1、機器人柔性臂動力學建模的D              摘要從改進柔性臂的?；瓌t出發，提出了多連桿復雜的柔性臂系統動力學建模的更為一般化的簡單有效的D-Holzer法。用該法推導了兩連桿柔性臂系統的動力學模型，并進行了動力學仿真。敘詞：柔性臂動力學建模非線性仿真中圖分類號：TP242A NEW DYNAMIC MODELINGMETHOD OF D-HOLZER OF THEFLEXIBLE MANIPULATORDing XilunZhang Qixian(Beijing

2、University of Aeronauticsand Astronautics)AbstractBased on the Holzer method, a new efficiency dynamic modeling method of D-Holzer for multilink flexible manipulators is proposed by improving the assumed principle of modeling. The dynamic model of a two flexible link manipulator system is obtained w

3、ith this method, and then the dynamic simulation is done with the nonlinear modelKey words：Flexible manipulatorDynamic modelingNonlinearSimulation0前言機器人柔性臂是一個非常復雜的動力學系統，存在著嚴重的非線性。進行機器人柔性臂動力學問題的研究，其模型的建立是極其重要的。在柔性臂的建模上，其關鍵一點是對分布柔性的有限維近似。這些近似方法中，有當作分布參數系統1，3來處理的Rayleigh法、Ritz方法、Galerkin方法、假定模態法，還有當作集中

4、參數系統2，4來處理的Holzer法、Myklestad法、有限元素法等，其在建模的方法上各具特點。集中參數系統把彈性體分為幾個元素，求各個元素的振動方程式，然后用矩陣集合起來，構成整體的振動方程。其對密度和質量不均勻的物體來說，是很有效的。而分布參數系統是把相對密度、質量比較均勻的系統作為研究對象來處理。如何對系統進行合理假設與近似處理使建模簡單有效是目前機器人柔性臂動力學建模所機器人柔性臂動力學建模的D-Holzer法 歡迎您訪問范.文,之.家需要解決的主要問題。針對柔性臂建模研究的現狀，對柔性臂建模的Holzer法進行了完善，提出了改進的D-Holzer法。1系統的?；捎谟绊懭嵝员蹌恿?/p>

5、學系統的因素較多，充分考慮各種影響，建立能夠準確反映系統實際情況的精確的動力學模型一般是不可能的，同時，在許多情況下，由于所建立的模型比較復雜，不便于進行動力學分析與控制的研究，所以在建模時要做許多的假設與合理的近似處理。正因為這些假設與近似處理手段的不同，才產生了各種獨具特點的建模方法。1.1方法描述本文中，把集中彈性質量模型應用于柔性臂的建模。柔性臂是由驅動器驅動的關節和與此相結合的連桿構成的，在此，各個關節均為旋轉關節，各個連桿的長度近似不變。原Holzer法2的處理方法是，首先，把臂桿分割成適當的區間，把分割后的各區間的質量二等分，做為各區間兩頭的集中質量來對待，即在臂的切斷點存在集中

6、質量，并考慮集中質量間是無質量的彈性體。在Holzer法中，把這個集中質量稱作站點(Station)，無質量的彈性部分稱為彈性域(Field)。柔性機械臂是按照把散布的各個關節和集中質量與無質量的彈性體相結合的構造體而模型化的。連桿分割成幾部分是根據所研究的機械臂的特點、控制的方法以及所需的模型的精確程度等問題參考來決定的。例如，在具有很強的柔性的大連桿柔性臂的情況下，為得到高精度的近似模型，就有必要取足夠的分割數；反之，在柔性臂的關節部分，末端具有較大的質量，而連桿的質量相對很小的情況下，即使考慮一個連桿對應一個彈性域的話，也可以得到十分近似的模型。1.2D-Holzer法根據具體情況，對臂

7、桿均勻細長，末端具有較大的集中質量的柔性臂，我們考慮一個臂桿對應一個彈性域，而且將Holzer法中，對彈性域端部的站點的質量分配的質量均分原則變為按照繞驅動其轉動的關節慣量相當的原則。對臂桿不均勻的柔性臂，我們將其適當地分成有限個區間，每個區間作為一個彈性域，對其兩端的站點的質量分配也是按照繞驅動其轉動的關節慣量相當的原則進行處理。通過下面的簡單比較，可以看出，經過這樣處理以后，不僅使柔性臂建模過程簡單，而且可以得到十分近似的模型，使建模方法更為方便有效。本文將改進后的建模方法，稱為D-Holzer法。1.3方法比較下面我們就通過圖1和表，對動力學建模的Holzer法和改進以后的D-Holze

8、r法做一下比較，這樣兩種方法的原理和各自的優缺點就一目了然。圖1（?。〩olzer法與D-Holzer法的系統簡化的描述表2種方法的比較把該柔性臂看作是具有兩個關節、二個彈性域和二個站點的集中參數系統。關節1和關節2的轉動慣量分別為Ia1和Ia2，轉角分別為1、2。站點1和站點2的質量、慣性張量分別為m1、m2和Iz1、Iz2，相應的變形和扭轉角分別用u1、1和u2、2來表示。彈性域1和彈性域2的長度分別為l10、l2，其彈性變形的剛度系數分別為E1I1和E2I2。站點1和關節2之間的距離用l11表示。系統做小變形假設。2.1坐標變換關系彈性域k(k=1，2)與站點k的關系描述見圖3所示。從關

9、節1到基坐標的坐標變換關系為：從站點1到關節1的坐標變換為彈性域1沒有變形的情況下11彈性域1有變形的情況下111關節2到站點1的坐標變換為站點2到關節2的坐標變換為彈性域2沒有變形的情況下22彈性域2有變形的情況下222所以，站點1到基坐標的坐標變換為站點2到基坐標的坐標變換為(8)式中=1+1+2Q1=l10cos 1-u1sin(1+1)+l11cos +l2cos Q2=l10sin 1+u1cos(1+1)+l11sin +l2sin 2.2動力學模型的建立站點1的位置矢量站點2的位置矢量其速度分別為所以，系統的動能為系統的勢能為虛功為耗散能為式中>0小的阻尼系數以上各式(13

10、)(16)代入Lagrange第二方程，經過復雜的推導和整理得到系統的動力學方程為式中m6×6正定、對稱、時變的質量矩陣6×1包含哥氏力、離心力和彈< 歡迎您訪問機器人柔性臂動力學建模的D-Holzer法(3) /p>                              性力等的變

11、量耦合矩陣F6×1外加力矩列矩p=,u系統的廣義坐標動力學方程式(17)中m及中的元素的具體表達式參見文獻5。3動力學仿真柔性臂的非線性動力學模型式(17)進一步可以寫成對圖2所示的一平面兩柔性桿空間機器人操作臂進行動力學仿真。已知柔性臂系統的臂桿長度分別為l1=l2=2.0 m，l10=1.9 m，l11=0.1 m，集中質量分別為m1=2.0 kg，m2=200.0 kg，臂桿的彎曲剛度均為EI1=EI2=EI=200.0 N*m2，關節的轉動慣量分別為Ia1=1.0 kg*m2，Ia2=0.5 kg*m2，站點1、站點2繞各自坐標系中心的轉動慣量分別為Iz1=0.02 kg*m

12、2，Iz2=0.05 kg*m2，彈性阻尼系數=0.005。在給出兩個關節的驅動力矩分別為M1=0.6 N*m(0t2 s)4結論從以往柔性臂建模方法的研究，可以發現，假定模態法是分布參數系統的建模方法，對密度、質量、彈性等分布比較均勻的系統的建模非常有效，但其邊界條件的處理較為復雜。而有限元素法和Holzer法對密度、質量和彈性等不均勻的集中參數系統建模非常方便有效，而且有限元素法對邊界條件處理簡單。另外，有限元素法與Holzer法比較，其建模過程十分有利于計算機來完成，所給出的模型信息，便于對柔性臂進行計算機圖形動態仿真。但假定模態法和有限元素法對于復雜的多自由度柔性臂系統，不僅建模有困難

13、，而且，得到以模型為基礎的控制規則也不是現實的事情。而Holzer法對典型的集中參數系統的建模比有限元法更為簡單方便，但也存在著?；`差較大、處理方法不夠完善的問題。經過改進以后的D-Holzer法，不僅適合于密度、質量和彈性等不均勻的集中參數系統建模，而且，其對密度、質量、彈性等分布比較均勻的系統的建模也非常有效，并且使柔性臂 （機器人柔性臂動力學建模的D-Holzer法(4) 建模更加準確、方便。注釋：國家航天863青年基金資助項目。作者簡介丁希侖，男，工學博士，1967年9月出生，北京航空航天大學機器人研究所副教授。主要研究方向：機器人柔性臂動力學與控制、復雜動力學系統的模糊與智能控制。

14、作者單位：北京航空航天大學機器人研究所北京100083參考文獻1Cetinkunt S, Ittoop B.Computer automated symbolic modeling of dynamics of robotic manipulators with flexible links. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992,8(1)941052Konno A, Uchiyama M. Modeling of a flexible man- ipulator dynamics based on the Holzer's method. J.of Japan Robot Institute, 1994,12(7)102110283Meirovitch L, Stemple T.Hybrid equations of motion for flexible multibody systems using quasi coordinates. J.of Guidance, Control, and Dynamics, 1995,18(4)6786884Yoshika