1、向量的數(shù)量積的應(yīng)用向量的數(shù)量積的應(yīng)用1 1、應(yīng)用、應(yīng)用 可證明兩直線垂直，可證明兩直線垂直，2 2、利用、利用 可求線段的長度。可求線段的長度。0baba22aa1.1.已知線段已知線段 、在平面、在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段，如果，求、之間的距離，如果，求、之間的距離. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2 2、 如圖，已知線段在平面如圖，已知線段在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段，線段，線段 ，線段，線段， ，如，如果，求、之間的距離。果，求、之間的距離。AC BDAB DD 30DBD

2、 ,ABaACBDbCDAB 解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD3.3.已知空間四邊形已知空間四邊形，求證：。，求證：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB證明：證明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC三、例題講解：三、例題講解： 3、利用向量的數(shù)量積可以

3、證明兩直線垂直，、利用向量的數(shù)量積可以證明兩直線垂直，因而也可以證明線面垂直問題。因而也可以證明線面垂直問題。例例1 1、正方體、正方體 中，中，E E、F F分別是分別是 的中點(diǎn)。求證：的中點(diǎn)。求證：1111DCBAABCDCDBB ,1AEDFD平面1DCAB1A1B1C1DEF分析分析：要證明線面要證明線面垂直，只需證明直垂直，只需證明直線和已知平面內(nèi)的線和已知平面內(nèi)的兩條相交直線垂直兩條相交直線垂直即可。本題可考慮即可。本題可考慮證明證明AEFDADFD11,例例2、空間四邊形、空間四邊形ABCD中，中，AB=2，BD=4，BC=3，CD=2， 求求AB與與CD所成角的所成角的余弦值。

4、余弦值。,60,30ABCABDABCD分析：分析：（1）已知已知AB分別與分別與BD所成所成的角，故可考慮把的角，故可考慮把AB與與CD所成的角所成的角的問題轉(zhuǎn)化為的問題轉(zhuǎn)化為AB分別與分別與BC和和BD所所成角的問題。成角的問題。（2）BCBDCDBCBDABCDABbababa,cos4、利用、利用 求兩條異面直線所成的角。求兩條異面直線所成的角。A AB BC CD DDDE E 例、如圖所示，已知線段例、如圖所示，已知線段ABAB在平面在平面內(nèi)，線內(nèi)，線段段ACAC，線段，線段BDABBDAB，線段，線段D DDD 交交 于于DD, , DBD=30DBD=30 . .如果如果ABA

5、Ba a，ACACBDBDb b，（1 1）求）求C C、D D間的距離間的距離; ; （2 2）求異面直線求異面直線DC,BDC,BDD所成的角所成的角運(yùn)用二：求線段長度常把運(yùn)用二：求線段長度常把線段表示成向量形式，然線段表示成向量形式，然后通過向量運(yùn)算求解后通過向量運(yùn)算求解. .運(yùn)用三：常運(yùn)用向量數(shù)量運(yùn)用三：常運(yùn)用向量數(shù)量積的變形公式求異面直線積的變形公式求異面直線所成的角所成的角. .例、如圖，在正方體例、如圖，在正方體ABCD-ABCD中，求異中，求異面直線面直線AB與與AC所成的角。所成的角。ABCDABCD即即AB和和BC的夾角為的夾角為060已知正方體已知正方體ABCDABCD的

6、棱長為的棱長為a，求：，求：(1)AB和和BC的夾角；的夾角；(2)ABACCDBCBADA B CABB B 1 解:A BA AB C2aB CB C cos,B C 又A BA BA B22a cos,B C A B1cos,B C2 A B用異面直線所成的角易解用異面直線所成的角易解已知正方體已知正方體ABCDABCD的棱長為的棱長為a，求：，求：(1)AB和和BC的夾角；的夾角；(2)ABACCDBCBADAADADAB證明:平面A BAB ACAB ADAAAB AB ADAB AAAB AB 000AB AD cos90AB AA cos135AB AB cos45 0ABACABAC 用三垂線定理易證用三垂線定理易證2 2、前面我們學(xué)過了利用兩個(gè)向量、前面我們學(xué)過了利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的哪的數(shù)量積解決立體幾何中的哪些類型的問題？些類型的問題？ 小小 結(jié)：結(jié)： 到目前為止，我們可以利用向量數(shù)量積解決到目前為止，我們可以利用向量數(shù)量積解決立體幾何中的以下幾類問題：立體幾何中的以下幾類問題： 1 1、證明兩直線垂直。、證明兩直線垂直。2 2、求兩點(diǎn)之間的距離、求兩點(diǎn)之間的距離 或線段長度。或線段長度。 （3 3、證明線面垂直。）、證明線面垂直。）4 4、求兩直線所成角的、求兩直線所成角的余弦值等等。余弦值等等