1、 一元二次方程的概念與方程的解 【知識點】：1、一元二次方程的概念：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程2、一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式（其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）【例題精講】:例1、下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的是 。 k2x + 5k + 6 = 0 ；x2 x = 0 ；3x

2、2 + 2 = 0；3x2 + 2 2 = 0；（3x）2 = 1；（2x1）2 = （x1）（4x + 3）。例2、若關于的方程是一元二次方程，求m的值。 例3、關于x的方程x（3x3）2x（x1）2 = 0，指出該方程的二次項系數、一次項系數和常數項。 例4、關于x的一元二次方程（a1）x2 x + a21 = 0的一根是0，則a的值為（ ） A、1 B、1 C、1或1 D、。 【夯實基礎練】：一）、填空題：1、方程（x4）2 = 3x + 12的二次項系數是 ，一次項系數是 ，常數項是 。2、（11濱州）若x=2是關于x的方程的一個根，則a 的值為_.3、已知關于x的方程是一元二次方程，

3、則m2 = 。4、（2012惠山區）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一個根為0，則a= 5、已知關于x的方程ax2 + bx + c = 0（a0）的兩根為1和1，則a + b + c= ，ab + c = 。 6、關于x的方程（k21）x2 + 2（k1）x + 2k + 2 =0，當k 時，為一元二次方程；當k = 時，為一元一次方程。二）、選擇題：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、2、方程化為一般形式后，a、b、c的值分別為（ ） A、a = 5，b = 3，c = 5 B、a = 5，b = 3，c = 5C、a = 7，b = ，c =

4、5 D、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答題： 1、已知關于x的方程（m21）x2 + （m + 1）x + 1 = 0（1）當m為何值時，此方程為一元二次方程？（2）當m 為何值時，此方程為一元一次方程？2、關于x的方程（m + 2）2x2 + 3m2x + m24 = 0有一根為0，求2m24m + 3的值。3、已知x = 2是方程x2mx + 2 =0的一個根，試化簡。【能力提高練】：1、試證明關于x的方程（m28m + 17）x2 +2m +1 =0，不論m為何值，該方程都是一元二次方程。 2、已知x2 +3x +1的值為5，則代數式2x2 +6x2的值為多少？3、設是一個直

5、角三角形兩條直角邊的長，且，求這個直角三角形的斜邊長。4、若的值是多少？一元二次方程的解法【知識點】：1、理解解一元二次方程的“降次”思想，將一元二次方程“化成”兩個一元一次方程2、直接開平方法：如果方程能化成或的形式，那么直接開平方可得或3、配方法：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。4、公式法：公式（）稱為一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；5、利用因式分解使方程化為兩個一次式乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次這種解法叫作因式分解法6、一元二次方程根的判別式：

6、b2-4ac叫根的判別式；（1）當b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個不相等實數根即x1=，x2=（2）當b-4ac=0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個相等實數根即x1=x2=（3）當b2-4ac<0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）沒有實數根【例題精講】:1、用直接開平方法解下列方程：（1）；（2）2、用配方法解下列方程： （1）； （2）3、用公式法解下列方程：（1）5x2+2x-6=0 （2）4x2-7x+2=0 （3）2x2-x-=04、用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）5、已知y =2x2

7、+7x1，當x為何值時，y的值與4x + 1的值相等？x為何值時，y的值與x219的值互為相反數？6、解方程。 7、若，則x+y的值是多少？【夯實基礎練】：一）、填空題1、(2011鎮江)已知關于x的方程的一個根為2,則m=_,另一根是_.2、如果x2 + mx + 16是一個完全平方式，則m的值為 。3、當x = 時，代數式x2 + 4x + 6有最 值是 ；【提示：配方法】4、方程3x2 +2 =x 中，a = ，b = ，c = ，b24ac = ；5、已知一元二次方程ax2 + 4x + 2 =0 且b24ac = 0，則a = ，x = 。6、（2011上海）如果關于x的方程（m為常

8、數）有兩個相等實數根，那么m_8、已知a0，ab，x = 1是方程ax2 + bx 10 =0的一個解，則的值是 。二）、選擇題：1、解方程（x +5）23（x +5） =0，較簡便的解法是（ ） A、直接開平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法2、方程x2 +2x3 = 0的解是（ ） A、x1 =1，x2 =3 ； B、x1 =1 ，x2 =3； C、x1 =1，x2 =3 ； D、x1 =1 ，x2 =3 。3、（2011蘭州）用配方法解方程時，原方程應變形為（ ）ABCD4、，則的值是（ ） A、6 B、2 C、2 D、65、（2011安徽）一元二次方程x（x2）=2x的根是（

9、 ）A1B2 C1和2 D1和26、下列是某同學在一次數學測驗中解答的題目，其中答對的是（ ） A、若x2 =4 ，則x =2 ； B、若3x2 =6x，則x =2 ；C、若x2 + xk =0的一個根是1，則k =2 ； D、若分式的值為零，則x =2 。7、已知方程x26x + q = 0可以配方成（xp）2 =7的形式，那么x26x +q =2可以配方成下列的（ ） A、（xp）2 =5 ； B、（xp）2 = 9 ；C、（xp +2）2 =9 ； D、（xp + 2）2 =5。8、關于x的方程k2x2 +2（k1）x +1 =0有兩個實數根，則k的取值范圍是（ ） A、k B、k C、

10、k且k0 D、k且k0三、解答題：1、用直接開平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）；2、 用配方法解下列方程：（1）；（2） （3）3、用公式法解方程(1)x2+4x+2=0 ;           (2)3x2-6x+1=0;   (3)4x2-16x+17=0 ;          4、用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2

11、x1)(x1)1【能力提高】1、已知一元二次方程x24x +k =O有兩個不相等的實數根。（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x24x +k =0與x2 +mx1 =0有一個相同的根，求此時m的值。2、已知 、為三角形的三邊, 求證 方程沒有實數根 。3、已知9a2-4b2=0，求代數式的值一元二次方程的根的判別式以及根與系數的關系【知識點】1、一元二次方程的根的情況可由來判定，我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”來表示。當>0時，有兩個不相等實數根；當0時，有兩個相等的實數根，當<0時，沒有實數根，反過來也成立。2、如果的兩個根是，

12、那么3、如果方程的兩個根是，那么4、以兩個數為根的一元二次方程（二次項系數為1）是【例題選講】例1：不解方程，判別下列方程的根的情況；（1）； （2）； （3）例2：已知關于x的方程，當k取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根；（2）方程有兩個相等的實數根；（3）方程沒有實數根。例3：求證：不論a為任何實數，方程總有實數根。例4：利用根與系數的關系，求一元二次方程兩個根的（1）平方和；（2）倒數和。例5：（2010孝感）關于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范圍； （2）若的值.例6：求一個一元二次方程，使它的兩個根是4和5。【拓展延伸】例7、設方程的大根為，方程的小根為，則_例8、若，

13、且有及，則 ， 【能力訓練】：1（2011德州）若，是方程的兩個根，則=_2（2011宜賓）已知一元二次方程的兩根為a、b，則的值是_3、設m、n是一元二次方程x23x70的兩個根，則m24mn 4、（2013眉山）已知關于x的一元二次方程的兩個實數根分別為、，則(+3)(+3)=_5、已知方程兩根分別是0和3，那么p+q 。6、（2013綿陽）已知整數k5，若ABC的邊長均滿足關于x的方程，則ABC的周長是 。7、（2013瀘州）設是方程的兩個實數根，則的值為（ ） A.5 B.-5 C.1 D.-18、（2011南充） 方程(x+1)(x2)=x+1的解是（ ）（A）2 （B）3 （C）1

14、，2 （D）1，39、（2011福州）一元二次方程根的情況是（ ） A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根 C.只有一個實數根 D.沒有實數根10、（2013瀘州）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是 A. B.且 C. 且 D. 且11、如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是（）A B且 C D且12、解答題（1）、（2010 珠海）已知x1=-1是方程的一個根，求m的值及方程的另一根x2。（2）、設是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值： （3）、（2013樂山）已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .(1

15、)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)若ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5.當ABC是等腰三角形時，求k的值.（4）、（10中山）已知一元二次方程 若方程有兩個實數根，求m的范圍； 若方程的兩個實數根為，且+3=3，求m的值。（5)、（10孝感）已知關于x的方程x22（k1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2.求k的取值范圍；若，求k的值. （6）、已知是一元二次方程的一根，求的值。用一元二次方程解決問題【知識點】1. 列方程解應用題的一般步驟：（1）審題：了解問題的實際意義，分清已知條件和未知量之間的關系。（2）設未知數：一般情況下求什么設什么為未知數。（

16、3）列方程：根據量與量之間的關系，找出相等關系，列出方程。（4）解方程：靈活運用一元二次方程的四種解法。（5）驗根：檢驗一元二次方程的根是否滿足題意。（6）答：作答。2. 一元二次方程應用題常見題類型：（1）數字問題。 （2）與面積有關的幾何問題。（3）平均變化率問題。 （4）經營問題。（5）行程為題。 （6）工程問題。【經典例題】1、平均變化率問題：平均變化率問題的公式b=a（1+x）n a為變化前的基數，x為變化率（增長時x>0，減小時x<0），n為變化次數，b為變化后的量。例1：某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染請你用學過的知識分

17、析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？例2、（2011日照）為落實國務院房地產調控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設力度2010年市政府共投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2012年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同(1)求每年市政府投資的增長率；(2)若這兩年內的建設成本不變，求到2012年底共建設了多少萬平方米廉租房【類題練習】：1.（2013黔西南）某機械廠七月份生產零件50萬個，若第八、九月的增長率相同，且第三季度生產零件196萬個（ ）A、50（1+

18、x2）=196 B、50+50（1+x2）=196 C、50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D、 50+50（1+x）+50（1+2x）=1962、（2011廣安）廣安市某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，房地產開發商為了加快資金周轉，對價格經過兩次下調后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售。（1）求平均每次下調的百分率。（2）某人準備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發商給予以下兩種優惠方案以供選擇：打9.8折銷售；不打折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優惠？3（2011東營） 隨著人們經濟收

19、入的不斷提高及汽車產業的快速發展，汽車已越來越多的進入普通家庭，成為居民消費新的增長點。據某市交通部門統計，2008年底全市汽車擁有量為15萬輛，而截止到2010年底，全市的汽車擁有量已達21.6萬輛。（1）求2008年底至2010年底該市汽車擁有量的年平均增長率；（2）為了保護環境，緩解汽車擁堵狀況，從2011年起，該市交通部門擬控制汽車總量，要求到2012年底全市汽車擁有量不超過23.196萬輛；另據估計，該市從2011年起每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的10%。假定在這種情況下每年新增汽車數量相同，請你計算出該市每年新增汽車數量最多不能超過多少萬輛。2、與面積有關的幾何問題：熟練運

20、用相關的面積公式列方程，注意有時為了利于計算，需要對圖形進行變換或割補等方法。例3、在寬20m，長為32m的矩形耕地上修三條同樣寬的耕作道路，使耕地面積為，道路寬應為多少？例4、一塊長和寬分別為40厘米和250厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體紙盒，使它的底面積為7200平方厘米.那么紙盒的高是多少？例5、如圖某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18m），另三邊用木欄圍成，木欄長35m。雞場的面積能達到150m2嗎？雞場的面積能達到180m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由。（3）若墻長為m,另三邊用竹籬笆圍成，題中的墻長

21、度m對題目的解起著怎樣的作用?【類題練習】:1、在一塊長10米，寬8米的矩形草坪中央，劃出面積為48平方米的矩形草地栽花，使原來矩形四周剩下的草坪的寬度相同，求這個寬度。2、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.3、（2012湘潭）如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設

22、計一種砌法，使矩形花園的面積為300m23、營銷問題：總利潤=銷售總額-總成本-其他費用 總利潤=（銷售單價-進貨單價）×銷售數量-其他費用 （注意：銷售量的表達式。）例6、國美電器城電視機專賣柜臺平均每天售出電視機50臺，每臺贏利400元，經市場調查發現，若每臺電視機降價10元，每天可多賣出5臺，店長計劃在元旦當天降價促銷，且達到30000元利潤，問每臺電視機應降價多少元？例7、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：（1）當銷售單價定為每千克

23、55元時，計算銷售量和月銷售利潤（2）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?【類題練習】：1.某商店將進貨價元的商品按元售出，每天可銷售件，在經營中發現該商品每件的售價提高元，其銷量就減少件，問該商品每件售價定為多少元，才能使每天利潤為元？2. （2011義烏）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元. 為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施. 經調查發現，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出 2件設每件商品降價x元. 據此規律，請回答：（1）商場日銷售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代數式表示）；（2）在上述條件

24、不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？3、山西特產專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？4、（2012南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車

25、的進價均降低0.1萬元/部，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元（1）若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為 萬元；（2）如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月返利12萬元，那么汽需要售出多少部車？（盈利=銷售利潤+返利）4、球賽問題：（1）.若是單循環賽，則x個隊，每個隊需賽（x1）場，共賽x(x1)場（握手問題與此同類）；若每兩隊之間賽2場，則共賽x(x1)場（互贈賀卡問題與此同類）。例8、.要組織一場籃球聯賽, 每兩隊之間都賽2場,計劃安排90場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?【類題練習】：1. 元旦期間,一個小組有若干人,新年互送賀卡一張,已知全組共送賀卡132張,則這個小組共有多少人.2.某種植物的主干長出若干數目的支干,每個支干又長出同樣數目的小分支,主干,支干和小分支的總數是91,每個支