1、專題五 數列本專題的主要內容是數列的概念、兩個基本數列等差數列、等比數列這部分知識應該是高考中的重點內容考察數列知識時往往與其他知識聯系起來，特別是函數知識數列本身就可以看作特殊(定義在N*)的函數因此解決數列問題常常要用到函數的知識，進一步涉及方程與不等式本專題的重點還是在兩個基本數列等差數列、等比數列，包括概念、通項公式、性質、前n項和公式§51 數列的概念【知識要點】1從函數的觀點來認識函數，通過函數的表示方法，來認識數列的表示方法，從而得到數列的常用表示方法通項公式，即：anf(n)2對數列特有的表示方法遞推法有一個初步的認識會根據遞推公式寫出數列的前幾項，并由此猜測數列的一

2、個通項公式3明確數列的通項公式與前n項和公式的關系：Sna1a2an；特別注意對項數n的要求，這相當于函數中的定義域【復習要求】1了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2了解數列是自變量為正整數的一類函數【例題分析】例1 根據數列的前五項寫出該數列的一個通項公式：(1)，； (2)2，6，18，54，162；(3)9，99，999，9999，99999； (4)1，0，1，0，1，0分析：本題需要觀察每一項與項數之間存在的函數關系，猜想出一個通項公式這種通過特殊的元素得到一般的規律是解決問題的常用方法，但得到的規律不一定正確，可經過證明來驗證你的結論解：(1) ； (2)a

3、n2×(3)n1； (3)an10n1； (4) 評析：(1)中分數的考察要把分子、分母分開考察，當然有時分子分母之間有關系；(2)中正負相間的情況一定與(1)的方次有關；(3)中的情況可以擴展為7，77，777，7777，77777an(10n1)；(4)中的分段函數的寫法再一次體現出數列是特殊的函數，也可寫成，但這種寫法要求較高例2 已知：數列an的前n項和Sn，求：數列an的通項公式an，(1)Snn22n2； (2)Sn()n1分析：已知數列前n項和Sn求通項公式an的題目一定要考慮n1與n2兩種情況，即：anSnSn1不包含a1，實際上相當于函數中對定義域的要求解：(1)當

4、n1時，a1S11，當n2時，anSnSn12n3，則(2)當n1時，a1S1，當n2時，anSnSn1，此公式也適合n1時的情況，則an評析：分情況求出通項公式an后，應考察兩個式子是否能夠統一在一起，如果能夠統一還是寫成一個式子更加簡潔；如果不能統一就要寫成分段函數的形式，總之分情況討論后，應該有一個總結性結論例3 已知：數列an中，a10，an1an2n1，(1)寫出此數列的前4項；(2)根據前4項，猜出數列的一個通項公式分析：這種歸納、猜想、證明的方法是解決問題中經常用到的，本題不要求證明，只是考察學生的歸納、猜想能力解：(1)a10，a2a12×111，a3a22×

5、;214，a4a32×319(2)根據an與n的關系，由此得出an(n1)2評析：這種猜想的問題中，特殊元素的計算一定要準確(尤其每一個結果要用到下一步運算)，否則猜想不出來或猜想錯誤例4 完成下列各題：(1)數列an中，a12，an1anln(1)，則a3等于( )(A)2ln3(B)22ln3(C)23ln3(D)4(2)已知數列an對任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于( )(A)165(B)33(C)30(D)21(3)數列an中，an4n，a1a2anan2bn，nN*，其中a，b為常數，則ab_分析：本題中三個小題都涉及數列的遞推關系，這類問題，最

6、好的辦法是給n賦值，通過特殊的項找到一般的規律解：(1)an1anln(1)ananln(n1)lnn，a2a1ln(11)ln12ln2，a3a2ln(21)ln22ln3選A(2)apqapaq，a2a11a1a16a13，a3a21a2a1639，a5a32a3a29615，a10a55a5a530選C(3)a1a2anan2bn，an4n，ab1評析：這種通過特殊的項解決數列問題的方法今后經常用到，希望大家掌握練習51一、選擇題1數列，的通項公式為( )(A)(B)(C)(D)2若數列的前四項是3，12，30，60，則此數列的一個通項公式是( )(A)(B)5n26n4(C)(D)3數

7、列an中，若a11，a21，an2an1an，則a7( )(A)11(B)12(C)13(D)144若數列an的前n項和為Sn，且Snan1，則an( )(A)(B)(C)(D)二、填空題5數列2，5，2，5，的一個通項公式_6數列an的前n項和Snn2，數列an的前4項是_，an_7若數列an的前n項和Sn2n23n1，則它的通項公式是_8若數列an的前n項積為n2，則a3a5_三、解答題9已知：數列an中，若a1，a1a2annan，求數列an前4項，并猜想數列an的一個通項公式10已知：數列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，求數列的第50項§52 等差數列與等比數列【

8、知識要點】1熟練掌握等差數列、等比數列的定義anan1d(常數)(n2)數列an是等差數列；(常數)(n2)數列an是等比數列；由定義知：等差數列中的項an及公差d均可在R中取值，但等比數列中的項an及公比q均為非零實數應該注意到，等差數列、等比數列的定義是解決數列問題的基礎，也是判斷一個數列是等差數列、等比數列的唯一依據2明確等差中項與等比中項的概念，并能運用之解決數列問題ba、b、c成等差數列，b叫做a、c的等差中項，由此看出：任意兩個實數都有等差中項，且等差中項唯一；若abc0，且b2aca、b、c成等比數列，b叫做a、c的等比中項，由此看出：只有同號的兩個實數才有等比中項，且等比中項不

9、唯一3靈活運用等差數列、等比數列的通項公式an及前n項和公式Sn等差數列an中：anam(nm)da1(n1)d，Sn；等比數列an中：anamqnma1qn1，4函數與方程的思想運用到解決數列問題之中等差數列、等比數列中，首項a1、末項an、項數n，公差d(公比q)、前n項和Sn，五個量中，已知三個量，根據通項公式及前n項和公式，列出方程可得另外兩個量；等差數列中，andna1d、Snn2(a1)n，可看作一次函數與二次函數的形式，利用函數的性質可以解決數列問題5等差數列、等比數列的性質等差數列an中：若mnpq，則amanapaq；等比數列an中：若mnpq，則am·anap&#

10、183;aq【復習要求】1理解等差數列、等比數列的概念2掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式3能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題4了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系【例題分析】例1 完成下列各題：(1)等差數列an中，若a2a812，則a5( )(A)7(B)6(C)5(D)4(2)若等差數列an滿足a2a44，a3a510，則它的前10項的和S10( )(A)138(B)135(C)95(D)23分析：本題在于考察等差數列的基本知識，通項公式及前n項和公式是一切有關數列中考察的重點解：(1)數列an是等差數列，a2a8a5

11、3da53d2a512，a56選B(2)等差數列an中a2a44，a3a510，a32，a45，公差d3，首項a14，a10a19d42723，S10×1095選C評析：本題中涉及等差數列中的重要性質：若mnpq，則amanapaq，(1)中可直接應用這一性質：a2a8a5a52a5得到結論，但題中所給的答案可看作這一性質的證明，同時，等差數列中通項公式并不一定要用首項表示，可以從任何一項開始表示an，這也是常用的方法例2 已知：等差數列an的前n項和為Sn，且S516，S1064，求S15分析：本題可對等差數列的知識加以進一步考察，可以用求和公式，也可運用等差數列的性質加以解決解：

12、方法一：由可得，所以S1515a1d144方法二：等差數列中a1a2a3a4a5、a6a7a8a9a10，a11a12a13a14a15這三項也構成等差數列，即：由a1a2a3a4a5S516，a6a7a8a9a10S10S5641648，a11a12a13a14a15S15S10S1564，可得2×4816S1564，S15144方法三：S10S6×5641648，a6a10，a1a15a6a10，S15×15144評析：本題中方法一是直接應用前n項和公式，得出首項與公差，再用公式得出所求，應是基本方法，但運算較繁瑣；方法二充分注意到等差數列這一條件，得到的結論

13、可以擴展為等差數列中第1個n項和、第2個n項和、第n個n項和仍然成等差數列，你知道這時的公差與原數列的公差的關系嗎？這一方法希望大家掌握；方法三是前n項和公式與等差數列的性質的綜合應用，大家可以借鑒例3 完成下列各題：(1)等比數列an中，若a22，a5，則公比q( )(A)(B)2(C)2(D)(2)等比數列an滿足a1a23，a2a36，則a7( )(A)64(B)81(C)128(D)243(3)各項均為正數的等比數列an的前n項和為Sn，若S102，S3014，則S40( )(A)80(B)30(C)26(D)16分析：本題中各小題是在運用等比數列的基本知識來解決，通項公式與前n項和公

14、式要熟練運用解：(1)數列an是等比數列，a5a2q3，即：2q3，q選D(2)數列an是等比數列，a7a1·q62664選A(3)方法一 等比數列an的前n項和為Sn，(*)，兩式相除：7，即：1q10q207所以q102或q103(舍)把q102代入(*)中得到：2，S40(2)(124)30選B方法二 a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30，a31a32a40，也構成等比數列，設新等比數列的公比為p，則：a1a2a10S102，a11a12a202p，a21a22a302p2S3022p2p214，p3或p2，等比數列an的各項均為正數，p2，a1a2a102、

15、a11a12a204、a21a22a308、a31a32a4016，S402481630評析：(1)中是通項公式的變形使用，即：anam·qnm(等差數列也有類似的表示)，(3)中方法一仍是解決此類問題的基本方法，注意把看成整體來求，方法二沿用了前面等差數列中此類問題解決的一個方法，這在等比數列中也適用，即：等比數列中第1個n項和、第2個n項和、第n個n項和仍然成等比數列，同樣，你知道這時的公比與原數列的公比的關系嗎？例4 已知：等差數列an中，且bn(1)求證：數列bn是等差數列；(2)若a11，求數列an，bn的通項公式分析：運用等差數列的兩個公式兩個數列都是等差數列，所求通項就

16、離不開首項和公差解：(1)數列an是等差數列，設公差為d，a1a2an×n，bn，bnbn1(n2)，數列bn是等差數列，公差為(2)bn，b1a11，數列an、bn是等差數列，d，an1(n1)×.評析：(1)是證明數列是等差(等比)數列的問題，采取的方法只能是運用定義，滿足定義就是，不滿足定義就不是例5 已知：等差數列an中，a312，S120，S130求：數列an的公差d的取值范圍分析：按照所給的條件，明顯的是把兩個不等的關系轉化為關于公差d的不等式解：數列an是等差數列，即：，即：d3評析：也可直接運用Snna1得到關于a1與d的不等式，再通過通項公式得到a3與a1

17、的關系，進而求出d范圍例6 已知四個數中，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，第一、四個數的和為16，第二、三個數的和為12，求這四個數分析：本題中，方程的思想得到明顯的體現，實際上數列問題總體上就是解方程的問題，根據所給的條件，加上通項公式、前n項和公式列出方程，解未知數，通過前面的例題大家應該有所體會了解：方法一：設這四個數為：a，b，12b，16a則根據題意得：或，則這四個數為：0、4、8、16或15、9、3、1方法二：設這四個數為：ad，a，ad，則根據題意得：或，則這四個數為：0、4、8、16或15、9、3、1評析：列方程首先就要設未知數，題目中要求四個數，但不要就設四個未知數，

18、要知道，方程的個數與未知數的個數一樣時才有可能解出，因此在設未知數時就要用到題目中的條件方法一是用“和”設未知數，用數列方程；方法二是用數列設未知數，用“和”列方程例7 在等差數列an中，a410，且a5，a6，a10成等比數列求：數列an前20項的和S20分析：本題最后要求的是等差數列的前20項和，因此，求首項、公差以及通項公式就是必不可少的解：數列an是等差數列，a5a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d，a5，a6，a10成等比數列，aa5·a10，即(102d)2(10d)(106d)，d0或d15，當d0時，ana410，S20200；當d15時，ana

19、4(n4)d15n70，1750評析：在等差、等比數列綜合問題中，往往出現多解的情況，對于多個解都要一一加以驗證，即使不合題意也要說明，然后舍去例8 在等差數列an中，an3n16，在數列bn中，bn|an|，求數列bn的前n項和Sn分析：由于對含有絕對值的問題要加以討論，因此所求的前n項和Sn應該寫成分段函數的形式解：(1)當n5時，an0，則：bn|an|163n，且b113，Sn(2)當n6時，an0，bn|an|3n16，所以S535，b62，Sn，由(1)(2)知：Sn評析：當n6時，前5項和要加在Sn中本題得到的結果形式上比較復雜，可通過賦值的方法加以驗證練習52一、選擇題1實數、

20、的等差中項是( )(A)(B)(C)(D)2若等差數列的首項是24，且從第10項開始大于零，則公差d的取值范圍是( )(A)d(B)d3(C)d3(D)d33等比數列an中，若a1a240，a3a460，則a7a8( )(A)80(B)90(C)100(D)1354等差數列an的前n項和為Sn，若S41，S84，則a17a18a19a20( )(A)7(B)8(C)9(D)10二、填空題5(1)等差數列an中，a6a7a860，則a3a11_；(2)等比數列an中，a6·a7·a864，則a3·a11_；(3)等差數列an中，a39，a93，則a12_；(4)等比

21、數列an中，a39，a93，則a12_6等比數列an的公比為正數，若a11，a516，則數列an前7項的和為_7等差數列an中，若an2n25，則前n項和Sn取得最大值時n_8等比數列an中，a5a6512，a3a8124，若公比為整數，則a10_三、解答題9求前100個自然數中，除以7余2的所有數的和10三個互不相等的數成等差數列，其和為6，適當排列后這三個數也可成等比數列，求這三個數11在等比數列an中，a12，前n項和為Sn，數列an1也是等比數列，求：數列an的通項公式an及前n項和Sn§53 數列求和【知識要點】1數列求和就是等差數列、等比數列的求和問題，還應掌握與等差數列

22、、等比數列有關的一些特殊數列的求和問題2數列求和時，首先要明確數列的通項公式，并利用通項公式找到所求數列與等差數列、等比數列之間的聯系，利用等差數列、等比數列的求和公式解決問題3三種常見的特殊數列的求和方法：(1)直接公式法：解決一個等差數列與一個等比數列對應項相加而成的新數列的求和問題；(2)錯位相減法：解決一個等差數列與一個等比數列對應項相乘而成的新數列的求和問題；(3)裂項相消法：解決通項公式是等差數列相鄰兩項乘積的倒數的新數列的求和問題【復習要求】特殊數列求和體現出知識的“轉化”思想把特殊數列轉化為等差數列、等比數列，而在求和的過程中又體現出方程的思想【例題分析】例1 求下列各式(1)

23、；(2)1×22×223×23n×2n；(3)；(4)分析：我們遇到的數列求和的問題是一些特殊的數列，即與等差、等比數列密切相關的數列，最后還是回到等差、等比求和的問題上解：(1)(2)設Sn1×22×223×23n×2n_所以(3).(4)評析：(1)中數列可看成一個等差數列與一個等比數列對應項相加而成，直接運用前n項和公式即可；(2)中數列可看成一個等差數列與一個等比數列對應項相乘而成，采用錯位相減的方法，相減以前需要每一項乘以等比數列的公比，然后錯位相減，還是利用等比數列的前n項和公式，注意錯位后最后一項相減

24、時出現的負號，這是極容易出錯的地方；(3)(4)都是裂項相消，都與等差數列有關，(3)中的形式更加常見一些，注意裂項后的結果要與裂項前一致，經常要乘一個系數(這個系數恰好是等比數列的公比的倒數)例2 求下列數列的前n項和Sn(1)1，5，9，13，17，21，(1)n1(4n3)；(2)1，；(3)1，12，1222，122223，12222n1分析：對于一個數列來說，最重要的是通項公式，有了通項公式，就可以寫出所有的項，就可以看出其與等差、等比數列的關系，從而利用等差、等比數列的前n項和得出結論解：(1)方法一：當n是奇數時，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(19174n3

25、)51321(4n7)當n是偶數時，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(19174n7)51321(4n3)2n方法二：當n是奇數時，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(15)(913)(1721)(4n114n7)(4n3)(4)×(4n3)2n1當n是偶數時，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(15)(913)(1721)(4n74n3)(4)×2n(2)此數列中的第n項所以(3)此數列中的第n項an12222n12n1所以1(12)(1222)(12222n1)(211)(221)(231)(2n1)(2122232n)

26、nn2n12n評析：(1)中帶有(1)n，需要討論最后一項的正負，方法一是把正、負分，看成兩個等差數列，方法二應該是多觀察的結果，但都要對n加以討論，(2)(3)都要先寫出通項，然后每一項按照通項的形式寫出，很明顯地看出方法例3 已知：數列1，1，2，的各項由一個等比數列與一個首項為0的等差數列對應項相加而成，求：這個數列的前10項的和分析：這又是一個數列中體現方程思想的題目，通過所給的三項，列出方程，得到等差、等比數列的首項與公差、公比解：設組成數列1，1，2，的等比數列為an，首項為a1，公比為q；等差數列為bn，首項b10，公差為d，由題知：，則：an2n1，bn0(n1)(1)1n，該

27、數列的前10項的和Sa1a2a10b1b2b10評析：本題的求和，應是直接運用兩個特殊數列的求和公式例4 數列an中，a11，an12an2n(1)設bn，求證：數列bn是等差數列；(2)求：數列an的前n項和Sn分析：對于證明數列是等差、等比數列的問題，還是要應用定義解：(1)證明：bn，bn1，bn1bn1；，數列bn是首項、公差都為1的等差數列，所以bnn(2)由(1)中結果，設bn時，bnn，則ann·2n1，Sn1×202×213×224×23(n1)2n2n·2n1_Snn·2n(n1)·2n1評析：證

28、明數列是等差、等比數列時，如果可能應強調首項與公差，證明后，往往要用到這個數列，因此證明完后應把數列的通項寫出，便于解決其他問題練習53一、選擇題1數列，的前n項之和Sn( )(A)(B)(C)(D)2若數列，它的前n項的積大于105，則正整數n的最小值是( )(A)12(B)11(C)10(D)83數列an的通項公式，若前n項和Sn3，則n( )(A)3(B)4(C)15(D)164數列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于( )(A)1(B)(C)(D)二、填空題5若，且Sn·Sn1，則n_6若lgxlgx2lgx3lgxnn2n，則x_7數列1，(12)，(1222)，(12

29、222n1)的前99項和是_8正項等比數列an滿足：a2·a41，S313，若bnlog3an，則數列bn的前10項的和是_三、解答題9設等差數列an的前n項和為Sn，且S77，S1575，求數列的前n項和Tn的解析式10已知函數f(x)a1xa2x2anxn(nN*)，且a1，a2，an構成等差數列，又f(1)n2求數列an的通項公式11在等比數列an中，公比q1，Sna1a2an，(1)用a1、q、n表示；(2)若、成等差數列，求q的值§54 數列綜合問題【知識要點】1靈活運用等差數列、等比數列的兩個公式及一條性質來解決綜合問題2能解決簡單的由等差數列、等比數列形成的新

30、數列的問題3能夠利用等差數列、等比數列的定義來確定所給數列是等差數列、等比數列【復習要求】通過簡單綜合問題的解決，加深對等差數列、等比數列中，定義、通項、性質、前n項和的認識加深數列是特殊的函數的認識，符合高中階段知識以函數為主線【例題分析】例1 完成下列各題：(1)數列an中，若a11，an1an，則a5_；(2)數列an中，若a12，an1ann1，則通項an_分析：疊加的方法應該是解決數列的通項以及求和問題中常見的方法解：(1)a5(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1(2)an1ann1，an1ann1，利用疊加法，有：a2a111a3a221a4a331) anan1(

31、n1)1_ana1234n(n2)(n1)整理得an評析：疊加時一定要注意首、尾項的變化，尤其是符號例2 數列an是一個等差數列，且a21，a55求：(1)an的通項an；(2)an前n項和Sn的最大值分析：應該是等差數列中的基本問題，還是用兩個基本公式在解決問題解：(1)設an的公差為d，由已知條件解出a13，d2.ana1(n1)d2n5；(2)Snna1dn24n(n2)24n2時，Sn取到最大值4評析：對于等差數列的前n項和的最值問題，看成二次函數的最值問題應該是基本方法例3 已知數列an中，a11，an1，設bn，求數列bn的前n項和Sn分析：注意觀察所給數列變形后與等差、等比數列有

32、哪些聯系，這個聯系一定要找到，而且一定有聯系，顯然本題中a是等差數列解：由題知：數列an中an0，an1，aa2，a1，數列a是首項為1，公差為2的等差數列，a1(n1)×22n1，an0，評析：對于開方的問題一定要考慮正、負，而裂項求和(也可以看作分母的有理化)在前一節中也比較多地提到例4 等差數列an的各項均為正數，a13，等比數列bn中，b11且b2(a1a2)64，b3(a1a2a3)960求：數列an、bn的通項公式分析：還是方程思想在數列中的體現，利用所給條件，列出方程得到公差與公比，從得到通項公式解：(1)設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q，等差數列an的

33、各項均為正數，d0，a1a22a1d6d，a1a2a33a13d93d，等比數列bn中，b2b1qq，b3q2，b2(a1a2)64，b3(a1a2a3)960，得d2或d，d0，d2，此時q8，an2n1，bn8n1評析：注意題目中所給的條件如何運用，例如：等差數列an的各項均為正數，隱含著給出d0，從對最后的結果產生影響例5 完成下列各題：(1)若一個直角三角形三邊長成等比數列，則( )(A)三邊長之比345(B)三邊長之比為31(C)較大銳角的正弦為(D)較小銳角的正弦為(2)ABC中，如果角A、B、C成等差數列，邊a、b、c成等比數列，那么ABC一定是( )(A)直角三角形(B)等腰直

34、角三角形(C)等邊三角形(D)鈍角三角形分析：解決三角形中的問題是一定要用到正弦定理、余弦定理三角形的內角和等于恰好使等差數列的條件得以運用，從而得到角B為的結論，在利用余弦定理找到邊之間的關系，應該是數列與三角綜合問題中常見的方法解：(1)由題中條件可設三邊為：a、aq、aq2(q1)，由勾股定理：a2a2q2a2q4，則：q4q210，設較小銳角為A，其對邊為a，則：選D(2)在ABC中，角A、B、C成等差數列，有余弦定理：cosB，得：a2c2b2ac，三條邊a、b、c成等比數列，b2ac，a2c22ac0，即：ac，ABC一定是等邊三角形選C評析：解決與三角形有關的問題時，一定要想到正

35、弦定理、余弦定理，與數列綜合時，應把角的關系轉化為邊的關系，因為邊成等比數列，所以用邊判斷三角形形狀應該是正確的選擇例6 已知數列an的前n項和Snnpan，且a1a2(1)確定p的值；(2)判斷數列an是否為等差數列分析：本題中存在遞推的關系，解決時還是通過賦值，找到結論，賦值時要多賦幾個，以免出現沖突解：(1)Snnpan，S1a1pa1，a10或p1S2a1a22pa2，當p1時，有a1a22a2a1a2與已知矛盾，p1，a10(且a20)，S2a1a22pa2，a20，p(2)由(1)中結論：Snnan，即：2Snnan，則2Sn1(n1)an1，兩式相減：2(Sn1Sn)2an1(n

36、1)an1nan ，同理得到：2annan(n1)an1(n2) ，得到：2an12an(n1)an12nan(n1)an1(n2)，整理得到：2(n1)an(n1)an1(n1)an1(n2)，n2，2anan1an1，即：an1ananan1，數列an是等差數列評析：(1)中對n1得到的結論要加以驗證，這也是為什么要多賦幾個值的原因，(2)中開始由Sn求an的方法應該掌握，而后面得到結論的方法并不多見，實際上是在找數列中連續三項存在的關系，最后得到的也是等差數列的定義，即：每一項與其前一項的差都相等，這與anan1是常數略有不同，希望大家了解例7 在數列an中，Sn14an2，且a11(1

37、)若bnan12an，求證：數列bn是等比數列；(2)若cn，求證：數列cn是等差數列；(3)數列an的通項公式an及前n項和公式Sn分析：還是要應用定義來證明等差、等比數列解：(1)Sn14an2，Sn4an12(n2)，an1Sn1Sn4an4an1，an12an2(an2an1)，即：bn2bn1，Sn14an2，a11，S2a1a24a12，a25，b1a22a13，數列bn是首項為3，公比為2的等比數列，即bn3·2n1(2)cn，bn3·2n1，c1，數列cn是首項為，公差為等差數列，即cnn.(3)cn，an2n·cn，_Sn1(22232n)2n1

38、×(n)Sn(3n4)·2n12評析：前兩問實際上是第三問的鋪墊，證明等差、等比數列后，要寫出通項公式，為下一步的問題作準備錯位相減時要注意計算，方法再好，結果是錯的，也不能說明你的水平練習54一、選擇題1等差數列an中，a1895，a32123，若an199，則n( )(A)78(B)74(C)70(D)662數列2n229n3中的最大項是( )(A)107(B)108(C)(D)1093等比數列an中，若前n項和Sn2n1，則aaa( )(A)2n1(B)(2n1)(C)4n1(D)(4n1)4在ABC中，cotA是等差數列an的公差，且a34，a74，cotB是等比數

39、列bn的公比，且b3，b69，則這個三角形是( )(A)鈍角三角形(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)等腰三角形二、填空題5若等差數列an中，a1a35，a8a1019，則前10項和S10_6等比數列an中，an0，公比q1，若a3、a5、a6成等差數列，則_7等差數列an中，a10，S4S9，當Sn取得最大值時，n_8數列an中，若a11，an1，則通項公式an_三、解答題9遞增等比數列an滿足a2a3a428，且a32是a2、a4的等差中項求an的通項公式an10已知數列xn的首項x13，xn2npnq，且x1，x4，x5成等差數列(1)求常數p，q的值；(2)求數列xn的前n項的和Sn

40、的公式11已知an是正數組成的數列，a11，且點(，an1)在函數yx21的圖象上(1)求數列an的通項公式；(2)若列數bn滿足b11，bn1bn，求證：bn·bn2b習題5一、選擇題1等差數列an的前n項和為Sn，若a21，a33，則S4( )(A)12(B)10(C)8(D)62等比數列an中，an0，如果a1a52a3a5a3a725，那么a3a5( )(A)5(B)10(C)15(D)203等差數列an中，a1a4a715，a3a6a93，則S9( )(A)18(B)45(C)36(D)274若數列an的前n項和Sn5n2n，則a6a7a8a9a10( )(A)490(B)

41、120(C)370(D)605將n2個正整數1，2，3，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數字和相等，這個正方形就叫做n階幻方如下圖，就是一個3階幻方定義f(n)為n階幻方每條對角線上數的和，例如f(3)15，那么f(4)的值為( )816357492(A)35(B)34(C)33(D)32二、填空題6等差數列an中，a53，若其前5項和S510，則其公差d_7數列an中，a13，a26，若an2an1an，則a6_，a2009_8設f(n)123n，nN*，則f(25)_9等差數列an中，an0，aan1an1(n2)，若S2n138，則n_10若數列an滿足：

42、a1，anan1 (n2)，則a10等于_三、解答題11已知數列an是等差數列，a318，a612求：(1)數列an的通項公式；(2)數列an的前多少項和最大，最大值是多少？12已知數列an的各項均為正數，Sn為其前n項和，且Sn2an2(1)求數列an的通項公式；(2)設數列bn的前n項和為Tn，且bn，求證：對任意正整數n，總有Tn2；13已知an是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且a1b11，a3b521，a5b313(1)求an，bn的通項公式；(2)求數列的前n項和Sn14如果有窮數列a1，a2，a3，am(m為正整數)滿足條件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(

43、i1，2，m)，我們稱其為“對稱數列”例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，2，4，8都是“對稱數列”(1)設bn是7項的“對稱數列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數列，且b12，b411依次寫出bn的每一項；(2)設cn是49項的“對稱數列”，其中c25，c26，c49是首項為1，公比為2的等比數列，求cn各項的和S；(3)設dn是100項的“對稱數列”，其中d51，d52，d100是首項為2，公差為3的等差數列，求dn前n項的和Sn(n1，2，100)參考答案專題五 數列練習51一、選擇題1B 2A 3C 4D提示：2對n進行賦值，利用排除法，得到A中結果滿足題目要求4(1)當

44、n1時，S1a1a11a1(2)當n2時，S2a1a2a21a2，由(1)(2)知：數列an的通項都適合二、填空題5，均可61、3、5、7；an2n1 7 8提示：8由題知a1·a2224，a1·a2·a3329，所以，a1·a2·a3·a44216，a1·a2·a3·a4·a55225，所以三、解答題9解：a1a22a2；a1a2a33a3；a1a2a3a44a4，猜想：10解：由題知：數列的前50項中有：1個1、2個2、3個39個9，此時共有123945項，還有5個10，則a5010練習52

45、一、選擇題1A 2D 3D 4C提示：2由題知：d3二、填空題5(1)40 (2)16 (3)0 (4) 6127 712 8512提示：7方法一 由題知：當n12時，an0；當n13時，an0，因此前12項和最大方法二 ，則當n12時，Sn最大，最大值為1448由等比數列的性質得a5a6a3a8512，則有或，公比為整數，公比，所以q2，a10a8·q2128×(2)2512三、解答題9解：由題知：前100個自然數(0，1，2，98，99)中，除以7余2的所有數構成首項為2，公差為7的等差數列an，所以an7n5，前100個自然數中最后一個除以7余2是a1493，則：前1

46、00個自然數中，除以7余2的所有數的和10解：設這三個數為2d，2，2d(d0)，由題意：當2d為等比中項時，有(2d)22(2d)d6，這三個數：4，2，8；當2為等比中項時，有22(2d)(2d)d0(舍)，無解；當2d為等比中項時，有(2d)22(2d)d6，這三個數：8，2，4；綜上所述：這三個數為4，2，8或8，2，411解：數列an為等比數列，an2qn1，數列an1也是等比數列，(a21)2(a11)(a31)即(2q1)23·(2q21)，4q24q16q23，q1，an2，所以Sn2n練習53一、選擇題1A 2B 3C 4B提示：2，即：n(n1)110，所以nmin113，二、填空題56 6100 72100101 825提示：