1、3.1 典型輸入信號3.2 一階系統的時間響應3.3 二階系統的時間響應3.4 二階系統的性能指標3.5 誤差分析和計算3.6 穩定性分析 本章主要內容重點：重點：二階系統的時域響應及其性能指標。二階系統的時域響應及其性能指標。難點：難點：二階系統時域響應的數學表達式。二階系統時域響應的數學表達式。 3.1 典型輸入信號典型輸入信號 在時間域進行分析時，為了比較不同系統的控制在時間域進行分析時，為了比較不同系統的控制性能，需要規定一些具有典型意義的輸入信號建立性能，需要規定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統的分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統的典型輸典型輸入信

2、號入信號。l 時域分析的目的時域分析的目的 在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統的控統輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統的控制性能。制性能。l 優點：優點：直觀、簡便直觀、簡便 一、典型輸入信號一、典型輸入信號)(txit01)(txit0A)(txit0)(txit0)(txit03.1 典型輸入信號二、對典型輸入信號的要求二、對典型輸入信號的要求q能夠反映系統工作在最不利的情形；能夠反映系統工作在最不利的情形；q形式簡單，便于解析分析；形式簡單，便于解析分析；q實際中可以實現或近似實現。實際中可以實現或

3、近似實現。 常用的常用的典型輸入信號的數學表達典型輸入信號的數學表達Asint 正弦信號正弦信號 1(t)，t=0 單位脈沖信號單位脈沖信號 單位加速度信號單位加速度信號 t， t0 單位速度單位速度( (斜坡斜坡) )信號信號 1(t)，t0 單位階躍信號單位階躍信號 復數域表達式 時域表達式 名 稱 s121s31s22sA0,212tt3.1 典型輸入信號3.2 一階系統的時間響應一階系統的時間響應一階系統：一階系統： 一、一階系統的單位階躍響應一、一階系統的單位階躍響應11111)()()(TsTssTssXsGsXio11)(TssG凡是能夠用凡是能夠用一階微分方程描述的系統。一階微

4、分方程描述的系統。典型形式：典型形式：0,1)(tetxTtoTs11)(sG)(sXi)(0sXssXi1)(輸入信號：輸入信號：輸出：輸出：極點（特征根）：極點（特征根）：T1)()()(00txtxtxTi0,1)(tetxTto1斜率=1/T0 xo(t)tTtoetx/1)(1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T3.2 一階系統的時間響應Ttoetx/1)(1T4T10 xo(t)t63.2%98.2% 一階系統單位階躍響應的特點一階系統單位階躍響應的特點（1 1）響應分為兩部分）響應分為兩部分 （2）無穩態誤差無穩態誤差 0)

5、()()()(eetxtxteTtoi穩態響應穩態響應 瞬態響應瞬態響應Ttoetx/1)( 表示表示t t 時，系統的輸出狀態。時，系統的輸出狀態。穩態響應穩態響應表示系統輸出量從初態到終態的變化過程（動態表示系統輸出量從初態到終態的變化過程（動態/ /過渡過程）過渡過程） 瞬態響應瞬態響應3.2 一階系統的時間響應（3）xo(0) = 0，xo( ) = 1，且無振蕩。且無振蕩。 Ttoetx/1)(1T4T10 xo(t)t63.2%98.2% 一階系統單位階躍響應的特點一階系統單位階躍響應的特點（4 4） xo(T) = 1 - e-1 = 0.632 xo(3T) = 1 - e-3

6、 = 0.95 xo(4T) = 1 - e-4 = 0.982 通常工程中當響應曲線達到并保持在穩態值的通常工程中當響應曲線達到并保持在穩態值的95%98%時，認為系統瞬態（動態）響應過程基本時，認為系統瞬態（動態）響應過程基本結束。從而慣性環節的過渡過程時間為結束。從而慣性環節的過渡過程時間為3T4T。時間常數時間常數T反映了系統響應的快慢。反映了系統響應的快慢。3.2 一階系統的時間響應二、一階系統的二、一階系統的單位速度響應單位速度響應21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto)(0txt0)(txi，11)(TssGttx

7、i)(Tt 穩穩態態響響應應：TtTe瞬瞬態態響響應應：3.2 一階系統的時間響應)(0txt0)(txiTT 一階系統單位速度響應的特點一階系統單位速度響應的特點0,)(tTeTttxTto（1 1） 經過足夠長的時間經過足夠長的時間(穩態穩態時，如：時，如：t 4T)，輸出增長速率，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：近似與輸入相同，此時輸出為：t T，即，即輸出相對于輸入滯后輸出相對于輸入滯后時間時間T； （2 2）系統響應誤差為：）系統響應誤差為： TeeTtxtxteTtoi)()1 ()()()(Tt43.2 一階系統的時間響應三、三、 一階系統的一階系統的單位脈沖響應單位脈沖

8、響應1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTto0)(0txT1T1368. 021T斜斜率率：Tt3.2 一階系統的時間響應 一階系統單位脈沖響應的特點一階系統單位脈沖響應的特點q 瞬態響應：(1/T )e t /T ；穩態響應：0；q xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數衰減；q 對于實際系統，通常應用具有較小脈沖寬 度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈 沖代替理想脈沖信號。 201)(Tdttdxtoq 3.2 一階系統的時間響應0,1)(tetxTto)(txo1t)(0tx)(txiTTTt4t0,)(tTeTttxTto0,1)(teTtxT

9、toT1)(0txt000一階系統的時間響一階系統的時間響應應1.1.單位階躍響應單位階躍響應2.2.單位速度響應單位速度響應3.3.單位脈沖響應單位脈沖響應注意觀察輸入信號及相應輸出之間的聯系！注意觀察輸入信號及相應輸出之間的聯系！3.2 一階系統的時間響應線性定常系統時間響應的性質線性定常系統時間響應的性質 系統時域響應通常由穩態分量和瞬態分量共同組成，前者系統時域響應通常由穩態分量和瞬態分量共同組成，前者反映系統的穩態特性，后者反映系統的動態特性。反映系統的穩態特性，后者反映系統的動態特性。 注意到：注意到： )(1)(tdtdt )21(2tdtdt TtoeTtx1)()()()()

10、(11txdtdtxtxdtdtxotooo)()(1tdtdt TtotTeTttx)(Ttoetx 1)(1即：系統對輸入信號導數的響應等于系統對該輸入信號系統對輸入信號導數的響應等于系統對該輸入信號響應的導數響應的導數。系統對輸入信號積分的響應等于系統對該系統對輸入信號積分的響應等于系統對該輸入信號響應的積分，其積分常數由初始條件確定。輸入信號響應的積分，其積分常數由初始條件確定。這種輸入輸出間的積這種輸入輸出間的積分、微分性質對任何線分、微分性質對任何線性定常系統均成立。性定常系統均成立。)()(221txdtdtxtoot3.2 一階系統的時間響應例：例：溫度計的傳遞函數為溫度計的傳

11、遞函數為 , ,現在用該溫度計測量一容器現在用該溫度計測量一容器內水的溫度，發現需要內水的溫度，發現需要1min的時間才能指示出實際水溫的的時間才能指示出實際水溫的98%的數值，求此溫度計的時間常數的數值，求此溫度計的時間常數T。如果給容器加熱，使水溫。如果給容器加熱，使水溫以以100C/min的溫度變化，此溫度計的穩態指示誤差是多少？的溫度變化，此溫度計的穩態指示誤差是多少？11Ts解：解：（1 1）時間常數）時間常數T近似解法：近似解法：sT15 對于一階系統，當對于一階系統，當t 4T 時，溫度可升高實際溫度的時，溫度可升高實際溫度的98%，即：，即： 4T=1min（2 2）穩態誤差）

12、穩態誤差此時，此時，min/10)(0CtxisCtxi/)61()(0CTe05 . 26)(解：解：（1 1）時間常數）時間常數T精確解法：精確解法：（2 2）穩態誤差）穩態誤差此時，此時，min/10)(0CtxisCtxi/)61()(0Ce056. 2634.15)(Ttetx/01)(st60Te/60198. 002. 0/60Te912. 302. 0ln60T)(34.15sT 例：例：已知系統的傳遞函數為：已知系統的傳遞函數為：試求系統的的單位階躍響應和單位脈沖響應。試求系統的的單位階躍響應和單位脈沖響應。1212)(2ssssG解：（解：（1 1）系統單位階躍輸入時，系統

13、單位階躍輸入時，ssXi1)(，)(1)(ttxisssssXsGsXio11212)()()(211)1(112sss0,1)(tetetxtto（2 2）當單位脈沖輸入時，當單位脈沖輸入時，)()(ttxi1)(sXi)()(1txdtdtxoo)1 ()(ttoetetxtttee 23.3 二階系統的時間響應二階系統的時間響應二階系統：二階系統： 222222121)(nnnssTssTsG其中：其中：T T 為時間常數，也稱為為時間常數，也稱為無阻尼自由振蕩周期無阻尼自由振蕩周期。 稱為稱為阻尼比阻尼比； n1/T 為系統的為系統的無阻尼固有頻率無阻尼固有頻率。一、二階系統的特征方程

14、：一、二階系統的特征方程：02)(22nnsssD極點（特征根）：極點（特征根）：122 , 1nnp（凡是能夠用（凡是能夠用二階微分方程描述的系統）二階微分方程描述的系統）1. 欠阻尼二階系統（振蕩環節）欠阻尼二階系統（振蕩環節）： 0 1具有兩個不相等的負實數極點：具有兩個不相等的負實數極點：122 , 1nnpj0jsnndd3.3 二階系統的時間響應0222nnss4. 4. 零阻尼二階系統：零阻尼二階系統： 0具有一對共軛虛極點：具有一對共軛虛極點：njp2 , 15. 5. 負阻尼二階系統：負阻尼二階系統： 0 0極點實部大于零，響應發散，系統不穩定。極點實部大于零，響應發散，系統

15、不穩定。j0jsnn122 , 1nnpnn)sin()(0tAetxdtn3.3 二階系統的時間響應ssXi1)(1. 1. 欠阻尼（欠阻尼（0 0 1）狀態狀態 )11 (21223c231212220)2()(sscsscscssssXnnn1221nnpp、11c2211psps、)11 (21222c3.3 二階系統的時間響應3. 3. 過阻尼過阻尼（ 1）狀態狀態 ttonneetx)1(22)1(2222)11 (21)11 (211)(q 特點特點 單調上升，無振蕩，過單調上升，無振蕩，過渡過程時間長。渡過程時間長。 xo( ( )=1)=1，無穩態，無穩態 誤差。誤差。 t)

16、(0tx01該分量該分量影響大影響大當當 大于大于 1.25時，可忽略。時，可忽略。3.3 二階系統的時間響應4. 4. 無阻尼（無阻尼（ = 0）狀態）狀態 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特點 頻率為n的等 幅振蕩。2222201)()(nnnssssssX3.3 二階系統的時間響應 幾點結論幾點結論 1. 1. 二階系統的阻尼比二階系統的阻尼比 決定了其振蕩特性：決定了其振蕩特性： 0 0 時，階躍響應發散，系統不穩定；時，階躍響應發散，系統不穩定； 1 1 時，無振蕩、無超調，過渡過程長；時，無振蕩、無超調，過渡過程長； 0 0 1：2211sscssc)(0sX3.

17、3 二階系統的時間響應0txo(t) 1 =1 1 = 1：0,)(2ttetxtnon 0 1：四、二階系統的單位速度響應四、二階系統的單位速度響應 1：0,1212121212122)(1222122222teettxtntnnonn = 1：0,21122)(tetttxtnnnon 01：1212,10),sin(12)(222arctgttettxnddtdnon = 0：0,sin1)(ttttxnno3.3 二階系統的時間響應高階系統的時間響應高階系統的時間響應l 高階系統的單位階躍響應高階系統的單位階躍響應 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXs

18、XsGnnnnmmmmio考慮系統：考慮系統：0011,)()(abKpszsKnjjmiinrqsspszsKrkkkkqjjmii2,)2()()(12211參考內容參考內容rkkkkqjjmiiosspsszsKsX12211)2()()()(假設系統極點互不相同。假設系統極點互不相同。21kkkkjs復復數數極極點點：其中，其中，a, aj為為Xo(s)在極點在極點s = 0和和s = -pj處的留數；處的留數； bk、ck是是與Xo( )在極點處的留數有關的常數。在極點處的留數有關的常數。rkkkkkkkkkkkqjjjscsbpsasa122221)1()(1)(時，時，當當ssX

19、i1)()0(1sin1cos)(12121ttectebeaatxrkkktkrkkktkqjtpjokkkkj)0( )1sin(12221ttecbeaarkkktkkqjtpjkkj通過拉氏反變換，其輸出為：通過拉氏反變換，其輸出為：kkcbarctg其中，其中， 高階系統的單位階躍響應由一階和二階系統的高階系統的單位階躍響應由一階和二階系統的響應函數疊加而成。響應函數疊加而成。 為了在工程上處理方便，某些高階系統通過合為了在工程上處理方便，某些高階系統通過合理簡化，可以用低階系統近似。理簡化，可以用低階系統近似。 （1 1）由于系統極點的負實部離虛軸越遠，則該極）由于系統極點的負實部

20、離虛軸越遠，則該極點對應的項在瞬態響應中衰減得越快，反之則越慢，點對應的項在瞬態響應中衰減得越快，反之則越慢，離虛軸越近的極點稱為主導極點。離虛軸遠的極點離虛軸越近的極點稱為主導極點。離虛軸遠的極點（5 5倍）可忽略。倍）可忽略。（2 2）偶極子可對消。）偶極子可對消。3.4 二階系統的性能指標二階系統的性能指標 一、控制系統的時域性能指標一、控制系統的時域性能指標 控制系統的性能指標是評價系統動態品質的定量指標，控制系統的性能指標是評價系統動態品質的定量指標，是定量分析的基礎。是定量分析的基礎。 系統的時域性能指標通常通過系統的單位階躍系統的時域性能指標通常通過系統的單位階躍響應進行定義。響

21、應進行定義。常見的性能指標有：常見的性能指標有： 上升時間上升時間tr 峰值時間峰值時間tp 調整時間調整時間ts 最大超調量最大超調量Mp 振蕩次數振蕩次數N )(txo1t0rtptpMst1. 上升時間上升時間tr 響應曲線從零時刻出發首次到達響應曲線從零時刻出發首次到達穩態值所需時間。穩態值所需時間。)(txo1t0rt)(txot01rt%10%90二、欠阻尼二階系統的時域性能指標的計算二、欠阻尼二階系統的時域性能指標的計算 1sin11)(2rdtrotetxrn根據上升時間的定義有：根據上升時間的定義有：欠阻尼二階系統的階躍響應為：欠阻尼二階系統的階躍響應為：0),sin(11)

22、(2ttetxdton 對無超調系統，上升時間一般定對無超調系統，上升時間一般定義為響應曲線從穩態值的義為響應曲線從穩態值的10%上升到上升到90%所需的時間。所需的時間。 3.4 二階系統的性能指標顯然顯然， 一定時，一定時， n越大，越大，t tr r 越小；越小； n一定時，一定時， 越大，越大，tr 越大。越大。0)sin(rdt即：即：, 2, 1, 0,kktrdtx0(t)tr1drt1k2211nrarctgt21 arctg21nd3.4 二階系統的性能指標2. 峰值時間峰值時間tp0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpntgttgpd21)( 響應曲線

23、從零上升到響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。第一個峰值所需時間。 )(txo1t0pt0)(0txdtd令：令：代入，得：代入，得：將將ptt ，即：即：210kktpd3.4 二階系統的性能指標2. 峰值時間峰值時間tp1k21ndpt則則：可見可見，峰值時間等于有阻尼振蕩周期的一半。，峰值時間等于有阻尼振蕩周期的一半。，210kktpd 一定，一定， n越大越大，tp越小；越小； n一定，一定， 越大越大，tp 越大。越大。ddT2)(txo1t3.4 二階系統的性能指標3. 最大超調量最大超調量 Mp定義：響應曲線的最大定義：響應曲線的最大峰值與穩態值之差。峰值與穩態值之差。)()(

24、00 xtxMpp)(txo1tpM21sin)sin()sin(pdt)sin(11)(2pdtpotetxpn21ndpt21221)1(11)(eetxdnpo21 eMp3.4 二階系統的性能指標3. 最大超調量最大超調量 Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop 顯然，顯然，Mp僅與阻尼比僅與阻尼比 有關。最大超調量直接有關。最大超調量直接說明了系統的阻尼特性。說明了系統的阻尼特性。 越大，越大， Mp 越小，系統越小，系統的平穩性越好，當的平穩性越好，當 = 0.40.8時，可以求得相應的時，可以求得相應的 Mp = 25.4%1.5%。通常用百分數表示通常用百分

25、數表示: :)(txo1tpM3.4 二階系統的性能指標00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二階系統 Mp 圖pM%4 .25%5 . 1%10021eMp3.4 二階系統的性能指標4. 調整時間調整時間ts211tne 對于欠阻尼二階系統，其單位階躍響應的包絡線為一對對于欠阻尼二階系統，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩態分量對稱于響應穩態分量 1 1 的指數曲線：的指數曲線： 0),sin(11)(2ttetxdton)(txo1t 響應曲線到達并保持在允響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的許誤差范圍（穩態值的

26、2%或或 5%）內所需的時間。）內所需的時間。 st單位階躍響應：單位階躍響應： 當包絡線進入允許誤差范圍當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。處于允許誤差范圍內。211tne211tne3.4 二階系統的性能指標當當 一定時一定時，n 越大，越大，ts 越小，系統響應越快。越小，系統響應越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst當當00.7時，時， 34. 01ln0205. 002. 03ln41112tne可得：可得：nst21lnln由上式求得的由上式求得的ts包通常偏保守。包通常偏保守。因此利用：因此利用： 可忽

27、略。可忽略。故：故：21ln3.4 二階系統的性能指標t5. 振蕩次數振蕩次數 N N僅與僅與 有關。與有關。與Mp 一樣直接說明了系統的一樣直接說明了系統的阻尼特性。阻尼特性。 越大，越大，N越小，系統平穩性越好。越小，系統平穩性越好。2122nddT振振蕩蕩周周期期：02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN則：則：x0(t)ts% 響應曲線到達并保持在允許誤響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的差范圍（穩態值的 2%或或 5%）內）內所需的時間。所需的時間。 實測時，可按響應曲實測時，可按響應曲線穿越穩態值次數的一半計數。線穿越穩態值次數的一半計數。3.4 二階系統的性能

28、指標 二階系統的動態性能由二階系統的動態性能由 n和和 決定。決定。結結 論論 通常根據允許的最大超調量來確定通常根據允許的最大超調量來確定 。 一般選一般選擇在擇在0.40.8之間，然后再調整之間，然后再調整 n以獲得合適的瞬態以獲得合適的瞬態響應時間。響應時間。 一定，一定， n 越大，系統響應快速性越好，越大，系統響應快速性越好， tr、tp、ts 越小。越小。 增加增加 可以降低振蕩，減小超調量可以降低振蕩，減小超調量Mp 和振蕩次數和振蕩次數N ，但系統快速性降低，但系統快速性降低，tr、tp 、ts 增加；增加； tr、tp、ts 反映系統響應快速性反映系統響應快速性Mp 、N 反

29、映系統響應平穩性反映系統響應平穩性3.4 二階系統的性能指標一、一、控制系統的偏差與誤差控制系統的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統考慮圖示反饋控制系統H(s)Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s) 偏差信號偏差信號 (s)(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s) 偏差信號偏差信號 (s)定義為系統輸入定義為系統輸入Xi(s)與系統主與系統主反饋信號反饋信號B(s)之差，即：之差，即：3.5 誤差分析和計算誤差分析和計算 誤差信號誤差信號E(s) 誤差信號誤差信號E(s)定義為系統期望輸出定義為系統期望輸出Xor(s)與系統實與系統實際輸出際輸出Xo(s)之差，即：之差，

30、即：E(s)= Xor(s) Xo(s) 控制系統的期望輸出控制系統的期望輸出Xor(s) 為偏差信號為偏差信號 (s)0時的實際輸出值，即此時控制系統無控制作用，實時的實際輸出值，即此時控制系統無控制作用，實際輸出等于期望輸出：際輸出等于期望輸出： Xo(s)Xor(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)3.5 誤差分析與計算 偏差信號偏差信號 (s)與誤差信號與誤差信號E(s)的關系的關系)()()()()()()()()()(0sHsHsXsXsXsHsXsXsXsEioioorXi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)0)()()()(0sXsHsXsi由：由：)(

31、)()(0sHsXsXir可得：可得：)(1)(0sXXSHir ，對于單位反饋系統，對于單位反饋系統，)()(sSE對于單位反饋系統，對于單位反饋系統，)()()(sHssE)()(0)(00sXsXsr即：即：H(s)3.5 誤差分析與計算二、穩態誤差及其計算二、穩態誤差及其計算穩態誤差：系統的期望輸出與實際輸出在穩定狀態穩態誤差：系統的期望輸出與實際輸出在穩定狀態（t）下的差值，即誤差信號下的差值，即誤差信號e(t) 的穩態分量：的穩態分量：)(limteetss 當當sE(s)的極點均位于的極點均位于 s 平面左半平面（包括坐平面左半平面（包括坐標原點）時，根據拉氏變換的標原點）時，根

32、據拉氏變換的終值定理終值定理，有：，有：)(lim)(lim0ssEteestss)()()(sHssE由于：由于：sse穩態誤差：穩態誤差：3.5 誤差分析與計算)()()(11)(sXsHsGsi又又：)()()(11)(1)(sXsHsGsHsEi)()()(11)(1lim)(lim)(lim00sXsHsGsHsssEteeisstss 顯然，系統穩態誤差決定于輸入顯然，系統穩態誤差決定于輸入Xi(s)和開環傳和開環傳遞函數遞函數G(s)H(s)，即決定于輸入信號的性質及系統，即決定于輸入信號的性質及系統的結構和參數。的結構和參數。 G(s)H(s)(sXi)(0sX)(sG(s)H

33、(s)(sXi)(s13.5 誤差分析與計算)6)(2(5)()(1)(2ssssHsGssH，)6)2(5sss（)(txi)(0txs1解解：321083)(ssssXi)1083()6)(2(51111lim3220ssssssssesss0)1083()6)(2(5lim322220ssssssssesss，2583)(tttxi例例1 1 某系統方框圖如圖所示，當某系統方框圖如圖所示，當系統輸入的控制信號為：系統輸入的控制信號為： 求系統的穩態誤差。求系統的穩態誤差。 3.5 誤差分析與計算三、三、穩態誤差系數穩態誤差系數1. 穩態誤差系數的概念穩態誤差系數的概念（1）穩態位置誤差系

34、數）穩態位置誤差系數)()(11)(1lim)()()(11)(1lim00sHsGsHsXsHsGsHsesisss單位階躍輸入時系統的穩態誤差系數單位階躍輸入時系統的穩態誤差系數稱為穩態位置誤差系數。稱為穩態位置誤差系數。)0()0()()(lim0HGsHsGKsp令：令：)0(,11GKKeppss對于單位反饋系統，對于單位反饋系統，psskHe11)0(1ssXi1)(3.5 誤差分析與計算（2） 穩態速度誤差系數穩態速度誤差系數vsisssKHsHssGssHsXsHsGsHse1)0(1)()(1)(1lim)()()(11)(1lim00單位速度輸入時系統的穩態誤差單位速度輸入

35、時系統的穩態誤差稱為穩態速度誤差系數。稱為穩態速度誤差系數。)()(lim0sHssGKsv其中其中，)(lim,10ssGKKesvvss對于單位反饋系統，對于單位反饋系統，vssKHe1)0(1易知：易知：3.5 誤差分析與計算（3）穩態加速度誤差系數）穩態加速度誤差系數asisssKHsHsGsssHsXsHsGsHs1)0(1)()(1)(1lim)()()(11)(1lim2200單位加速度輸入時系統的穩態誤差單位加速度輸入時系統的穩態誤差稱為稱為穩態加速度誤差系數穩態加速度誤差系數。)()(lim20sHsGsKsa其中，其中，q 結論：結論：當輸入信號形式一定后，系統是否存在當輸

36、入信號形式一定后，系統是否存在穩態誤差取決于系統的開環傳遞函數。穩態誤差取決于系統的開環傳遞函數。 )(lim,120sGsKKesaassss對于單位反饋系統，對于單位反饋系統，assKHe1)0(1易知：易知：3.5 誤差分析與計算2. .系統類型系統類型將系統的將系統的開環傳遞函數開環傳遞函數寫成如下形式：寫成如下形式： ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGvnrm 根據系統開環傳遞函數中積分環節的多少來定義系統的類根據系統開環傳遞函數中積分環節的多少來定義系統的類型，當型，當 r = 0, 1, 2, 時，系統分別稱為時，系統分別稱

37、為0 0型型、I I型型、型型、系統。系統。 0 0型型系統：系統：) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21210sTsTsTsssKsHsGnmI I型型系統：系統：) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(121211sTsTsTssssKsHsGnm型型系統：系統：) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2212212sTsTsTssssKsHsGnm3.5 誤差分析與計算3. . 不同類型系統的穩態誤差系數及穩態誤差不同類型系統的穩態誤差系數及穩態誤差(1) 0 0型系統型系統) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21210sTsTs

38、TsssKsHsGvnm00)()(limKsHsGKsp01111KKepss0)()(lim0sHssGKsvvssKe10)()(lim20sHsGsKsaassKe1單單位位負負反反饋饋0 0型系統只能跟蹤階躍信號，且有穩態誤差。型系統只能跟蹤階躍信號，且有穩態誤差。3.5 誤差分析與計算(2) I(2) I型系統型系統) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21211sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKe10)()(limKsHssGKsv111KKevss0)()(lim20sHsGsKsaassKe1單單位位負負反反饋饋 I

39、 I型系統準確地能跟蹤階躍信號，也能跟蹤速型系統準確地能跟蹤階躍信號，也能跟蹤速度信號，但有穩態誤差。不能跟蹤加速度信號。度信號，但有穩態誤差。不能跟蹤加速度信號。3.5 誤差分析與計算(3) (3) 型系統型系統) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(212212sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKe)()(lim0sHssGKsv01vssKe220)()(limKsHsGsKsa211KKeass單單位位負負反反饋饋 型系統準確地能跟蹤階躍信號、速度信號，型系統準確地能跟蹤階躍信號、速度信號， 也能跟蹤加速度信號，但有穩態誤差。也能

40、跟蹤加速度信號，但有穩態誤差。3.5 誤差分析與計算表表1 1、系統的穩態誤差系數及穩態誤差、系統的穩態誤差系數及穩態誤差00K2II型型00K1I型型00K00型型單位加速度單位加速度輸入輸入單位速度單位速度輸入輸入單位階躍單位階躍輸入輸入KaKvKp穩態誤差穩態誤差穩態誤差系數穩態誤差系數系統系統類型類型011K11K21K注意注意k0、k1、k2為系統的開環增益。為系統的開環增益。3.5 誤差分析與計算q 幾點結論幾點結論 不同類型的輸入信號作用于同一控制系統，其穩態誤不同類型的輸入信號作用于同一控制系統，其穩態誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統，差不同；相同的輸入信號作用

41、于不同類型的控制系統，其穩態誤差也不同。其穩態誤差也不同。 系統的穩態誤差與其開環增益有關，開環增益越大，系統的穩態誤差與其開環增益有關，開環增益越大，穩態誤差越小。穩態誤差越小。 在階躍輸入作用下，在階躍輸入作用下， 0 0型系統的穩態誤差為定值，型系統的穩態誤差為定值，常稱為有差系統；常稱為有差系統； I型系統的穩態誤差為型系統的穩態誤差為0 0，常稱為一，常稱為一階無差系統；階無差系統； 在速度輸入作用下，在速度輸入作用下，II 型系統的穩態誤差為型系統的穩態誤差為 0 0，常，常稱為二階無差系統。稱為二階無差系統。 3.5 誤差分析與計算 習慣上，稱輸出量為習慣上，稱輸出量為“位置位置

42、”，輸出量的變化率為，輸出量的變化率為“速速度度”。在此位置和速度是廣義的概念。盡管將階躍輸入、。在此位置和速度是廣義的概念。盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統的誤差分別稱之為位置誤差、速度輸入及加速度輸入下系統的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、并不是指輸出與輸入的速度、 加速度不同，而是指輸出與加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩態位置偏差。輸入之間存在一確定的穩態位置偏差。 系統在多個信號共同作用下總的穩態偏差（誤差）等于多系統在多個信號共同作用下總的穩態

43、偏差（誤差）等于多個信號單獨作用下的穩態偏差（誤差）之和。如果輸入量非個信號單獨作用下的穩態偏差（誤差）之和。如果輸入量非單位量時，其穩態偏差（誤差）按比例增加。單位量時，其穩態偏差（誤差）按比例增加。221)(CtBtAtxi如：如：avpssKCKBKAe1總的穩態偏差：總的穩態偏差：3.5 誤差分析與計算，分分別別求求穩穩態態誤誤差差。示示，當當系系統統輸輸入入：例例：已已知知兩兩系系統統如如圖圖所所2364)(tttxi)4(10ss)(txi)(0tx)4() 1(102sss)(txi)(0tx(a)(b) 解：如果系統的輸入是階躍函數、解：如果系統的輸入是階躍函數、速度函數、加速

44、度函數三種輸入的組速度函數、加速度函數三種輸入的組合，即：合，即： 可根據線性疊加原理，系統的穩態誤差為：可根據線性疊加原理，系統的穩態誤差為：avpsskCkBkAe21(1)(1)系統系統(a)的開環傳遞函的開環傳遞函數的時間常數表達式為：數的時間常數表達式為：)125.0(5 .2)(sssGk為為常常數數。、CBACtBtAtxi,)(23.5 誤差分析與計算0325 .261421avpsskCkBkAe5 .2)(1ka型型系系統統，其其開開環環增增益益為為為為系系統統I總總誤誤差差：，可可得得系系統統，則則：)(01akkkkavp) 125. 0() 1(5 . 2)(2sss

45、sGk(2)(2)系統系統(b)(b)的開環傳遞函數的時間常數表達式為：的開環傳遞函數的時間常數表達式為：5 .2)(2kb型型系系統統，其其開開環環增增益益為為為為系系統統II總總誤誤差差：，可可得得系系統統，則則：)(5 . 22bkkkkavp4 . 25 . 23261421avpsskCkBkAe3.5 誤差分析與計算。時時，求求系系統統的的穩穩態態誤誤差差號號為為：的的控控制制信信如如圖圖所所示示，當當系系統統輸輸入入例例：已已知知某某系系統統方方框框圖圖2583)(tttxi)6)2(5sss（)(txi)(0txs1sssssHsG1)6)(2(5)()(解解：開開環環傳傳遞遞

46、函函數數：01250)0(1CKCHeass，型系統，但非單位反饋型系統，但非單位反饋II1251)6)(2(5lim)()(lim2020ssssssHsGsKssa3.5 誤差分析與計算表表1 1、系統的穩態誤差系數及穩態誤差、系統的穩態誤差系數及穩態誤差00K2II型型00K1I型型00K00型型單位加速度單位加速度輸入輸入單位速度單位速度輸入輸入單位階躍單位階躍輸入輸入KaKvKp穩態誤差穩態誤差穩態誤差系數穩態誤差系數系統系統類型類型011K11K21K注意注意k0、k1、k2為系統的開環增益。為系統的開環增益。3.5 誤差分析與計算四、擾動引起的穩態誤差和系統總誤差四、擾動引起的穩

47、態誤差和系統總誤差)()()(sNsEsGNNe)()(sNGsENeN)(lim)(lim0ssEteeisitssi)(lim)(lim0ssEteeNsNtssNssNssisseee3.5 誤差分析與計算1. 穩定性定義穩定性定義一、一、穩定性的概念穩定性的概念 自動控制系統在實際運行中，總會受到外界或自動控制系統在實際運行中，總會受到外界或內部擾動內部擾動（例如負載的變化、電壓的波動、參數的（例如負載的變化、電壓的波動、參數的變化等）變化等），系統就會偏離原有的平衡工作狀態，其，系統就會偏離原有的平衡工作狀態，其輸出量也會偏離原穩態值。輸出量也會偏離原穩態值。 穩定性穩定性就是指系統

48、在擾動消失后，能否在有限的就是指系統在擾動消失后，能否在有限的時間內以足夠的精度由擾動產生的偏差狀態恢復到原時間內以足夠的精度由擾動產生的偏差狀態恢復到原來的平衡狀態或達到一個新的平衡狀態的能力。來的平衡狀態或達到一個新的平衡狀態的能力。3.6 穩定性分析穩定性分析 例如：例如：小球系統如圖小球系統如圖 a)、b)、c)a)b) c（2） 當擾動消失后，隨著時間的推移，系統偏離當擾動消失后，隨著時間的推移，系統偏離工作狀態越來越遠，不能夠恢復到平衡狀態，則稱工作狀態越來越遠，不能夠恢復到平衡狀態，則稱系統為不穩定系統。系統為不穩定系統。 不穩定系統無法正常工作，是不可取的系統。不穩定系統無法正

49、常工作，是不可取的系統。（1）當擾動消失后，隨著時間的推移，系統能夠當擾動消失后，隨著時間的推移，系統能夠以足夠的精度恢復到原來的平衡狀態或達到一個新以足夠的精度恢復到原來的平衡狀態或達到一個新的平衡狀態，則稱系統為穩定系統。的平衡狀態，則稱系統為穩定系統。3.6 穩定性分析（3 3）臨界穩定）臨界穩定臨界穩定：臨界穩定：若系統在擾動消失后，輸出與原始的平若系統在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統處于臨界穩定狀態。系統處于臨界穩定狀態。 處于臨界穩定或接近臨界穩定狀態的穩定系統，處于臨界穩定或接近臨界穩定狀態的

50、穩定系統，由于分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的，或者由于分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的，或者由于實際系統參數的時變特性等因素的影響，在實際由于實際系統參數的時變特性等因素的影響，在實際中可能成為不穩定的系統，因此，系統必須具備一定中可能成為不穩定的系統，因此，系統必須具備一定的的穩定裕量穩定裕量，以保證其在實際工作時處于穩定狀態。，以保證其在實際工作時處于穩定狀態。 經典控制論中，臨界穩定也視為不穩定。經典控制論中，臨界穩定也視為不穩定。)(0txnt03.6 穩定性分析二、二、 系統穩定的條件系統穩定的條件 設線性系統具有一個平衡點。對該平衡點，當：設線性系統具有一個平衡點。對該平

51、衡點，當：xi(t)=0時，系統的輸出信號時，系統的輸出信號x0(t)=0。 當干擾信號當干擾信號n(t)作用于系統時，其輸出信號將偏離工作用于系統時，其輸出信號將偏離工作點作點。如果取干擾信號消失瞬間為。如果取干擾信號消失瞬間為t =0，因此，系統的，因此，系統的輸出輸出x0(t)即為控制系統在初始偏差影響下的過渡過程。即為控制系統在初始偏差影響下的過渡過程。 若若系統穩定系統穩定，則輸出信號，則輸出信號x0(t)就會隨著時間的推移，就會隨著時間的推移，x0(t)0，即：系統恢復到原來平衡工作點；若，即：系統恢復到原來平衡工作點；若系統不系統不穩穩定定，則輸出信號，則輸出信號x0(t)0，系

52、統不能恢復到原來平衡點。，系統不能恢復到原來平衡點。 穩定性可由實驗確定，也可用描述系統的數學模型穩定性可由實驗確定，也可用描述系統的數學模型如如微分方程或傳遞函數進行分析。微分方程或傳遞函數進行分析。3.6 穩定性分析l 思路 根據系統穩定性的定義，可用脈沖信號作為干擾根據系統穩定性的定義，可用脈沖信號作為干擾輸入信號，考察系統的脈沖響應。輸入信號，考察系統的脈沖響應。)()(ttxi即：即：1)(sXi)()()()(0sGsXsGsXi 顯然，系統的響應決定于系統閉環傳遞函數的極顯然，系統的響應決定于系統閉環傳遞函數的極點點系統穩定性決定于系統的固有特性。系統穩定性決定于系統的固有特性。

53、的的穩穩定定情情況況。的的情情況況，就就可可分分析析系系統統根根據據)(0tx3.6 穩定性分析l 穩定的條件 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮系統考慮系統01110nnnnasasasa其特征方程為：其特征方程為：1. . 對于特征方程的對于特征方程的單實根單實根-pi ，niiinnpscpscpscpscsG122111)(nitpitpntptpinecececectx121021)(相應瞬態輸出為：相應瞬態輸出為：3.6 穩定性分析當當-pi 0時，該輸出分量指數單調遞增。時，該輸出分量指數單調遞增。當當-pi= 0

54、時，該輸出分量為常數。時，該輸出分量為常數。1. 對于特征方程的對于特征方程的單實根單實根-pi ，00)(0iptx，則則：結結論論：如如果果要要)sin()sincos(22tCBetCtBettCarctgB/其中，其中，當當- 0時，該分量為指數發散的振蕩過程。時，該分量為指數發散的振蕩過程。當當- = 0時，該分量為等幅振蕩。時，該分量為等幅振蕩。00)(0，則則：結結論論：如如果果要要tx2. 對于特征方程有對于特征方程有復根復根 ，相應瞬態輸出為：，相應瞬態輸出為： j3.6 穩定性分析)(121rrtptataaer3. 對于對于r 重實根重實根-pr，相應的時域分量為：相應的

55、時域分量為：當當 -pr 0時，該輸出分量指數單調遞增。時，該輸出分量指數單調遞增。當當 -pr = 0時時，該輸出分量多項式遞增。，該輸出分量多項式遞增。00)(0rptx，則則：結結論論：如如果果要要 綜上所述，不論系統特征方程的特征根為何種綜上所述，不論系統特征方程的特征根為何種形式，線性系統穩定的充要條件為：形式，線性系統穩定的充要條件為：所有特征根均所有特征根均為負數或具有負的實數部分；即：所有特征根均在為負數或具有負的實數部分；即：所有特征根均在復數平面復數平面s平面的左半平面。平面的左半平面。 穩定性穩定性與零點無關。與零點無關。j0js3.6 穩定性分析三、勞斯（Routh）穩

56、定性判據 1. .系統穩定的必要條件系統穩定的必要條件 0)()()(2101110nnnnnpspspsaasasasasD系統的特征方程為：系統的特征方程為： 顯然，要判斷系統是否穩定，如果根據上述定義及分顯然，要判斷系統是否穩定，如果根據上述定義及分析方法，則需把系統的特征方程的根求解出來，再根據根析方法，則需把系統的特征方程的根求解出來，再根據根的情況來進行判斷。的情況來進行判斷。 如果不直接求解特征方程，就能判定系統的穩定性，如果不直接求解特征方程，就能判定系統的穩定性，那么在工程上就有現實意義。為此形成了一系列穩定性判那么在工程上就有現實意義。為此形成了一系列穩定性判據，其中最重要

57、的是（據，其中最重要的是（18841884年）勞斯年）勞斯( (Routh) )判據。判據。3.6 穩定性分析由根與系數的關系可知：由根與系數的關系可知： 若使全部特征根若使全部特征根 - -pi i均具有負實部，系統必均具有負實部，系統必須滿足以下條件：須滿足以下條件：),3 ,2, 1 ,0( ,01niai）（0)3210(20iiaania為為正正數數，所所以以，工工程程中中一一般般。由由于于在在控控制制，的的符符號號相相同同）（ 需指出的是需指出的是：若特征方程不滿足上述條件，系統：若特征方程不滿足上述條件，系統一定不穩定一定不穩定; ;若特征方程滿足上述條件時，系統仍然若特征方程滿

58、足上述條件時，系統仍然可能是不穩定的，即：滿足上述條件是系統穩定的可能是不穩定的，即：滿足上述條件是系統穩定的必必要條件要條件。0)(1110nnnnasasasasD3.6 穩定性分析2. 2. 系統穩定的充要條件系統穩定的充要條件勞斯穩定判據勞斯穩定判據 其中，其中，ai 0 (i= 0, 1, 2, , n)，且特征方程也不且特征方程也不缺項，即滿足系統穩定的必要條件。缺項，即滿足系統穩定的必要條件。 0)(1110nnnnasasasasD考慮系統的特征方程：考慮系統的特征方程：勞斯穩定判據勞斯穩定判據：勞斯陣列中第一列所有元素的符號均為正號。 如果如果第一列中各數第一列中各數a0 0

59、、a1 1、b1 1、c1 1、的符號的符號相同，則表示系統具有正實部特征根的個數等于零，相同，則表示系統具有正實部特征根的個數等于零，系統穩定系統穩定；如果符號不同，系統不穩定，且符號改變；如果符號不同，系統不穩定，且符號改變的次數等于系統具有的正實部特征根的個數的次數等于系統具有的正實部特征根的個數。 3.6 穩定性分析勞斯陣列勞斯陣列: : 0)(122110nnnnnasasasasasDsna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1勞斯陣列第1列元素 如果如果第一列

60、中各數第一列中各數a0 0、a1 1、b1 1、c1 1、的符號相同，則表示系統具有正實部特征的符號相同，則表示系統具有正實部特征根的個數等于零，系統穩定根的個數等于零，系統穩定；如果符號不；如果符號不同，系統不穩定，且符號改變的次數等于同，系統不穩定，且符號改變的次數等于系統具有的正實部特征根的個數系統具有的正實部特征根的個數。 3.6 穩定性分析sna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1312011,1aaaaab514012,1aaaaab716013,1aaaaa