1、第1講 相似三角形講義 學習目標 解三角形相似的判定方法學習重點：能夠運用三角形相似判定方法解決數學問題及實際問題學習難點：運用三角形相似判定方法解決數學問題的思路學習過程一、證明三角形相似例1：已知，如圖，D為ABC內一點連結ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEABC 例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點，連結AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結論。下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。

2、(3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA二、相似三角形證明比例式和乘積式例3、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE 例4：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點，DMBC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2） 三、相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例5：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且。求證：AEF=FBD例6、直角三角形ABC中，ACB=90&

3、#176;，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求證：FC=FG 例7、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF 目標訓練一、填空題1、 兩個相似三角形的面積比S1:S2與它們對應高之比h1:h2之間的關系為 （第3題圖）OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAFB圖22、 如圖2，平行四邊形中，是邊上的點，交于點，如果，那么 3、如圖，點在射線上，點在射線上，且，若，的面積分別為1，4，則圖中三個陰影三角形面積之和為 4. ABC中，DEFGBC，且AD：DF：FB=3：2：1，則SADE：S四邊形DFG

4、E：S四邊形FBCG= 二、選擇題1.已知ABCDEF，且AB：DE=1：2，則ABC的面積與DEF的面積之比為（ ） (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1個 B可以有2個 C有2個以上但有限 D有無數個3.美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到好的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（ ）A4cmB6cmC8cmD10cm4、如圖，ABC是等邊三角形，

5、被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是ABC的面積的 （ ） EHFGCBA（第4題圖） ADBCEFM(第5題圖)5、 如圖，直角梯形ABCD中，BCD90°，ADBC，BCCD，E為梯形內一點，且BEC90°，將BEC繞C點旋轉90°使BC與DC重合，得到DCF，連EF交CD于M已知BC5，CF3，則DM:MC的值為 （）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如圖，在RtABC內有邊長分別為的三個正方形，則滿足的關系式是（ ）A、 B、 C、 D、7、如圖,RtABAC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點

6、,作PEAB于E,PDAC于D,設BP=x,則PD+PE=（ ）A. B. C. D. 三、解答題1、如圖5，在ABC中，BC>AC， 點D在BC上，且DCAC,ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連結EF.（1）求證：EFBC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求ABD的面積.2、 （本小題滿分10分）如圖：在等腰ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E,連接BP交AC于點F.(1) 證明：CAE=CBF;(2) 證明：AE=BF;(3) 以線段AE，BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記ABC和

7、ABG的面積分別為SABC和SABG,如果存在點P,能使得SABC=SABG,求C的取之范圍。FCABPEH3、如圖，四邊形ABCD中，ADCD，DABACB90°，過點D作DEAC，垂足為F，DE與AB相交于點E.（1）求證：AB·AFCB·CD（2）已知AB15cm，BC9cm，P是射線DE上的動點.設DPxcm（x0），四邊形BCDP的面積為ycm2.求y關于x的函數關系式；當x為何值時，PBC的周長最小，并求出此時y的值. 4、如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N求證：（1）；（2）5、

8、如圖，在同一平面內,將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，BAC=AGF=90°，它們的斜邊長為2，若ABC固定不動，AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設BE=m，CD=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明.（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍. （3）以ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖12).在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BDCE=DE. （4）在旋轉過程

9、中,(3)中的等量關系BDCE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.GyxOFEDCBA GFEDCBA 6、 為了加強視力保護意識，小明想在長為3.2米，寬為4.3米的書房里掛一張測試距離為5米的視力表在一次課題學習課上，小明向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙、丙三位同學設計方案新穎，構思巧妙（1）甲生的方案：如圖1，將視力表掛在墻和墻的夾角處，被測試人站立在對角線上，問：甲生的設計方案是否可行？請說明理由（2）乙生的方案：如圖2，將視力表掛在墻上，在墻ABEF上掛一面足夠大的平面鏡，根據平面鏡成像原理可計算得到：測試線應畫在距離墻 米處

10、（3）丙生的方案：如圖3，根據測試距離為5m的大視力表制作一個測試距 為3m的小視力表如果大視力表中“”的長是3.5cm，那么小視力表中相應“”的長是多少cm？HH（圖1）（圖2）（圖3）（第6題）3.5ACF3mB5mD7、將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結CD(1)填空：如圖9，AC= ，BD= ；四邊形ABCD是 梯形.(2)請寫出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如圖10，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標系，保持

11、ABD不動，將ABC向軸的正方向平移到FGH的位置，FH與BD相交于點P，設AF=t，FBP面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值值范圍.DCBAE圖9EDCHFGBAPyx圖1010.8、如圖1，一副直角三角板滿足ABBC，ACDE，ABCDEF90°，EDF30°【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q【探究一】在旋轉過程中，(1)如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明.(2)如圖3，當時EP與EQ滿足怎樣的數量關系？，并說明理由.(3)根據你對（1）、（2）的探究結果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數量關系式為_,其中的取值范圍是_(直接寫出結論，不必證明)【探究二】若，AC30cm，連續PQ，設EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉過程中：(1)S是否存在最大值或最小值？