1、第一講 分解方法的延拓換元法與主元法 因式分解是針對多項式的一種恒等變形，提公因式法、公式法，分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據多項式的項數來選擇分解的方法 一些復雜的因式分解問題常用到換元法和主元法 所謂換元，即對結構比較復雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，則能使復雜的問題簡單化、明朗化，在減少多項式項數，降低多項式結構復雜程度等方面有獨到作用所謂主元，即在解多變元問題時，選擇其中某個變元為主要元素，視其他變元為常量，將原式重新整理成關于這個字母的按降冪排列的多項式，則能排除字母間的干擾，簡化問題的結構例題求解【例1】 分解因式：= ( “五羊杯”競賽題

2、) 思路點撥 視為一個整體用一個新字母代替，從而能簡化式子的結構【例2】 多項式因式分解后的結果是( ) A(yz)(x+y)(xz) B(yz)(xy)(xz) C (y+z)(x一y)(x+z) D(y十z)(x+y)(x一z) (上海市競賽題) 思路點撥 原式是一個復雜的三元三次多項式，直接分解有一定困難，把原式整理成關于某個字母按降冪排列的多項式，改變其結構，尋找分解的突破口 【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市競賽題) (2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重慶市競賽題) (3)(x+y2xy)(x+y2)(

3、xy1)2； (“希望杯”邀請賽試題) (4)(2x3y)3十(3x2y)3125(xy)3 (第13屆“五羊杯”競賽題) 思路點拔 (1)是形如abcd+e型的多項式，分解這類多項式時，可適當把4個因式兩兩分組，使得分組相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系數較大，不妨把數用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出現，可引入兩個新字母，突出式子特點；(4)式前兩項與后一項有密切聯系 【例4】把下列各式分解因式： (1)a2(b一c)+b2(ca)+c2 (a一b)； (2)x2+xy2y2x+7y6 思路點撥 (1)式字母多次數高，可嘗試用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+e

4、y+f的二元二次多項式，解題思路寬，用主元法或分組分解法或用待定系數法分解 【例5】證明：對任何整數 x和y，下式的值都不會等于33 x5+3x4y5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5(莫斯科奧林匹克八年級試題) 思路點撥 33不可能分解為四個以上不同因數的積，于是將問題轉化為只需證明原式可分解為四個以上因式的乘積即可注：分組分解法是因式分解的量本方法，體現了化整體為局部、又統攬全局的思想如何恰當分組是解題的關鍵，常見的分組方法有： （1）按字母分組： (2)按次數分組； (3)按系數分組 為了能迅速解決一些與代教式恒等變形相關的問題，讀者因熟悉如下多巧式分解因式后的結果：（1）；(2

5、)學力訓練1分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)8 2分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12= 3分解因式：x2xy2y2xy= (重慶市中考題)4已知二次三項式在整數范圍內可以分解為兩個一次因式的積，則整數m的可能取值為 5將多項式分解因式，結果正確的是（ ） A BC D (北京中考題)6下列5個多項式：； ； 其中在有理數范圍內可以進行因式分解的有（ ） A、 B、 、 C 、 D、7下列各式分解因式后，可表示為一次因式乘積的是( ) A B CD (“希望杯”邀請賽試題)8若，則的值為( ) A B C D0 (大連市“育英杯”競賽題)9分解因式 （1）(x2+4x+8

6、)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x23x+1)2一22x2+33x1； (3)x4+2001x2+2000x+2001； (4)(6x1)(2 x1)(3 x1)( x1)+x2； (5)； (6) (“希望杯”邀請賽試題)10分解因式：= 11分解因式：= 12分解因式：= （ “五羊杯”競賽題）13在1100之間若存在整數n，使能分解為兩個整系數一次式的乘積，過樣的n有 個 (北京市競賽題)14的因式是( ) A B C D E15已知，M=，N=，則M與N的大小關系是( ) AM<N BM> N CMN D不能確定(第 “希望杯”邀請賽試題)16把下列各式分解因式： (1)； (2)； (湖北省黃岡市競賽題) (3)； (天津市競賽題) (4)；（“五羊杯”競