1、軸對稱全章復習與鞏固（提高）【學習目標】1. 認識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質及它們的簡單應用；2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關概念，并掌握它們的性質以及判定方法.【知識網絡】【要點梳理】要點一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這

2、條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系區別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線

3、的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點二、作軸對稱圖形 1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標表示軸對稱點（,）關于軸對稱的點的坐標為（,）；點（,）關于軸對稱的點的坐標為（,）；點（,）關于原點對稱的點的坐標為（,）.要點三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定

4、義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質 等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等 邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個角為 60

5、°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的性質與應用1、如圖，由四個小正方形組成的田字格中，ABC的頂點都是小正方形的頂點在田字格上畫與ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【思路點撥】分別以正方形的對角線和田字格的十字線為對稱軸，來找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格圖標上字母如圖，確定對稱軸找出符合條件的三角形，再計算個數HEC與ABC關于CD對稱；FDB與ABC

6、關于BE對稱；GED與ABC關于HF對稱；關于AG對稱的是它本身所以共3個【總結升華】本題考查了軸對稱的性質；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三角形是解題的關鍵舉一反三：【變式】如圖，ABC的內部有一點P，且D，E，F是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點若ABC的內角A70°，B60°，C50°，則ADBBECCFA（ ）A.180° B.270° C.360° D.480°【答案】C；解：連接AP，BP，CP，D，E，F是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFA

7、APBBPCAPC360°2、已知MON40°，P為MON內一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當PAB的周長取最小值時，求APB的度數. 【思路點撥】求周長最小，利用軸對稱的性質，找到P的對稱點來確定A、B的位置，角度的計算，可以通過三角形內角和定理和等腰三角形的性質計算.【答案與解析】解：分別作P關于OM、ON的對稱點，連接交OM于A，ON于B.則PAB為符合條件的三角形.MON40° 140°. PAB,PBA. (PABPBA)APB140°PABPBA2APB280° PAB, PBA180° APB100&#

8、176;【總結升華】將實際問題抽象或轉化為幾何模型，將周長的三條線段的和轉化為一條線段，這樣取得周長的最小值.舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，BAE120°，BE90°，ABBC，AEDE，在BC，DE上分別找一點M，N，使得AMN的周長最小時，則AMNANM的度數為（ ）A100° B110° C 120° D 130°【答案】C；提示：找A點關于BC的對稱點，關于ED的對稱點，連接，交BC于M點，ED于N點，此時AMN周長最小. AMNANM180°MAN，而2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMA

9、N120°,所以AMNANM120°.3、如圖，ABC關于平行于軸的一條直線對稱，已知A點坐標是（1，2），C點坐標是（1，4），則這條平行于軸的直線是（）A.直線1 B.直線3 C.直線1 D.直線3【思路點撥】根據題意，可得A、C的連線與該條直線垂直，且兩點到此直線的距離相等，從而可以解出該直線【答案】C；【解析】解：由題意可知，該條直線垂直平分線段AC又A點坐標是（1，2），C點坐標是（1，4）AC6點A，C到該直線的距離都為3即可得直線為1【總結升華】本題考查了坐標與圖形的變化一一對稱的性質與運用，解決此類題應認真觀察圖形，由A與C的縱坐標求得對稱軸舉一反三：【變式

10、1】如圖，若直線經過第二、四象限，且平分坐標軸的夾角，RtAOB與Rt關于直線對稱，已知A（1，2），則點的坐標為（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D； 提示：因為RtAOB與Rt關于直線對稱，所以通過作圖可知，的坐標是（2，1）【高清課堂：389304 軸對稱復習：例10】【變式2】如圖，ABC中，點A的坐標為（0，1），點C的坐標為（4，3），點B的坐標為（3，1），如果要使ABD與ABC全等，求點D的坐標 【答案】解：滿足條件的點D的坐標有3個（4，1）；（1，1）；（1，3）.類型二、等腰三角形的綜合應用4、（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=

11、AC，P為底邊BC上一點，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下： 如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=_.點P到AB邊的距離PE=_.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖，PE=PF+CH證明如

12、下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30°，AC=2CH=ABCH，AB=AC，×2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P為BC延長線上的點時，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7；4或10【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵5、已知，如圖，112°，236°，34

13、8°，424°. 求的度數【答案與解析】ACD123B5E解：將沿AB翻折，得到，連結CE，則，1512°.60°48°又236°，72°，BEBC為等邊三角形. 又垂直平分BCAE平分30°ADB30°【總結升華】直接求很難，那就想想能不能通過翻折或旋轉構造一個與全等的三角形，從而使其換個位置，看看會不會容易求舉一反三：【變式】在ABC中，ABAC，BAC80°，D為形內一點，且DABDBA10°，求ACD的度數.【答案】解：作D關于BC中垂線的對稱點E，連結AE，EC，DE ABD

14、ACE ADAE, DABEAC10° BAC=80°，DAE60°，ADE為等邊三角形AED60° DABDBA10° ADBDDEEC AEC160°， DEC140° DCE20° ACD30°類型三、等邊三角形的綜合應用6、如圖所示，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形(1)如圖(1)所示，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？ (2)如圖(2)所示，當點M在BC上時，其他條件不變，(1)的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖(2)證明；若不成立，請說明理由【答案與解析】解：(1)ENMF，點F在直線NE上 證明：連接DF，DE， ABC是等邊三角形， ABACBC 又 D，E，F是ABC三邊的中點， DE，DF，EF為三角形的中位線 DEDFEF，FDE60°又MDNNDFMDF，NDFFDENDE，DMN為等邊三角形，DMDN，MDN60° MDFNDE 在DMF和DNE中， DMFDNE， MFNE，DMFDNE.DMF60°DNEMFNMFN60°FNAB，又EFAB，E、F