1、專題3 數列的綜合應用題型1 等差數列、等比數列的綜合問題1. 已知是等差數列,其前n項和為,是等比數列,且,.(1)求數列與的通項公式;(2)記,證明:.解:(1)設等差數列的公差為d,等比數列的公比為q,由,得,由條件,得方程組,計算得出,故,.(2)證明:方法一,由(1)得,;   (1);     (2);由(2)得,;而;故.方法二:數學歸納法,(3)當時,故等式成立,(4)假設當時等式成立,即,則當時有,.即,因此時等式成立.(3)(4)對任意的,成立.2. 數列的前項和為，已知，且，。（）證明：；（）求。答案（）證明：由

2、條件，對任意,有，因而對任意,，所以。兩式相減，得，。又，所以，故對一切的，。（）解：由（）知，所以，于是數列是首項為，公比為的等比數列；數列是首項為，公比為的等比數列。因此，。于是。從而。綜上所述，題型2 數列的實際應用3. 某住宅小區計劃植樹不少于棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數等于_。答案644解析本題主要考查等比數列的和。第一天是棵，第二天棵，所以第天是棵。，解得。所以的最小值為6。4. 某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬元,第二名得剩下的一半多一萬元,以名次類推得到剩下的一半多一萬元,到第10名恰好資金分完,求此

3、科研單位共拿出多少萬元資金進行獎勵.解:設第十名到第一名得到的獎金分別是,則,每人所得獎金數組成一個以2為首項,公比為2的等比數列,此科研單位共拿出2046萬元資金進行獎勵.5. 某企業2010年初貸款a萬元，年利率為r，按復利計算，從2010年末開始，每年末償還一定金額，計劃第5年底還清，則每年應償還的金額數為（）萬元6. 一學生參加市場營銷調查活動,從某商場得到11月份新款家電M的部分銷售資料.資 料顯示:11月2日開始,每天的銷售量比前一天多t臺(t為常數),期間某天由于商 家提高了家電M的價格,從當天起,每天的銷售量比前一天少2臺.11月份前2天 共售出8

4、臺,11月5日的銷售量為18臺.(I)若商家在11月1日至15日之間未提價,試求這15天家電M的總銷售量.若11月1日至15日的總銷售量為414臺,試求11月份的哪一天,該商場售出家電M的臺數最多?并求這一天售出的臺數.解:(I)根據題意,商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數列,解之得因此,這15天家電M的總銷售量為臺.設從11月1日起,第n天的銷售量最多,由(I),若商家在11月1日至15日之間未提價,則這15天家電M的總銷售量為450臺,而不符合題意,故; 若,則,也不符合題意,故因此,前n天每天的銷售量組成一個首項為2,公差為4的等差數列,第天開始

5、每天的銷售量組成首項為,公差為-2的等差數列.由已知條件,得,即解之得或(舍去19),出售家電M的臺數為臺故在11月12日,該商場售出家電M的臺數最多,這一天的銷售量為46臺.題型3 數列與函數、不等式的綜合7. 已知數列中,點(且)滿足,則?答案時,代入,為定值.,數列是以1為首項,2為公比的等比數列.時,同樣滿足通項公式,數列的通項公式為8. 已知數列的通項公式為,數列的通項公式為,設若在數列中,對任意恒成立,則實數k的取值范圍是答案解:若,則,則前面不會有的項,遞增,遞減,遞減,當時,必有,即,此時應有,即,得,即,得,.若,則,同理,前面不能有項,即,當時,遞增,遞減,當時,.由,即,

6、得,由,得,得,即.綜上得,.實數k的取值范圍是.因此，本題正確答案是:.9. 已知奇函數是定義在R上的增函數,數列是一個公差為2的等差數列,滿足,則的值等于 答案4003解:設,則,且,且.結合奇函數關于原點的對稱性可以知道,.,即.設數列通項.通項.因此，本題正確答案是:4003.10. 定義函數,其中表示不小于x的最小整數,如,.當,時,函數的值域為,記集合中元素的個數為,則 答案解:根據題意易知:當時,因為,所以,所以,所以,;當時,因為,所以,所以,所以,;當時,因為,所以,所以,所以,;當時,因為,所以,所以,所以,;當時,因為,所以,所以,所以,由此類推:,所

7、以,即,以上個式子相加得,計算得出,所以,則,因此，本題正確答案是:.11. 已知單調遞增的等比數列  滿足  ,且  是  的等差中項.(1)求數列  的通項公式;(2)若   ,求  成立的正整數  的最小值.答案(1)  ,  ,  ,  ,  ,  或  ,  為遞增數列，    (2)  ,錯位相減得到   ,  ,  即  .12. 已知數列是首項為2的等差數列,其前n項和滿足.數列是以為首項的等比數列,且.()求數列,的通項公式;()設數列的前n項和為,若對任意不等式恒成立,求的取值范圍.解:()設等差數列的公差為d,根據題意得,計算得出,由,從而公比,.()由()知,又,對任意,等價于,對遞增,.即的取值范圍為.13. 設各項均為正數的數列的前項