1、1第 章一元函數的極限與連續 1第節預備知識 1.1.集合的概念及運算Ax記稱為集合的元素。組成集合的對象質的對象的全體集合是具有某種確定性定義 .:無限集空集：有限集集合的類型：ABBABABABABABABA且相等與的真子集：是的子集：是集合間的關系：:全體正整數組成的集合 N合全體非零實數組成的集 R全體實數組成的集合 R常用的數集）組成的集合全體非負整數（自然數 N全體整數組成的集合 Z全體有理數組成的集合 Q全體復數組成的集合 C 后所得的集合，比如”去掉素“”表示將該集合內的元集合記號右下角加“0BCABBAABBABABAA記為的補集關于為則稱特別，若差集交集并集：集合的運算：,

2、.:)( )( ,)( :)(,)( ,)( )()( )()()( ),()()( :)()(),()( :,:AIABABABABAABAAABAAAAAAAAAAACBCACBACBCACBACBCACBACBACBACBACBAABBAABBAccccccc對偶律吸收律：冪等律：分配律結合律交換律運算律：ByAxyxBADescartes,),(:,(）直積簡稱笛卡兒積積niRxxxxinn, 2 , 1,),(RRRR21的性質：有理數集 Q1.2.實數集封閉性有序性稠密性實數集無理數集有理數集的性質：實數集 R封閉性有序性稠密性完備性（下）的一個上界為則稱有，使，若存在，且設)(,

3、RRALLxAxLAA1定義2定義則稱使，）（，有）（，滿足：，若存在，且設LxAxLxAxLAA00,02,1RRLAALsup的上確界，記為的上確界，記為為為AAinf，記記為為的的下下確確界界類類似似地地定定義義1定理數集必有上（下）確界數集必有上（下）確界有上（下）界的非空實有上（下）界的非空實*區間 | ) , (:bxaxba開區間 |) , bxaxba| , (bxaxba | ) , (xaxa | ) , (bxxb | ) , xaxa | , (bxxbR | ) , (xx | , :bxaxba閉區間鄰域 | | ) , (axxaN: 鄰域的點a | 0| ) ,

4、 (axxaN: 鄰域的去心點a),(aa),(aaa( ) a a0 ax( ) a a0 ax鄰域半徑鄰域中心 a*1.3. n維空間 R,.,),.,(RRRR2121nnnxxxxxx定義加法與數乘如下：，設R,R),.,(,R),.,(n21n21nnyyyyxxxx點）維實向量(nn21n2211R),.,(R),.,(nnnxxxxyxyxyxyxnnRRxyx維實向量空間構成一個nnR2222211)(.)()(),(nnxyxyxyQPn維空間中兩點),.,(21nxxxP與),.,(21nyyyQ間的距離規定為 ),( | ) , (axxaN 鄰域的a開區間),() ,

5、(:RaaaN為半徑的圓為圓心，以 ) , (:R2aaN為半徑的球為球心，以 ) , (:R3aaN為一點集設nRA P為A的內點：存在P的一個鄰域N(P), 使.)(APNP為A的外點：存在P的一個鄰域N(P), 使.)(APNP為A的邊界點：P的任何一個鄰域中，既有A的內點， 又有A的外點.-A的邊界AP為A的聚點：P的任何一個鄰域中，至少含有A的異于 P的 一個點。 的聚點）是則稱的無窮多個點，的任一鄰域內總有中一點，為APAPRPn(A為區域: A為連通開集. 如21),(22yxyxA為閉區域: 區域連同它的邊界. 如21),(22yxyxA為開集：A的各點都是內點.A為連通集:

6、對任意的,21APP都可用一條包含在A內 的折線把P1,P2連起來.區域 A 的直徑： ,),(sup2121APPPPd1.4. 函數1定義的值域fAxxfyyAf),()(, , B A f若有一個對應法則是兩個非空數集和設相對應，與，有唯一的按照對應關系xByfx A, , 的定義域fA記為的一個映射到是則稱 , BAf , )(: AxxfyxfBAf或 下的原像在映射為下的像，在映射為稱fyxfxyBAf)(若為滿射：f為單射：f)()( , A,212121xfxfxxxx有若為一一映射f1定義的值域fAxxfyyAf),()(, , B A f若有一個對應法則是兩個非空數集和設相

7、對應，與，有唯一的按照對應關系xByfx A, , 的定義域fA記為的函數是或的函數是則稱 ),)( xxfxy , )(Axxfy ,為因變量為自變量稱yx一元實函數*AxxfgyxfgyBCCuAxxfuBuugy),)(:)(, ,),(;),( 或記為函數為它們兩個函數的復合則稱若而設:復合函數:反函數Byyfx，yx，ffyxfByAxxfy),(,),( ,),( 11記為：的函數為就確定了相反的對應關系則根據與一一對應與且根據對應關系設yuxgf的反函數我們稱之為)(xfy xxffxxff)(,)(11且易知)()(,11xfyyfx改記為我們把在習慣上之間的關系：與半徑圓的面

8、積例 . 1rA2 rAro), 0(r之間的關系：與時間自由落體的下落距離例 .2 ts221tgsT 設落地時間為 , 0 Tt地 面s之間的關系：邊數 ) 3 ( nn sin2nnrSn與長周的圓的內接正多邊形的一個半徑為例nSr . 3 例 4.0,0, : xxxxxy絕對值函數-1-0.50.510.20.40.60.81True)(2x分段函數 在自變量的不同范圍中，對應法則對應法則用不同的式子來表示的 函數稱為分段函數分段函數。例 5.: 符號函數0,10,00,1sgn xxxxy0,10, :例如 2xxxxyoxyoxy11 )(), , ()(ZfRfD的最大整數的最

9、大整數不超過不超過取整函數取整函數xxy 例 6.-3-224x-4-224yo7. : 1, ( ) 0(),DirichxQD xxletQ利利雷雷 函函數數例例狄狄克克函數的幾種特性有界性 單調性（單調，嚴格單調）奇偶性周期性函數的幾種常見性態1、單調增加 (單增)：)()( 均有)( , 對 若 , 義 定 有 上區間 在 )(數 函 設212121xfxfxxIxxIxfy 加 調 單 上區間 在 )(數 函 稱Ixfy 則() 嚴格單調減少 oxy21xx)()(21xfxf),(,:例如2xxyoxy.), 0()0 ,(上單增在上單減在，.),(內不具有單調性但在)()( 均有

10、),( 對 若 , 義 定 有 )上()(. 1xfxfaaxa,axfy在區間設函數為偶函數則 )(數 函 稱xfy 偶函數的圖形關于偶函數的圖形關于y軸對稱軸對稱oxyxxoxyxx )(xf )( xf )()( 均有),( 對 若 , 義 定 有 )上()(. 2xfxfaaxa,axfy在區間設函數為奇函數則 )(數 函 稱xfy 奇函數的圖形關于原點對稱奇函數的圖形關于原點對稱偶函數偶函數=偶函數奇函數奇函數=偶函數奇函數偶函數=奇函數偶函數+偶函數=偶函數奇函數+奇函數=奇函數奇函數+偶函數=非奇非偶函數232: sin , cos , cos , tanyxxyxxyxxyxx

11、例例如如MxfIxMIxfy)( 均有, 對, 0若 , 義 定 有 上區間 在 )(數 函 設有界則上區間 在 )(數 函 稱Ixfy MxfM )(Mxf)(:有上界Mxf)(:有下界又有下界既有上界有界,: ( ), ( )(), ( )()f xyf xfxyf xfx注注對對有界它在有對例如),(, 1sin),(,sin:xxxy有界但在無界在2 , 1 (,2 , 0(,1xy oxy211)()(, 0,),()(xflxflxfy若上有定義在設為周期的周期函數是以則稱lxf)(MxfIxMIxfy)( , 0若 , 義 定 有 上區間 在 )( 設:00總有一點對無界的定義初

12、等函數：基本初等函數：冪函數， 指數函數，對數函數， 三角函數，反三角函數， 常數函數由基本初等函數經過有限次四則運算或復合運算后得到的,可以用一個數學表達式表示的函數*1.冪函數冪函數Rxy,xxyxyxy1 , ,:13如如xy 3xy 2.指數函數指數函數1, 0,aaayx,2 ,:xxyey如如xoy) 1( aayx) 10(aayx133121 ,xxyxxyxxy221xxeey13.對數函數對數函數1, 0,logaaxya,log,log:312xyxy如自然對數xxyelnlog常用對數xxylglog10 xoy1,logaxya10 ,logaxya4.三角函數三角函

13、數kxxykxxyxxyxy,cot2,tan),(,cos,sinxysecxcos1xycscxsin15.反三角函數反三角函數2,2,1 , 1,arcsinyxxy, 0,1 , 1,arccosyxxy), 0(),(,cotyxxarcy)2,2(),(,arctanyxxyxoyxoyxyarctan22xarcycot2 雙曲函數2xxeeshx雙曲正弦2xxeechx雙曲余弦xxxxeeeechxshxthx雙曲正切 反雙曲函數)1ln(2xxarshxy反雙曲正弦)1ln(2xxarchxy反雙曲余弦xxarthxy11ln反雙曲正切1.5. 數學歸納法數學歸納法.,1.

14、3;,. 2;,1. 1命題也成立時推出命題成立時假設命題成立時驗證knknn命題均成立則對, n:的命題成立要證明一個關于正整數 n2) 1(321:.nnn證明求和公式例歸納1.6. 關于極坐標系和極坐標關于極坐標系和極坐標xo),(極軸軸ox極徑極角),(),(yxxoysincos:yx坐標變換公式) 1 , 1 ( : ),( :yx如如)4,2( : ),( 則則極坐標222: yx且有且有復數域C是對實數域R的擴充的引進.1 i,中Q在有理數域R。Qx擴充到實數域為此將沒有解方程,22。RRi。xixR中的運算聯系起來中的數及與實數域并將的解作為為此引進記號沒有解方程中在實數域類

15、似地1,1,22的擴充實數域R. 2., 1,2復復數數為稱對中的運算相聯系中的數及并與實數域定義引進記號iyxzRyxRRii.Cz的集合記為全體復數:中的任何兩個元規定對C)(11:011:1000:0:22222211221zzzyxyiyxxyxiyxiyxzziizzzz逆元元元可分配律滿足交換律及對加法的乘法滿足交換律加法.,復數域復數域稱為成為一個數域于是CRyxiyxzzC,yzxzzyxiyxz)Im(,)Re(,分別記為和的分別稱為復數中的復數虛虛部部實實部部,0,即為實數復數時的虛部當復數顯然zyz)( ,的擴充為因此RCCR 3.域C的幾何解釋引入復數的代數運算后,符號

16、i就不再是必須的了,可以把z=x+iy與有序數組(x,y)等同起來,從而復數z與(x,y)一一對應. 因此復數域C就與平面直角坐標系RR相對應,故稱與C所對應的平面為.2.用平面上的點(x,y)表示復數z=x+iy(x,y)xyo定義復數z=x+iy的模模:22yxz1. z=x+iy (代數法)(即點(x,y)到原點的距離,顯然 )0z注:(1)復數不能比較大小,但兩個復數的模可以比較大小；(2)兩個復數相等: 實部、虛部對應相等.21212211,即yyxxiyxiyx:),(),(222111的距離為與復平面上兩點yxzyxz21221212)()(yyxxzz(x2,y2)o(x1,y

17、1)3.用復平面上的向量 表示復數z=x+iy, 其中點P(x,y)OPP(x,y)xyo4.三角表示法稱為復數z=x+iy的三角表示法如圖所示,復數z=x+iyP(x,y)xyor有無窮多個幅角的周期性知由記為zArgz,sin,cos.,argArgzz把滿足的幅角稱為的記為主主值值)(2ZkkArgz易知”“, 0),(0,不確定規定其幅角即為原點時當特別地zzsincosirr)sin(cosirz即,的,其中22幅角幅角zzyxr叫做5.指數表示法cossin ,(cossin )Euler() ieizzri借助于歐拉 公式復數 可重新表示：ire稱為復數的注:復數的各種表示法可以

18、互化.31. 1示化為三角表示和指數表將例iz)3, 1(31對應復平面上點復數iz x y o-1323) 1(22 zr模32313tan322ie)232(2kie或222(cossin)33zi為則稱中，若在定義fBABAf,C,C,:1復變函數 ：一個復變函數 二個二元實函數 0),(,),(,)(22yxvyxyxuzzfw例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzzfw2),(,),(,2)()(222222),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf平面上的點集平面上的點集復數的表示法：（指數表示法）三角表示法）或向量復平面上的點irezrzOPyxPyxz.4()sini(cos.3),(.2i.1, 1, 0,2arg.arg,(.22kkzArgzzzArgzzyxzr為內的幅角為主幅角，記個