1、【同步教育信息】一. 本周教學內容： 圓的方程；空間兩點的距離公式  教學目的： 1. 理解并掌握圓的標準方程，會根據不同條件求得圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練求出它的圓心和半徑；能夠運用圓的標準方程解決一些簡單的實際問題；探索并掌握圓的一般方程，會用待定系數法求圓的標準方程和一般方程。 2. 能夠根據給定直線、圓的方程，會用代數方法討論直線與圓的三種位置關系；能夠根據給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關系。 3. 掌握空間直角坐標系的有關概念，會根據坐標找相應的點，會寫一些簡單幾何題的有關坐標；掌握空間兩點的距離公式，會應用距離公式解決有關問題。 二. 重點、難點 重

2、點： 1. 圓的標準方程以及會根據不同條件求得圓的標準方程；圓的一般方程和如何由圓的一般方程求圓的圓心坐標和半徑長，理解關于二元二次方程表示圓的條件。 2. 直線和圓的位置關系的判斷和應用；兩圓位置關系的判斷。 3. 空間直角坐標系和點在空間直角坐標系中的坐標；空間兩點距離公式。  難點： 1. 圓的標準方程的探尋過程和對圓的一般方程的認識。 2. 通過圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷直線與圓的位置關系；通過兩圓方程聯立方程組的解來研究兩圓位置關系。 3. 確定點在空間直角坐標系中的坐標；空間距離公式的推導。  知識分析：（一）圓的標準方程 1. 圓的定義：平面內到一定

3、點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓。定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑。 2. 圓的標準方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為。 說明： （1）上式稱為圓的標準方程。 （2）如果圓心在坐標原點，這時a0，b0，圓的方程就是。 （3）圓的標準方程顯示了圓心為（a，b），半徑為r這一幾何性質，即圓心為（a，b），半徑為r。 （4）確定圓的條件 由圓的標準方程知有三個參數a、b、r，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件。 （5）點與圓的位置關系的判定 若點M（x1，y1）在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，

4、即 ； 若點M（x1，y1）在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即 ；  3. 幾種特殊位置的圓的方程 （二）圓的一般方程 任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式： 將配方得： 當時，方程表示以（）為圓心，以為半徑的圓； 當時，方程只有實數解，所以表示一個點（）； 當時，方程沒有實數解，因此它不表示任何圖形。 故當時，方程表示一個圓，方程叫做圓的一般方程。 圓的標準方程的優點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點： （1）和的系數相同，且不等于0； （2）沒有xy這樣的二次項。 以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件。 要求出圓的一般

5、方程，只要求出三個系數D、E、F就可以了。 （三）直線和圓的位置關系 1. 直線與圓的位置關系 研究直線與圓的位置關系有兩種方法： （l）幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r。 d>r直線與圓相離；dr直線與圓相切；0d<r直線與圓相交。 （2）代數法：聯立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一元二次方程，其判別式為。 0直線與圓相離；0直線與圓相切；0直線與圓相交。 說明：幾何法研究直線與圓的關系是常用的方法，一般不用代數法。 2. 圓的切線方程 （1）過圓上一點的切線方程是； （2）過圓上一點的切線方程是 ； （3）過圓上一點的切線方程是 3. 直線與圓的

6、位置關系中的三個基本問題 （1）判定位置關系。方法是比較d與r的大小。 （2）求切線方程。若已知切點M（x0，y0），則切線方程為 ； 若已知切線上一點N（x0，y0），則可設切線方程為，然后利用dr求k，但需注意k不存在的情況。 （3）關于弦長：一般利用勾股定理與垂徑定理，很少利用弦長公式，因其計算較繁，另外，當直線與圓相交時，過兩交點的圓系方程為  （四）圓與圓的位置關系 1. 圓與圓的位置關系問題 判定兩圓的位置關系的方法有二：第一種是代數法，研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數；第二種是研究兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關系。第一種方法因涉及兩個二元二次方程組成的方程組，其解

7、法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下： 圓與圓的位置關系，其中 設兩圓的圓心距為d，則 當時，兩圓外離； 當時，兩圓外切； 當時，兩圓相交； 當時，兩圓內切； 當時，兩圓內含 注意：兩圓的位置關系可表示在一條數軸上，如圖所示： 兩圓位置關系的問題同直線與圓的位置關系的問題一樣，一般要轉化為距離間題來解決。另外，我們在解決有關圓的問題時，應特別注意，圓的平面幾何性質的應用。 2. 兩圓相交問題 （1）過兩已知圓的交點的圓系方程， 即 當時，變為，表示過兩圓的交點的直線（當兩圓是同心圓時，此直線不存在），當兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線；當兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線；當

8、兩圓相離時，此直線為與兩圓連心線垂直的直線。 （2）過直線與圓交點的圓系方程 設直線與相交，則方程表示過直線l與圓C的兩個交點的圓系方程。 （五）空間直角坐標系 1. 空間直角坐標系 為了確定空間點的位置，我們在空間中取一點O作原點，過O點作三條兩兩垂直的數軸，通常用x、y、z表示軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉90°能與y軸的正半軸重合。這時，我們在空間建立了一個直角坐標系Oxyz。在這個過程中，三條坐標軸兩兩垂直是建立空間直角坐標系的基礎。 2. 點P的坐標 過點P作一個平面平行于平面yOz（這樣構造的平面同樣垂直于x軸），這個平面與x

9、軸的交點記為P，它在x軸上的坐標為x，這個數x就叫做點P的x坐標。你能試述點P的y坐標，點P的z坐標嗎？ 3. 坐標平面 每兩條坐標軸分別確定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐標平面。 4. 特殊點的坐標形式 xOy平面是坐標形如（x，y，0）的點構成的點集，其中x、y為任意實數； xOz平面是坐標形如（x，0，z）的點構成的點集，其中x、z為任意實數； yOz平面是坐標形如（0，y，z）的點構成的點集，其中y、z為任意實數； x軸是坐標形如（x，0，0）的點構成的點集，其中x為任意實數； y軸是坐標形如（0，y，0）的點構成的點集，其中y為任意實數； z軸是坐標形如（0，0，z）的點構成的點

10、集，其中z為任意實數。 5. 卦限 三個坐標平面把空間分為八部分，每一部分稱為一個卦限。 在坐標平面xOy上方分別對應該坐標平面上四個象限的卦限稱為第、第、第、第卦限；在下方的卦限稱為第、第，第、第卦限。在每個卦限內點的坐標各分量的符號是不變的。例如在第卦限，三個坐標分量x、y、z都為正數；在第卦限，x為負數，y、z均為正數。 （六）空間兩點的距離公式 空間兩點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距離公式是 特別的，點A（x，y，z）到原點的距離為 【典型例題】 例1. 求滿足下列條件的各圓的方程： （1）圓心在原點，半徑是3； （2）圓心在點C（3，4），半徑

11、是； （3）經過點P（5，1），圓心在點C（8，3）； （4）圓心在直線5x3y8上，又圓與坐標軸相切，求此圓方程； （5）圓心在直線y2x上，且與直線y1x相切于點（2，1）。 解析：（1）； （2）； （3）； （4）設所求圓的方程為 因為圓與坐標軸相切，故圓心滿足， 又圓心在直線上，所以， 解方程組，得： 所以圓心坐標為（4，4），或（1，1） 于是可得半徑， 故所求圓的方程為或。 （5）設圓心為（a,2a）由題意，圓與直線相切于點（2，1），得 解得：a1 所以所求圓的圓心為（1，2），半徑為 故圓的方程為 點評：一般情況下，如果已知圓心或圓心到某直線的距離，可用圓的標準方程來求解。用

12、待定系數法，求出圓心坐標和半徑。  例2. 求圓心在直線2xy30上，且過點（5，2）和點（3，2）的圓的方程。 解析：法一 設圓的方程為，則 解得 法二：因為圓過A（5，2），B（3，2）兩點，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為 設所求圓的圓心坐標為C（a，b），則有 解得 所以C（2，1）， 所求圓的方程為 點評：確定圓的方程需要三個獨立條件，“選標準，定參數”是解題的基本方法，其中，選標準是根據已知條件選恰當的方程的形式，進而確定其中三個參數。  例3. 已知圓C和y軸相切，圓心在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長為，求圓C的方程。

13、解析：設圓C的方程為 又圓C與y軸相切得 又圓心在直線上， 圓心C（a，b）到直線的距離為 由于弦心距d、半徑r及弦的一半構成直角三角形，所以 聯立解方程組可得 或 故圓C的方程為：或 點評：利用圓的幾何性質，是迅速、準確解出本題的關鍵。  例4. 求過點A（2，2），B（5，3），C（3，1）的圓的方程。 解析：設所求的圓的方程為 將A（2，2），B（5，3），C（3，1）三點的坐標代入圓的方程 得 解得 圓的方程為： 點評：一般來說，由題意知道所求的圓經過幾點且不易得知圓心換半徑時，常用一般式。  例5. 已知圓，定點P（4，0），問過P點的直線的斜率在什么范圍內取值時

14、，這條直線與已知圓： （1）相切； （2）相交； （3）相離，并寫出過P點的切線方程。 解析：法一 設過P點的直線的斜率為k，則其方程為 由消去y，得 即 （1）令，即 當時，直線與圓相切，切線方程為或 （2）令，即 當時，直線與圓相交 （3）令，即或時，當或時，直線與圓相離 法二：設圓心到直線的距離為d，則 （1），即， 時，直線與圓相切，其切線方程為或 （2）時，即，即時，直線與圓相交 （3），即， 即或時直線與圓相離 點評：解決直線與圓的位置關系，幾何法比代數法簡單。  例6. 已知直線，曲線，它們有兩個公共點，求b的取值范圍。 解析：法一，曲線C中，因此l和C有兩個公共點，等

15、價于方程組有兩組不同解，又等價于，有兩組不同解，消去x得 C和l有兩個公共點，等價方程有兩個不等非負實數解 于是 解得 法二：方程表示斜率為1的平行直線系；方程表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如圖所示。當l通過A（1，0），B（0，1）時，l與C有兩交點，此時b1，記為；當與半圓相切時，切線記為；當l夾在與之間時，l和C有兩個不同公共點。因此。 點評：（1）曲線C不是一個完整的圓，是半圓；（2）數形結合思想的應用。  例7. 求圓心在直線xy0上，且過兩圓，的交點的圓的方程。 解析：法一 解方程組 得交點坐標分別為（0，2）（4，0） 設所求圓心坐標為（a，a） 則 解得 因此，圓

16、的方程為 法二：同法一，得兩已知圓的交點的坐標為（0，2），（4，0） 設所求的圓的方程為，則有 解得 因此，圓的方程為 法三，設所求圓的方程為 即 因為這個圓的圓心在直線上 所以 解得 圓的方程為 點評：注意掌握這種特殊題型的幾種解題方法。 【模擬試題】1、點（2，0，3）在空間直角坐標系中的位置是在（ ）A. y軸上 B. xOy平面上C. xOz平面上D. 第一卦限內2、點M（2，3，1）關于坐標原點的對稱點是（ ）A. （2，3，1）B. （2，3，1）C. （2，3，1）D. （2，3，1）3、設點B是點A（2，3，5）關于xOy面的對稱點，則|AB|等于（ ）A. 10B

17、. C. D. 384、設有圓M：，直線，點P（2，1），那么（ ）A. 點P在直線l上，但不在圓M上B. 點P不在直線l上，但在圓M上 C. 點P在直線l上，也在圓M上D. 點P既不在直線l上，也不在圓M上 5、設M是圓上的點，則M到直線的最小距離是（ ）A. 9 B. 8 C. 5 D. 26、方程表示圓，則a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7、過點P（3，0）能有多少條直線與圓相切（ ）A. 0條 B. 1條C. 2條D. 1條或2條8、直線被圓截得的弦長等于（ ）A. B. 2 C. D. 9、直線被圓所截得線段的中點坐標是（ ）A. B. （0，0）C. D. 10、若圓和

18、圓關于直線對稱，那么直線的方程是（ ）A. B. C. D. 11、與兩坐標軸都相切，且過點（2，1）的圓的方程是_12、過點（0，0），（1，0），（0，2）的圓的方程是_13、若實數x ，y滿足，則的最小值為_14、已知，則的最大值為_15、一圓過點P（4，3），圓心在直線上且半徑為5，求此圓的方程。16、求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程。17、已知圓滿足：（1）截y軸所得弦長為2； （2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為31；圓心到直線的距離為，求該圓的方程?！驹囶}答案】110：C A A A D D A C A D11、12、 13、 14、 15、設此圓的方程為， 依題意，得： 解得： 所以所求圓的方程為或16、設此圓的方程為，因為所求圓的半徑是4，大于已知圓的半徑，所以兩圓只能外切， 依題意，得：，解得：所以所求圓的方程是 或或或 17、設P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，