需要電動機補償由于機械慣量不足而缺少的能量（或抵消機械慣量過大而多余的能量）。控制方法的關(guān)鍵在于，依據(jù)所觀測到的數(shù)據(jù)（瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩），確定驅(qū)動電動機的電流值，從而實現(xiàn)對制動器的模擬實驗。關(guān)于問題一，基于車輛平動動能應(yīng)該等于

4、試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)的轉(zhuǎn)動動能的原則，推導出等效轉(zhuǎn)動慣量的表達式，求得等效轉(zhuǎn)動慣量為。關(guān)于問題二，根據(jù)物理上轉(zhuǎn)動慣量的定義，使用微元法積分求解不同飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，求得三個飛輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為、，可以組合成,這八種機械慣量，在依據(jù)電動機補償能量的范圍，求得電動機補償?shù)膽T量為或。關(guān)于問題三，根據(jù)物理上扭矩與角加速度、轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系，建立補償扭矩與可觀測量的關(guān)系，再計算出補償電流。當補償?shù)碾姂T量為時候，電流為174.8A，當補償?shù)碾姂T量為時候，電流為-261.9A。關(guān)于問題四，基于能量誤差的大小來評價控制方法的優(yōu)劣，通過始末狀態(tài)計算得到能量相對誤差為6.88052%，通過離散區(qū)間計算得到能量相對

5、誤差為2.50600%。關(guān)于問題五，我們根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時扭矩，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，直到制動結(jié)束，對試驗臺進行控制，計算出能量相對誤差為。關(guān)于問題六，基于問題五的控制方法，最大化地減小誤差的積累效應(yīng)，從而設(shè)計出更加完善的控制方法，計算出能量相對誤差為。關(guān)鍵詞：制動器試驗臺 等效慣量 補償 能量誤差一、 問題重述汽車的行車制動器（以下簡稱制動器）聯(lián)接在車輪上，它的作用是在行駛時使車輛減速或者停止。制動器的設(shè)計是車輛設(shè)計中最重要的環(huán)節(jié)之一，直接影響著人身和車輛的安全。為了檢驗設(shè)計的優(yōu)劣，必須進行相應(yīng)的測試。在道路上測試實際車輛制動器的過程稱為路試，為了檢測制動器的綜合性能，需要在各種

6、不同情況下進行大量路試。但是，車輛設(shè)計階段無法路試，只能在專門的制動器試驗臺上對所設(shè)計的路試進行模擬試驗。模擬試驗的原則是試驗臺上制動器的制動過程與路試車輛上制動器的制動過程盡可能一致。路試車輛的指定車輪在制動時承受載荷。將這個載荷在車輛平動時具有的能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量(以下轉(zhuǎn)動慣量簡稱為慣量)在本題中稱為等效的轉(zhuǎn)動慣量。試驗臺上的主軸等不可拆卸機構(gòu)的慣量稱為基礎(chǔ)慣量。飛輪組由若干個飛輪組成，使用時根據(jù)需要選擇幾個飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機械慣量。一般假設(shè)試驗臺采用的電動機的

7、驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（本題中比例系數(shù)取為；且試驗臺工作時主軸的瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩是可觀測的離散量。由于制動器性能的復雜性，電動機驅(qū)動電流與時間之間的精確關(guān)系是很難得到的。工程實際中常用的計算機控制方法是：把整個制動時間離散化為許多小的時間段，比如10ms為一段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，這個過程逐次進行，直至完成制動。評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差。通常不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。現(xiàn)在要求你們解答以

8、下問題：1. 設(shè)車輛單個前輪的滾動半徑為0.286m，制動時承受的載荷為6230N，求等效的轉(zhuǎn)動慣量。2. 飛輪組由3個外直徑1m、內(nèi)直徑0.2m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392m、0.0784m、0.1568m，鋼材密度為7810，基礎(chǔ)慣量為10，問可以組成哪些機械慣量？設(shè)電動機能補償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為 -30, 30，對于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動慣量，需要用電動機補償多大的慣量？3. 建立電動機驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學模型。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為50km/h，制動5.0秒后車速為零，計算驅(qū)動電流。4. 對于與所設(shè)計的路試等效的轉(zhuǎn)動慣量

9、為，機械慣量為，主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時間步長為10ms的情況，用某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)見附表。請對該方法執(zhí)行的結(jié)果進行評價。5. 按照第3問導出的數(shù)學模型，給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值的計算機控制方法，并對該方法進行評價。6. 第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請重新設(shè)計一個盡量完善的計算機控制方法，并作評價。二、 問題分析對于問題一，等效轉(zhuǎn)動慣量是指車輛平動時具有的能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動具有的能量）等效地轉(zhuǎn)化為試驗臺上飛輪和主軸等機構(gòu)轉(zhuǎn)動時具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量(以下轉(zhuǎn)動慣量簡稱為慣量)。由于

10、在實驗中飛輪慣量與之和與基礎(chǔ)慣量組成的機械慣量不足而缺少的能量，就需要電動機在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補償由于機械慣量不足而缺少的能量，從而滿足模擬試驗的原則。計算等效慣量的方法，為保證是“等效”的轉(zhuǎn)化，必須遵守以下原則：動能相等原則轉(zhuǎn)化件的等效轉(zhuǎn)動慣量所具有的動能應(yīng)與原機械的總動能相等，即 ，我們通過動能相等來計算等效慣量。對于問題二，飛輪組的機械慣量與電動機補償?shù)膽T量計算方法按照問題一中的方法計算。對于問題三，通過建立電動機驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學模型利用相關(guān)數(shù)據(jù)來計算驅(qū)動電流。我們通過對運動控制系統(tǒng)的分析建立電動機驅(qū)動電流的電慣量系統(tǒng)的運動方程與原系統(tǒng)的運動方程，以及題目中所給

11、出的驅(qū)動電流與扭矩的比例關(guān)系來建立數(shù)學模型。通過數(shù)學模型帶入數(shù)據(jù)來計算驅(qū)動電流。對于問題四，已知某種控制方法試驗得到的數(shù)據(jù)，對該方法執(zhí)行的結(jié)果進行評價, 評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設(shè)計的路試時的制動器與相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差。通常不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。我們通過建立試驗臺制動器消耗的能量與路試消耗的能量之差的數(shù)學模型來進行評估。具體而言，制動器無論是在路試還是在實驗臺上制動，一個完整的過程中制動扭矩的變化是一樣的。因此，可以利用模擬實驗得到的數(shù)據(jù)，計算出理想情況下路試的轉(zhuǎn)速，繼而通過始末狀態(tài)

12、計算能量差（或者在離散區(qū)間上計算能量差），最終求解出能量誤差。對于問題五，按照問題三導出的數(shù)學模型，給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值的計算機控制方法。對于問題六，通過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用問題五給出的控制方法進行制動，誤差已經(jīng)非常小了，而要進一步設(shè)計出誤差更小的控制方法，核心是基于問題五的控制方法，最大化地減小誤差的積累效應(yīng)，從而設(shè)計出更加完善的控制方法。三、符號說明 - 汽車輪胎質(zhì)量（單位：） - 路試汽車平動速度（單位：） - 等效慣量（單位：） - 飛輪的轉(zhuǎn)動慣量（單位：） - 基礎(chǔ)慣量（單位：） - 機械慣量（單位：） - 電慣量（單位：） - 主軸角

13、速度（單位：） - 主軸角加速度（單位：） - 主軸初角速度（單位：） - 主軸末角速度（單位：） - 試驗臺主軸轉(zhuǎn)速（單位：） - 主軸初轉(zhuǎn)速（單位：） - 主軸末轉(zhuǎn)速（單位：） - 扭矩（單位：） - 發(fā)動機輸出扭矩（單位：） - 制動扭矩（單位：） - 電扭矩（單位：） - 補償電流（單位:） - 能量（單位：） - 能量相對誤差（單位：%）t 時間（單位：） 初時刻（單位：） 末時刻（單位：）四、模型假設(shè)1、飛輪轉(zhuǎn)動的角速度與主軸始終保持一致2、在路試時與試驗臺上制動扭矩相同3、不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差五、模型的建立與求解分析5.1求解問題一 為保證是“等效

14、”的轉(zhuǎn)化，必須遵守以下原則：動能相等原則,轉(zhuǎn)化件的等效轉(zhuǎn)動慣量所具有的動能應(yīng)與原機械的總動能相等。 按動能相等的原則，列出轉(zhuǎn)化件與一般機械的動能等式載荷為6230N的汽車的平動動能為： （1）因此，若將其等效為轉(zhuǎn)動動能，則有： （2）解得等效轉(zhuǎn)動慣量： （3）5.2 求解問題二下面推導環(huán)柱體關(guān)于對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量公式。 （4）其中a為環(huán)柱體的內(nèi)半徑，b為環(huán)柱體的外半徑，h為環(huán)柱體的高，為環(huán)柱體的密度。將問題二所給的數(shù)據(jù)一一帶入，可以得到各個飛輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為：因此，可以組成的機械慣量為：,這八種。問題1中所需要的轉(zhuǎn)動慣量為，因此可以選擇的機械慣量配合的電慣量，或者是的機械慣量配合的電慣量。5.

15、3 求解問題三 當發(fā)動機驅(qū)動的時，汽車其他部分是它的負載，用電慣量進行模擬加載時，要求電慣量的速度與真實汽車的有耐性曲線一致，當兩個系統(tǒng)的速度與加速度都一致的時，說明電慣量測試系統(tǒng)可以取代機械慣量測試系統(tǒng)。由制動器試驗臺的工作原理1我們可以得到如下的方程：原系統(tǒng)的運動方程： （5）電慣量系統(tǒng)的運動方程 （6）由于在制動的過程中，發(fā)動機已經(jīng)停止運行了，因此沒有輸出扭矩，也就是說：為0.因此上面的公式變成為： （7） （8）根據(jù)前面的分析要求兩個系統(tǒng)等效式中必須一致，由以上兩個公式我們可以得到,由以上兩個公式我們可以得到： （9）或 （10）又電流跟電扭矩的關(guān)系為： （11）其中k為比例系數(shù)，在這

16、里由于假設(shè)飛輪做勻減速轉(zhuǎn)動，因此： （12）所以當補償?shù)碾姂T量為12時候，電流為： （13）當補償?shù)碾姂T量為-18的時候，電流為： （14）5.4 求解問題四5.4.1 模型一（通過始末狀態(tài)求解能量誤差）通過查閱相關(guān)資料2了解到，制動器試驗臺在模擬制動過程中測量的扭矩為制動扭矩。能量變化與扭矩、角速度以及時間的關(guān)系為： （15）那么，在模擬制動過程中，連續(xù)的時間離散化，制動扭矩對應(yīng)的能量變化滿足： （16）依據(jù)附表的數(shù)據(jù)，帶入公式，直接在Excel 2012中計算得到結(jié)果為：在路試過程中，制動器的能量變化應(yīng)該為： （17） （18）5.4.2 模型二（通過離散區(qū)間求解能量誤差）制動器無論是在路

17、試過程中還是在實驗臺上制動，一個完整的過程中制動扭矩的變化是一樣的，因此： （19）角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系為： （20）根據(jù)式(19）和（20）計算得到理想情況下路試轉(zhuǎn)速的情況如下圖：圖 5-4-1 路試理想角速度與實驗角速度對比圖在每一個離散的區(qū)間內(nèi)有： （21） （22） （23） （24）那么總的能量相對誤差為： （25）5.5 求解問題五現(xiàn)在按照問題三導出的數(shù)學模型，根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值，直到制動結(jié)束。根據(jù)式(19)可得： （26）求解在該控制方法下模擬的角速度的值，其中，需要根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時扭矩來計算，根據(jù)式(10)可得： （27）再依據(jù)式(1

18、1)計算出電流值。這樣，就實現(xiàn)了通過前一個時間段制動扭矩設(shè)計本時段電流值。電流隨時間變化的情況見下圖：圖 5-5-1 補償電流隨時間變化圖那么在這種控制方法下，總的能量相對誤差為： （28）這說明，通過前一個時間段制動扭矩設(shè)計本時段電流值的方法對試驗臺進行控制，模擬的誤差非常小。5.6 求解問題六5.6.1 分析問題五給出的控制方法的不足進一步分析問題五給出的控制方法，我們引入實時能量誤差的概念，分別計算每一個離散區(qū)間的能量誤差。在t時刻的實時能量誤差表達式為： （29）通過計算，得到實時能量誤差隨時間的變化圖像：圖 5-6-1 實時能量誤差隨時間變化圖分析圖像發(fā)現(xiàn)，在離散區(qū)間內(nèi)，實時能量誤差

19、先增大，到達一定時間后開始震蕩。這說明，問題五給出的方法有一定的不足。因為問題五給出的控制方法是利用前一時間段的觀測數(shù)據(jù)計算出本時間段的電流從而實現(xiàn)控制，這一過程本來就存在誤差。隨著制動的進行，這個誤差會不斷積累，正如圖5-6-1所示，一開始，在離散的區(qū)間內(nèi)能量誤差很小，隨著制動的進行，在離散的區(qū)間內(nèi)能量誤差開始增大。5.6.2重新設(shè)計控制方法5.重新設(shè)計控制方法的基本思路通過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用問題五給出的控制方法進行制動，誤差已經(jīng)非常小了，而要進一步設(shè)計出誤差更小的控制方法，核心是基于問題五的控制方法，最大化地減小誤差的積累效應(yīng)，從而設(shè)計出更加完善的控制方法。5.6.2.2 分析制動扭矩的變化由于計算電扭矩的大小非常關(guān)鍵，而依據(jù)又是制動扭矩，因此，分析制動扭矩的變化至關(guān)重要。根據(jù)數(shù)據(jù)畫出制動扭矩隨時間的變化圖如下：圖 5-6-2 制動扭矩隨時間變化圖我們發(fā)現(xiàn)制動扭矩隨時間變化的圖像與實時能量誤差隨時間變化的圖像非常類似，都是先增大，后震蕩。5.6.2.3更加完善的控制方法根據(jù)制動這種特性，我們可以