1、垂直于弦的直徑（二）教學目標1使學生掌握垂徑定理及其推論，并會用垂徑定理及其推論解決有關證明、計算和作圖問題；2使學生垂徑定理及其推論再實際中的應用，培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力和計算能力，結合應用問題向學生進行愛國主義教育。教學重點和難點垂徑定理的兩個推論是重點；由定理推出推論1是難點。教學過程設計一、從學生原有的認知結構提出問題1 畫圖敘述垂徑定理，并說出定理的題設和結論。（由學生敘述）2 結合圖形735，教師引導學生寫出垂徑定理的下述形式：題設 結論直線CD經(jīng)過圓心O 直線CD平分弦AB 直線CD平分弧直線CD垂直弦AB 直線CD平分弧指出：垂徑定理是由兩個條件推出三個結論，即

2、由推出。提問：如果把題設和結論中的5條適當互換，情況又會怎樣呢？引出垂徑定理推論的課題。二、運用逆向思維方法探討垂徑定理的推論1引導學生觀察圖形，選為題設，可得：直線CD經(jīng)過圓心O 直線CD垂直弦AB 直線CD平分弧直線CD垂直弦AB 直線CD平分弧由于一個圓的任意兩條直徑總是互相平分的，但是它們不一定是互相垂直的，所以要使上面的題設能夠推出上面的結論，還必須加上“弦AB不是直徑”這一條件。這個命題是否為真命題，需要證明，結合圖形請同學敘述已知、求證，教師在黑板上寫出。已知：如圖736，在O中，直徑CD與弦AB（不是直徑）相交于E，且E是AB的中點。求證：CDAB，。分析：要證明CDAB，即證

3、OEAB，而E是AB的中點，即證OE為AB的中垂線。由等腰三角形的性質可證之。利用垂徑定理可知，。證明：連結OA，OB，則OAOB，AOB為等腰三角形。因為E是AB中點，所以OEAB，即CDAB，又因為CD是直徑，所以，。2（1）引導學生繼續(xù)觀察、思考，若選為題設，可得：直線CD垂直弦AB 直線CD經(jīng)過圓心O 直線CD平分弧直線CD平分弦AB 直線CD平分弧（2）若選為題設，可得：直線CD經(jīng)過圓心O 直線CD垂直弦AB 直線CD平分弦AB直線CD平分弧 直線CD平分弧以上兩個命題用投影打出，引導學生自己證明。最后，教師指出：如果垂徑定理作為原命題，任意交換其中的一個題設和一個結論，即可得到一個

4、原命題的逆命題，按照這樣的方法，可以得到原命題的九個逆命題，然后用投影打出其它六個命題： ， ， ， ， 3根據(jù)上面具體的分析，在感性認識的基礎上，引導學生用文字敘述其中最常用的三個命題，教師板書出垂徑定理的推論1。推論1 （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧。4垂徑定理的推論2。在圖735的基礎上，再加一條與弦AB平行的弦EF，請同學們觀察、猜想，會有什么結論出現(xiàn)？(圖737) 學生答：接著引導學生證明上述猜想成立。（重點分析思考過程，然后學生口

5、述，教師板書）證明：因為EF/AB，所以直徑CD也垂直于弦EF，于是，所以。即。最后，猜想得以證明，請學生用文字敘述垂徑定理的又一推論：推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。三、應用舉例，變式練習例1 平分已知。引導學生畫圖，寫已知、求作。已知：（圖738），求作：的中點。分析：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。因此，連結AB，作弦AB的垂直平分線，它一定平分。作法：（由學生口述，教師板書，師生共同作圖）練習1 四等分已知。引導學生在平分的基礎上，進一步分和，即可以四等分。作圖后，提問：四等分弦AB是否可四等分，為什么？如圖739所示。在學生回答的基礎上，強調：這種作法是錯誤的，雖

6、然在等分時作法是對的，但是在等分和時是錯誤的，因為AT，BT不是和所對的弦。因此AT，BT的垂直平分線不能平分和，請同學們務必注意。練習2 按圖740，填空：在O中（1）若MNAB，MN為直徑；則_，_，_；（2）若ACBC，MN為直徑；AB不是直徑，則_，_，_；（3）若MNAB，ACBC，則_，_，_；（4）若，MN為直徑，則_，_，_。此練習的目的是為了幫助學生掌握垂徑定理及推論1的條件和結論。例2 1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋（圖741）的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為374米，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫弓形高）為72米，求橋拱的半徑（精確到01米）首先可借

7、此題向學生介紹“趙州橋”，對學生進行愛國主義教育，（有條件的可放錄像）同時也可激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。關于趙州橋的說明；趙州橋又名“安濟橋”，位于河北省趙縣城南洨河上，是我國現(xiàn)存的著名古代大石拱橋。隨開皇大業(yè)年間（590608）由李春創(chuàng)建。橋單孔，全長5082米，橋面寬約10米，跨徑約為37米，弧形平緩，拱圈由28條并列的石條組成，上設4個小拱，既減輕重量，節(jié)省材料，又便于排洪，且增美觀，在世界橋梁史上，其設計與工藝之新為石拱橋的卓越典范，跨度之大在當時亦屬首創(chuàng)，反映樂我國古代勞動人民的智慧與才能。分析：（1）首先說明跨度、拱高等概念，然后引導學生設法把實際問題轉化為數(shù)學問題，并畫出幾何圖形（

8、圖742），且一邊畫圖一邊解釋：拱橋石圓弧形，以O為圓心，R為半徑畫出一段圓弧表示橋拱，弦AB表示橋的跨度，即AB374米，的中點C到線段AB的距離為72米。這樣我們就可以根據(jù)實際問題，參照上圖寫出數(shù)學問題的已知和求解。（1） 實際問題已轉化為數(shù)學問題，下面討論如何解決這個問題。啟發(fā)學生觀察圖形、發(fā)現(xiàn)：對于，如果經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，并延長交于點C，那么根據(jù)垂徑定理可知，OD平分弦AB，OC平分弧，即C點為的中點，CD就是拱高，這樣作出的圖形符合題意。根據(jù)勾股定理，在RtAOD中就可求出半徑R。解題過程，參考課本。對于此題，學生往往是過的中點C先作出弓形高CD，即過C作CDA

9、B，垂足為D，如果是這樣的話，可引導學生根據(jù)垂徑定理，首先證明直線CD經(jīng)過圓心O，仍然可利用勾股定理，求出半徑R。說明：此題的解題思路是，經(jīng)過圓心作弦的垂線，說明它平分弦且平分弦所對的弧。也可以經(jīng)過弧的中點作弦垂線，說明它平分弦且經(jīng)過圓心。解決這類問題時，只要抓住弦長、弦心距、弓形高及半徑之間的關系，已知其中的兩個量，可以求出其它兩個未知量，這種思考方法今后要經(jīng)常用到。例3 已知：如圖743，O半徑為6厘米，弦AB與半徑OA的夾角為30。求：弦AB的長。分析：已知圓的半徑和半徑與弦的夾角。要求弦長，只要利用圓的半徑、弦長、圓心到弦的距離之間的關系即可。過圓心O作AB的垂線段OD，解RtAOD，

10、求出AD即可求得AB。解：作ODAB于D，則ADDB，在RtAOD中，因為DAO30所以ODOA3（厘米）AD3（厘米）所以AB6（厘米）練習3 如圖744。在直徑為650毫米的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所示。若油面寬AB600毫米，求油的最大深度。通過此練習題，進一步學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。再一次明確弦長a、弦心距d、半徑r及弓形高h之間的關系。（圖745）四、師生共同小結問：這節(jié)課我們學習了哪些主要內容？在學生回答的基礎上，用投影出示垂徑定理及其推論的基本圖形，如圖746。指出：若垂徑定理或推論中的某一成立，則（1）CAB，OAB，DAB都是等腰三角形，弦AB是它們公共的底邊，直徑CD是它們的頂角平分線和底邊的垂直平分線。（2）ACD和BCD是全等的直角三角形，直徑CD是它們公共的斜邊，AE，BE分別是斜邊上的高，AO，BO分別是斜邊上的中線。在這兩個三角形中可以運用直角三角形的一系列性質。（3），180通過應用題的學習，培養(yǎng)把實際問題抽象成數(shù)學問題的意識，從而