1、差差 分分 方方 程程(2)(2) 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 1.1.差分方程模型差分方程模型 對(duì)于對(duì)于k階差分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1-1)若有若有xn = x (n), 滿足滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱則稱xn = x (n)是差分方程是差分方程(1-1)的的解解, 包含個(gè)任意常包含個(gè)任意常數(shù)的解稱為數(shù)的解稱為(1-1)的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已知時(shí)稱為已知時(shí)稱為為(1-1)的的初始條件初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為件確定后的

2、解稱為(1-1)的的特解特解.k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 則形如則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn). 若有常數(shù)若有常數(shù)a是差分方程是差分方程(1-1)的解的解, 即即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱則稱 a是差分方程是差分方程(1-1)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程又對(duì)差分方程(1-1)的任意由初始條件確定的的任意由初始條件確定的解解 xn= x(n)都有都有xna (n), 則稱這個(gè)平衡點(diǎn)則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. . 一階常系數(shù)線性差分方程一階常

3、系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數(shù)為常數(shù), 且且a -1, 0)的通解為的通解為xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn), 由上式知由上式知, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí)時(shí), b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn). 二階常系數(shù)線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數(shù)為常數(shù). 當(dāng)當(dāng)r = 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解x* = 0； 當(dāng)當(dāng)r 0, 且且a + b + 1 0時(shí)時(shí), 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1

4、). 不管是哪種情形不管是哪種情形, x*是其平衡點(diǎn)是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征方設(shè)其特征方程程 2 + a + b = 0的兩個(gè)根分別為的兩個(gè)根分別為 = 1, = 2. 當(dāng)當(dāng) 1, 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= 是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n; 當(dāng)當(dāng) 1, 2= (cos + i sin ) 是一對(duì)共軛復(fù)根是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)時(shí),二階常系數(shù)線性差分二階常系

5、數(shù)線性差分方程的通解為方程的通解為xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知易知,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 | i |1時(shí)時(shí), 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的. 則則對(duì)于一階非線性差分方程對(duì)于一階非線性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點(diǎn)其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程由代數(shù)方程x = f (x)解出解出. 為分析平衡點(diǎn)為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程似為一階常系數(shù)線性差分方程1|*)(| xf時(shí)時(shí), ,上述近似線性差分方程與上述近似線性差分方程與原原非線性差分方程的非線性差分

6、方程的穩(wěn)定性相同穩(wěn)定性相同. . 因此因此當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , x*是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. .當(dāng)當(dāng)1|*)(| xf時(shí)時(shí), , x*是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；當(dāng)當(dāng)1|*)(| xf1( *)(*)( *),nnxfxxxf x)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk2. 建模實(shí)例：差分形式的阻滯增長模型建模實(shí)例：差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)

7、量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)brrx111*(1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性

8、判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)(剛學(xué)過的剛學(xué)過的):一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不穩(wěn)定不穩(wěn)定另一平衡另一平衡點(diǎn)為點(diǎn)為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x