1、精選優質文檔-傾情為你奉上第22講動態幾何之最值問題探討數學因運動而充滿活力，數學因變化而精彩紛呈。動態題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規律問題，稱之為動態幾何問題，隨之產生的動態幾何試題就是研究，在幾何圖形的運動中，伴隨著出現一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉（滾動）等，就問題類型而言，有最值問題、面積問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態問題，變為靜態問題來解，而靜態問題又是動態問題的特殊情況。以動態幾何問題為基架而精

2、心設計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。1618講，我們從運動對象的角度對軸對稱（翻折）、平移、旋轉（滾動）問題進行了探討， 1921講我們從運動對象的角度對點動、線動、面動問題進行了探討，2226講我們從問題類型的角度對最值問題、面積問題、和差問題、定值問題和存在性問題進行探討。在平面幾何的動態問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，或某幾何量取得最值時，求其他幾何量的值，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；（2）應用垂線段最短

3、的性質求最值；（3）應用軸對稱的性質求最值；（4）應用二次函數求最值；（5）應用其它知識求最值。下面通過2013年全國各地中考的實例探討其解法。一、應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值：典型例題：版權歸福州五佳教育錦元數學工作室鄒強，轉載必究例1：如圖，在RtAOB中，OA=OB=，O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為 例1題圖 例2題圖例2：如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AEDF連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 例3：在平面直角坐標系xOy

4、中，已知點A（0，1），B（1，2），點P在x軸上運動，當點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時，點P的坐標是 例4：如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A（6，0），過點E（2，0）作EFAB，交BO于F；（1）求EF的長；（2）過點F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點H、G；根據上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明；過點G作直線GDAB，交x軸于點D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點），使它與GD有公共點P如圖2所示，當直線l繞點F旋轉時，點P也隨之運動，證明：，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍（不必說理）；（3）在（2）中，若點M（2，

5、），探索2PO+PM的最小值 例5：如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標為（3，0）（1）求a的值和拋物線的頂點坐標；（2）分別連接AC、BC在x軸下方的拋物線上求一點M，使AMC與ABC的面積相等；（3）設N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|ANCN|探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由 二、應用垂線段最短的性質求最值：典型例題：版權歸福州五佳教育錦元數學工作室鄒強，轉載必究例1：已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為 .三、應用軸對稱的性質

6、求最值：典型例題：版權歸福州五佳教育錦元數學工作室鄒強，轉載必究例1：如圖，點A（a，1）、B（1，b）都在雙曲線上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ所在直線的解析式是【 】 A B C D例2：如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=【】 A6 B8 C10 D12 例2題圖 例3題圖 例3題圖 例5題圖例3：如圖，在平面直角坐標系中，RtOAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3，），

7、點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一動點，則PAPC的最小值為【】 A B C D2例4：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P在DC邊上且DP=1，點Q是AC上一動點，則DQ+PQ的最小值為 例5：如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是例6：如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m（容器厚度忽略不計）. 例7：已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、

8、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值= 例7題圖 例8題圖例8：如圖，在RtABC中，C=90°，B=60°，點D是BC邊上的點，CD=1，將ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則PEB的周長的最小值是 例9：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動

9、點，且位于直線AC的下方，試求ACE的最大面積及E點的坐標 例10：（1）觀察發現 如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點B關于直線m的對稱點B，連接AB，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB的長度即為AP+BP的最小值 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為 （2）實踐運用 如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數為60°，點B是的中點，

10、在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為 （3）拓展延伸如圖（4）：點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法 例11：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標為（4，），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）（1）求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標；（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；（3）在以AB為直徑的M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的

11、解析式 例12：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為（1，0），對稱軸為直線x=2（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；（2）點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9求此拋物線的解析式，并指出頂點E的坐標；（3）點P是（2）中拋物線對稱軸上一動點，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動設點P運動的時間為t秒當t為 秒時，PAD的周長最小？當t為 秒時，PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結果保留根號）點P在運動過程中，是否存在一點P，使PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說

12、明理由 例13：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：CEQCDO；（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由 例14：問題背景:如圖（a）,點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于l的對稱點B,

13、連接A B與直線l交于點C，則點C即為所求. （1）實踐運用： 如圖(b)，已知，O的直徑CD為4，點A 在O 上，ACD=30°，B 為弧AD 的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為 （2）知識拓展：如圖(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程例15：如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3。取BO的中點D，連接CD、MD和OC。（1）求證：CD是M的切線；（2）二次函數的圖象

14、經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求PDM的周長最小時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，當PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。 四、應用二次函數求最值： 典型例題：版權歸福州五佳教育錦元數學工作室鄒強，轉載必究例1：已知m，n，k為非負實數，且mk+1=2k+n=1，則代數式2k28k+6的最小值為【 】A、 B、0 C、 2 D、2.5例2：如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，0）。 （1）求點B的坐標； （2）已知，C為拋物線與y軸的交點。若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；

15、設點Q是線段AC上的動點，作QDx軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值。 例3：在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），點B（0，4），點E在OB上，且OAE=OBA（1）如圖，求點E的坐標；（2）如圖，將AEO沿x軸向右平移得到AEO，連接AB、BE設AA=m，其中0m2，試用含m的式子表示，并求出使取得最小值時點E的坐標；當AB+BE取得最小值時，求點E的坐標（直接寫出結果即可） 例4：將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中A1CB1=ACB=90°，A1=A=30°（1）將圖中的A1B1C順時針旋轉45°得圖，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的

16、交點，求證：CP1=CQ；（2）在圖中，若AP1=2，則CQ等于多少？（3）如圖，在B1C上取一點E，連接BE、P1E，設BC=1，當BEP1B時，求P1BE面積的最大值 例5：如圖1，已知拋物線C經過原點，對稱軸與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且。（1）求拋物線C的解析式；（2）將拋物線C繞原點O旋轉1800得到拋物線，拋物線與x軸的另一交點為A，B為拋物線上橫坐標為2的點。若P為線段AB上一動點，PDy軸于點D，求APD面積的最大值；過線段OA上的兩點E、F分別作x軸的垂線，交折線OBA于E1、F1，再分別以線段EE1、FF1為邊作如圖2所示的等邊AE1E2、等邊AF1F2

17、，點E以每秒1個長度單位的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個長度單位的速度從點A向點O運動，當AE1E2有一邊與AF1F2的某一邊在同一直線上時，求時間t的值。 例6：如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A（3，0）、B（1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數y=kx4k（k0）的圖象過點P交x軸于點Q（1）求該二次函數的解析式；（2）當點P的坐標為（4，m）時，求證：OPC=AQC；（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動

18、，設運動時間為t秒連接AN，當AMN的面積最大時，求t的值；直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由 例7：如圖，拋物線y=x2+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上的一個動點且在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E（1）求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式；（2）求ODE面積的最大值及相應的點E的坐標；（3）是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由 例8：如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2，兩條拋物線相交于

19、點C（1）請直接寫出拋物線y2的解析式；（2）若點P是x軸上一動點，且滿足CPA=OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；（3）在第四象限內拋物線y2上，是否存在點Q，使得QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由 例9：如圖，拋物線與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，）直線過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D（1）求拋物線與直線的解析式；（2）設點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作 y軸的平行線，交直線AD于點M，作DEy軸于點E探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的

20、坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，作PNAD于點N，設PMN的周長為l，點P的橫坐標為x，求l與x的函數關系式，并求出l的最大值 例10：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，ABCD，點B（10，0），C（7，4）直線l經過A，D兩點，且sinDAB=動點P在線段AB上從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發以每秒5個單位的速度沿BCD的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線ADC相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動設點P，Q運動的時間為t秒（t0），MPQ的面積為S（1）點A的坐標為 ，直線l的解析式為

21、；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當t為何值時，QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值 例11：如圖1，已知拋物線C經過原點，對稱軸與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且。（1）求拋物線C的解析式；（2）將拋物線C繞原點O旋轉1800得到拋物線，拋物線與x軸的另一交點為A，B為拋物線上橫坐標為2的點。若P為線段AB上一動點，PDy軸于點D，求APD面積的最大值；過線段OA上的兩點E、F分別

22、作x軸的垂線，交折線OBA于E1、F1，再分別以線段EE1、FF1為邊作如圖2所示的等邊AE1E2、等邊AF1F2，點E以每秒1個長度單位的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個長度單位的速度從點A向點O運動，當AE1E2有一邊與AF1F2的某一邊在同一直線上時，求時間t的值。 例12：將兩塊全等的三角板如圖擺放，其中A1CB1=ACB=90°，A1=A=30°（1）將圖中的A1B1C順時針旋轉45°得圖，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；（2）在圖中，若AP1=2，則CQ等于多少？（3）如圖，在B1C上取一點E，連接BE、

23、P1E，設BC=1，當BEP1B時，求P1BE面積的最大值例13：如圖，在等邊ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DEBC，將ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L（1）求ABC的面積；（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數解析式；（3）已知圖形L的頂點均在O上，當圖形L的面積最大時，求O的面積 例14：如圖，直線與坐標軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB

24、、OC于點E、F，連接EF若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）（1）求點P運動的速度是多少？（2）當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？（3）當t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值 例15： 如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數的圖象與y軸的交點，點B在二次函數的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形（1）試求b，c的值，并寫出該二次函數表達式；（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：當P運動到何處時，有PQAC？當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面

25、積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？ 五、應用其它知識求最值：典型例題：版權歸福州五佳教育錦元數學工作室鄒強，轉載必究例1：如圖，已知線段OA交O于點B，且OBAB，點P是O上的一個動點，那么OAP的最大值是【 】 A.90° B.60° C.45° D.30°例2：如圖，在圓O上有定點C和動點P，位于直徑AB的異側，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：圓O半徑為，tanABC，則CQ的最大值是【 】 A5B C D例3：如圖，OAB中，OA = OB = 10，AOB = 80°，以點O為圓心，6為半徑的優弧分別交OA，OB于點M，N. （1）點P在右半弧上（BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉80°得OP. 求證：AP = BP； （2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離； （3）設點Q在優弧上，當AOQ的面積最大時，直接寫出BOQ的度數. 例4：小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，ADBC，點E為DC邊的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F求證：S四邊形ABCDSABF（S表示面積）問題遷移：如圖2，在已知