1、第三章 多維隨機變量及其分布§1二維隨機變量 定義1 設是隨機試驗，則由定義在的樣板空間上的隨機變量與構成的有序對稱為二維隨機變量（或二維隨機向量）。定義2 對任意實數，二元函數稱為二維隨機變量的分布函數，或稱為隨機變量和的聯合分布函數。若把二維隨機變量看成平面上隨機點的坐標，則分布函數就表示隨機點落在以點為頂點的左下方的無限矩形域內的概率。分布函數具有以下基本性質：（1），且 對任意固定的， 對任意固定的， ，。（2）分別是和的不減函數。（3），即關于或均右連續。（4）若，則如果二維隨機變量可能取的值是有限對或可列無限對，則稱是二維離散型隨機變量。的分布律或和的聯合分布律為，。其中

2、滿足 （1） （2）。和的聯合分布律也可用表格表示：和的聯合分布函數為。【例一箱子裝有5件產品，其中2件正品，3件次品每次從中取1件產品檢驗質量，不放回地抽取，連續抽取兩次定義隨機變量和如下：試求的分布律和分布函數。 解對二維隨機變量的分布函數，如果存在非負函數，使對任意的有則稱是二維連續型隨機變量，稱為的概率密度，或稱為和的聯合概率密度。具有性質（1）。（2）。（3）設是平面上的區域，則落在內的概率為。（4）若在點連續，則有。【例設G是平面上的一個有界區域，其面積為A。二維隨機變量只在G中取值，并且取G中的每一個點都是“等可能的”，則的概率密度為稱其服從G上的均勻分布。【例設二維隨機變量具有

3、概率密度（1）求分布函數；（2）求概率§2邊緣分布 二維隨機變量作為一個整體，具有分布函數。而隨機變量和各自的分布函數，分別記為，依次稱為二維隨機變量關于和關于的邊緣分布函數。邊緣分布函數可由分布函數確定。同理 其中 。對于離散型隨機變量，由知的分布律為，同理的分布律為 ，分別稱和為二維離散型隨機變量關于和關于的邊緣分布律。對于連續型隨機變量，由知的概率密度為同理的概率密度為分別稱和為二維連續型隨機變量關于和關于的邊緣概率密度。【例1】設二維離散型隨機變量的分布律為且，求（1）的值；（2）關于和關于的邊緣分布律。解 （1）由，即，得。再由，得，最后得。（2）聯合分布律為關于和關于的邊

4、緣分布律為 和 【例2把兩封信隨機投入已編好號的3個郵筒內，設、分別表示投入第1，2個郵筒內信的數目，求的分布律及邊緣分布律。【例3把2個紅球和2個白球隨機投入已編好號的3個盒子內，設表示落入第1個盒子內紅球的數目，表示落入第2個盒子內白球的數目，求的分布律及邊緣分布律。【例設二維隨機變量在區域上服從均勻分布，求邊緣概率密度和。§4相互獨立的隨機變量 定義 設及分別是二維隨機變量的分布函數及邊緣分布函數。若對所有有即 則稱隨機變量與是相互獨立的。 一般由邊緣分布不能確定聯合分布，但當隨機變量具有獨立性時，聯合分布就可由邊緣分布確定。當是二維離散型隨機變量時，與相互獨立的充分必要條件是

5、即 ，。當是二維連續型隨機變量時，與相互獨立的充分必要條件是。在平面上幾乎處處成立。【例設二維離散型隨機變量的分布律如下表所示：（1）問取什么值時，與相互獨立；（2）對上述求得的，求的分布函數。解 （1）的分布律和邊緣分布律由與相互獨立，得 ， ， （2）關于和關于的邊緣分布律 和 關于和關于的邊緣分布函數， 的分布函數【例一負責人到達辦公室的時間均勻分布在812時，他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在79時設他們兩人到達的時間是相互獨立的，求他們到達辦公室的時間相差不超過5分鐘（1/12小時）的概率 定理1 設和是相互獨立的隨機變量，和是上的連續函數，則和也是相互獨立的隨機變量。 定理2 設和

6、相互獨立，則和相互獨立。又若和是連續函數，則和也相互獨立。§5兩個隨機變量的函數的分布 一. 兩個離散型隨機變量的函數的分布律設二維離散型隨機變量的分布律為 。則的函數的分布律可按以下步驟計算： （1）計算 ，將其中互不相同的按由小到大次序排列，設為；（2）按以下公式計算取各個的概率【例設二維隨機變量的分布律為試求的分布律。 二. 兩個連續型隨機變量的函數的分布僅討論以下幾個具體的函數。（1）的分布設的概率密度為，則的分布函數為 。的概率密度為 或 。又若與相互獨立，則 或 。【例一般，設與相互獨立，且，則仍然服從正態分布，且有【例3】吳書p.82.例3。設隨機變量相互獨立，其概率密度分別為， 求的概率密度。（2）和的分布和的概率密度分別為，又若與相互獨立，則，【例某公司提供一種保險，保險費的概率密度為保險賠付的概率密度為設與相互獨立，求的概率密度。【例設二維隨機變量在矩形域上服從均勻分布，試求邊長為和的矩形面積的概率密度。解 的概率密度為 ， 當或時，；當時 （3）及的分布設隨機變量相互獨立，其分布函數分別為和。的分布函數為 。的分布函數為