1、 本章重點、難點本章重點、難點 重點重點 力在空間直角坐標軸上的投影和力對軸之矩。力在空間直角坐標軸上的投影和力對軸之矩。 空間力系平衡方程的應用。空間力系平衡方程的應用。 常見的空間約束及約束反力。常見的空間約束及約束反力。 難點難點 空間矢量的運算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關系與立體圖空間矢量的運算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關系與立體圖迎 面風 力側(cè) 面風 力b工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。(a)(a)圖為空間匯交力系圖為空間匯交力系； (b)(b)圖為空間任意力

2、系圖為空間任意力系；(b)(b)圖中去掉風力后為空間平行力系圖中去掉風力后為空間平行力系。4-1 4-1 空間匯交力系空間匯交力系或由仰角或由仰角 與方位角與方位角 來確定。來確定。1.1.力在空間的表示力在空間的表示的接觸之點的接觸之點。一、力在空間軸上的投影與分解一、力在空間軸上的投影與分解：力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用點大小、方向、作用點大小大小：作用點作用點：方向方向：由由 、 、 三個方向角確三個方向角確定定FF 物體和力矢的起點或終點物體和力矢的起點或終點 一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法） cos, cos, cosFZFYFXcoscoscoscoss

3、inFFFXxysincossinsinsinFFFYxysincosFFZ由圖可知由圖可知：即： 二次投影法（間接投影法）二次投影法（間接投影法） 當力與各軸正向間夾角不易當力與各軸正向間夾角不易確定時，可先將確定時，可先將 F F 投影到投影到xy xy 面上，然后再投影到面上，然后再投影到x x、y y 軸上軸上。 三軸方向余弦zy,x,對應于F力分稱 為cos coscos 其 中： 若以若以 表示力表示力沿直角坐標軸的正交分量，則：沿直角坐標軸的正交分量，則：zyxFFF,zyxFFFFkZFjYFiXFzyx,而：kZjYiXF所以：FxFyFz 已知力的投影求該力已知力的投影求該

4、力 力沿坐標軸分解力沿坐標軸分解222ZYXFFZFYFXcos,cos,cos大小大小：方向方向： 幾何法幾何法 與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。力。inFFFFFR321二、空間匯交力系的合成二、空間匯交力系的合成即：合力等于各分力的矢量和：合力等于各分力的矢量和 注意注意 力在坐標軸上的投影是代數(shù)量；而力沿直角坐標軸的分量及力在坐標軸上的投影是代數(shù)量；而力沿直角坐標軸的分量及力在坐標平面上的投影是矢量。力在坐標平面上的投影是矢量。 ( (由于力多邊形是空間力多邊形，合成并不方便，一般不采由于力多邊形是空間力多邊形

5、，合成并不方便，一般不采用此方法合成用此方法合成） 空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。軸上投影的代數(shù)和。由于由于 代入上式kZjYiXFiiiiixXRiyYRizZR 合力投影定合力投影定理理 解析解析法法kZjYiXRiii合合力力定理定理: 合力的解析求合力的解析求法法222222)()()(ZYXRRRRzyx大小：大小：RRRRRRzyxcos,cos,cos方向：方向： 0X 0Y0Z解析法平衡充要條件為：解析法平衡充要條件為：幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉。幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊

6、形封閉。0iFR空間匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：空間匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：三、空間匯交力系的平衡三、空間匯交力系的平衡亦稱為亦稱為 空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程三個獨立的方程，只能求解三個未知量三個獨立的方程，只能求解三個未知量 平衡的充要條平衡的充要條件件 幾何法平衡充要條幾何法平衡充要條件件 解析法平衡充要條解析法平衡充要條件件4-2 4-2 力對點的矩與力對軸的矩力對點的矩與力對軸的矩一、空間力一、空間力對對點之矩點之矩三要素三要素 力矩的大小力矩的大小 ； 力的作用線與矩力的作用線與矩心所組成的平面的方心所組成的平面的方位位 。

7、 力矩的轉(zhuǎn)向力矩的轉(zhuǎn)向 ；決定力對剛體的作用效應決定力對剛體的作用效應, ,除力矩的大小、力矩的轉(zhuǎn)向外除力矩的大小、力矩的轉(zhuǎn)向外, ,還須考慮力與矩心所組成的平面的方位，方位不同，則力對還須考慮力與矩心所組成的平面的方位，方位不同，則力對物體的作用效應也不同。所以空間力對體的作用效應也不同。所以空間力對剛體的作用效應取決于下列剛體的作用效應取決于下列三要素：三要素： 例例 力力P P1 1,P,P2 2 ，P P3 3 對汽車反鏡對汽車反鏡繞球鉸鏈繞球鉸鏈O O點的點的轉(zhuǎn)動效應不同轉(zhuǎn)動效應不同二、力對點的矩的矢量表示二、力對點的矩的矢量表示 在平面問題中，力對點的矩是代數(shù)量；而在空間問題中，在

8、平面問題中，力對點的矩是代數(shù)量；而在空間問題中，由由空間力空間力對點的矩對點的矩的的三要素知，三要素知，力力對點的矩是矢量對點的矩是矢量。 面積AOBdFFmFmOO2)()( 力矩矢的表示方法力矩矢的表示方法 力矩矢力矩矢大小大小 ： 力矩矢方位：力矩矢方位： 與該力和矩心組成的平面與該力和矩心組成的平面的法線方位相同的法線方位相同注意：力矩矢為定位矢量注意：力矩矢為定位矢量注意：力矩矢為定位矢量注意：力矩矢為定位矢量 力矩矢的指向：與轉(zhuǎn)向力矩矢的指向：與轉(zhuǎn)向的關系服從右手螺旋定則。或從的關系服從右手螺旋定則。或從力矩矢的末端看去，物體由該力力矩矢的末端看去，物體由該力所引起的轉(zhuǎn)向為逆時針轉(zhuǎn)

9、向。所引起的轉(zhuǎn)向為逆時針轉(zhuǎn)向。 力對點的矩的矢積表達式力對點的矩的矢積表達式 如果r r 表示A點的矢徑，則：,)(FrFmO 導出導出)()sin(FmdFF, rFrFrO力對點的矩等于矩心到該力作用點力對點的矩等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積。的矢徑與該力的矢量積。kZjYiXF由于kzj yi xrZYXzyxkjiFrFmO)(方向相同，的方向和)(FmFrO又.)(FrFmO 結(jié)論結(jié)論 力對點的矩的解析表達式力對點的矩的解析表達式 kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)()()()()()(三、力對軸的矩三、力對軸的矩 實例實例的面積2)()(BOA

10、dFFmFmxyxyOz它是代數(shù)量，正負規(guī)定它是代數(shù)量，正負規(guī)定 + + 定義定義 力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動效應的量度力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動效應的量度, ,稱為力稱為力對該軸之矩對該軸之矩. .3. 力對軸的矩的解析式力對軸的矩的解析式)()()()(yOxOxyOzFmFmFmFm由合力矩定理：即yXxYFmz)(同理可得其余兩式，即有：yXxYFmxZzXFmzYyZFmzyx)()()(力對軸的矩的解析力對軸的矩的解析式式四、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系四、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系 力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等

11、于這力對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關系。于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關系。 定理定理18力對點的矩與力對通過該點的軸力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系之矩的關系kFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力對點所以力對點O O的矩為：的矩為：222)()()()()(FmFmFmFmFmzyxOO大小：)()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOx方向：五、力對點的矩的解析求五、力對點的矩的解析求法法20 例例1 1 已知已知: :P P=2000N,=2

12、000N, C C點在點在OxyOxy平面內(nèi)平面內(nèi)求：力求：力P P 對三個坐標軸的矩對三個坐標軸的矩 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解解： 方法一方法一 ：應用合力矩定理求解：應用合力矩定理求解21)mN(2 .3860cos45cos560sin45cos60)5(6)()()()(PPPPPmPmPmPmyxzzyzxzz)mN(8 .8445sin6600)()()()(PPPmPmPmPmzzxyxxxx)mN(7 .7045sin5500)()()()(PPPmPmPmPmzzyyyxyy22 方法二方法二 ：應用：應用力對軸

13、的矩的解析式力對軸的矩的解析式求求解解 60cos45cos60sin45cos45cos,45sinPPYPPXPPPPZyxxyz. 0cm,6cm,5zyxmN2 .38)(mN7 .70)(mN8 .84)(yXxYPmxZzXPmzYyZPmzyx4-3 4-3 空間力偶空間力偶一、空間力偶一、空間力偶三要素三要素 力偶矩的大小力偶矩的大小 ； 力偶作用面的方位力偶作用面的方位 ； 力偶的轉(zhuǎn)向力偶的轉(zhuǎn)向 。決定空間力偶對剛體的作用效應決定空間力偶對剛體的作用效應, ,除力偶矩的大小、力偶的除力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向外轉(zhuǎn)向外, ,還必須確定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，還必須確定

14、力偶作用面的方位，作用面的方位不同，則則空間力偶對物體的作用效應也不同，所以空間力偶對剛體的作空間力偶對物體的作用效應也不同，所以空間力偶對剛體的作用效應取決于下列用效應取決于下列三要素：三要素：y 空間力偶空間力偶三要素可以三要素可以用一個矢量表示，該矢量稱為用一個矢量表示，該矢量稱為力偶矩力偶矩矢。矢。二、力偶矩用矢量表示二、力偶矩用矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢 力偶矩矢表示方法力偶矩矢表示方法 大小：矢量的長度表示力偶矩的大小；大小：矢量的長度表示力偶矩的大小； 矢量的方位：與力偶作用面的法線方位相同矢量的方位：與力偶作用面的法線方位相同 矢量的指向：與轉(zhuǎn)向的關矢量的指向：與轉(zhuǎn)向的關系服從

15、右手螺旋定則。系服從右手螺旋定則。 證明證明 ： 作作II/II/，cd / abcd / ab 作一對平衡力作一對平衡力R, RR, R ( (在在E E點點, , 且且 使使- -R=R)R=R) 作用在同一剛體的兩平行平面的兩個力偶，若它們的轉(zhuǎn)向作用在同一剛體的兩平行平面的兩個力偶，若它們的轉(zhuǎn)向相同，力偶矩的大小相等，則兩個力偶等效相同，力偶矩的大小相等，則兩個力偶等效。F F1 1與與R R合成得合成得F F2 2，作用在，作用在d d點點 F F1 1與與R R合成得合成得F F2 2，作用在，作用在c c點點 且且R-FR-F1 1=F=F2 2 ，R-R- F F1 1= F=

16、F2 2 由反向平行力合成得由反向平行力合成得：三、空間力偶的等效定三、空間力偶的等效定理理 定理定理 在在I I內(nèi)的力偶（內(nèi)的力偶（F F1 1，F(xiàn) F1 1）等效）等效變成變成IIII內(nèi)的（內(nèi)的（ F F2 2， F F2 2） 推論推論 在同一剛體內(nèi)，力偶可以從一個平面移至另一平行平面而在同一剛體內(nèi)，力偶可以從一個平面移至另一平行平面而不改變它對剛體的作用。不改變它對剛體的作用。 空間力偶矩矢是一個自由矢量空間力偶矩矢是一個自由矢量 由于力偶可以在同一平面內(nèi)和平行平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，因此由于力偶可以在同一平面內(nèi)和平行平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空間任意移動，可見空間力偶表

17、示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空間任意移動，可見空間力偶矩矢是一個自由矢量。矩矢是一個自由矢量。四、空間力偶系的合成與平衡四、空間力偶系的合成與平衡 由于空間力偶系各力偶是自由矢量，只要不改變各分力偶由于空間力偶系各力偶是自由矢量，只要不改變各分力偶矩矢方向，將它們都滑移至某匯交點，它們的合成符合矢量合矩矢方向，將它們都滑移至某匯交點，它們的合成符合矢量合成法則。成法則。 即：合力偶矩即：合力偶矩 = = 分力偶矩的矢量和。分力偶矩的矢量和。 合成合成niinmmmmmm1321即即：mmmmmmmmmmzyxzyxcos,cos,cos;222大小大小：方向方向：0imm顯然空間力偶系的平衡條件

18、是：顯然空間力偶系的平衡條件是：三個獨立的方程，只能求解三個未知量三個獨立的方程，只能求解三個未知量0ym投影式為投影式為：亦稱為亦稱為 空間力偶系的平衡方程空間力偶系的平衡方程0 xm0zm2 平衡 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。擴充為空間坐標系。 4-4 4-4 空間一般力系向一點簡化空間一般力系向一點簡化nFFF,21 設作用在剛體上有設作用在剛體上有空間一般力系空間一般力系試將試將力系向力系向O O點簡化點簡化 根據(jù)力線平移根據(jù)力線平移定理，將各力

19、平行搬移到定理，將各力平行搬移到O O點，得到一點，得到一空間匯交力系：空間匯交力系：. )(),(),(2211nOnOOFmmFmmFmm一、簡化方法一、簡化方法 任選任選O O點為簡化中心點為簡化中心 將各力平行搬移到將各力平行搬移到O O點點, , 321nFFFFnmmm,21和一附加力偶系：和一附加力偶系：;,2211nnFFFFFF 空間力偶是自由矢量，總可匯交于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O O點。點。RFFFFFFFFRinino2121匯交力系合力匯交力系合力 合成合成空間匯交力系空間匯交力系 合成合成附加力偶系附加力偶系附加力偶的合力偶矩附加力偶的合力偶矩)()()()

20、(2121ionoooinoFmFmFmFmmmmmM二、主矢與主矩二、主矢與主矩1. 1. 主矢：指原主矢：指原空間空間一般力系各力的矢量和一般力系各力的矢量和 。iFiFR即 主矢主矢 的的R解析求法解析求法注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和, ,所所以它與簡化中心的位置無關。以它與簡化中心的位置無關。主矢大小主矢大小: :222222)()()(ZYXRRRRRzyx主矢方向主矢方向:cos,cos,cosRZRYRX 主矩：指原主矩：指原空間空間一般力系對簡化中心之矩的矢量和一般力系對簡化中心之矩的矢量和 。 )(ioFm)(iooFmM即大小大小：因主

21、矩等于各力對簡化中心之矩的矢量和因主矩等于各力對簡化中心之矩的矢量和，所以它的大小和所以它的大小和方方向與簡化中心有關。向與簡化中心有關。注意注意： 根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關系根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關系:)( )( ; )( )( ; )( )(FmFmMFmFmMFmFmMzzOOzyyOOyixxiOOx222OzOyOxOMMMM主矩主矩OM解析求法解析求法OOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos方向方向：三、結(jié)論三、結(jié)論空間空間一般力系向任一點一般力系向任一點O O 簡化簡化 ，一般可以得到一力和，一般可以得到一力和一力偶一力偶 ；該力作用于簡化中心；該力作用于

22、簡化中心 ，其大小及方向等于該力系的，其大小及方向等于該力系的主矢主矢 ，該力偶之矩矢等于該力系對于簡化中心的主矩，該力偶之矩矢等于該力系對于簡化中心的主矩 。化中心的位置有關，換個簡化中心，主矩不為零化中心的位置有關，換個簡化中心，主矩不為零) ) 空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。矢、主矩的不同情況分別加以討論。 若若 , , 則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。0, 0OMR 若若 則力系可合成一個合力偶，其矩等于原力則力系可合成一個合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主

23、矩系對于簡化中心的主矩M MO O。此時主矩與簡化中心的位置無關。此時主矩與簡化中心的位置無關。0, 0OMR 若若 則力系可合成為一個合力，力系合力則力系可合成為一個合力，力系合力0, 0OMRR等于主矢等于主矢 ，合力，合力 通過簡化中心通過簡化中心O O點。（此時主矩與簡點。（此時主矩與簡RR（一）（一）力系平衡力系平衡（二）（二）力系簡化為一個合力偶力系簡化為一個合力偶（三）（三）力系簡化為一個合力力系簡化為一個合力空間力系簡化結(jié)果分析空間力系簡化結(jié)果分析 若 , 時，OMR 0, 0OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,)(dRMO可進一步簡化，將可進一步簡化，將M MO O

24、變成變成( ( R R, ,R R) ) 使使RR與與RR 抵消只剩下抵消只剩下R R 例例 擰螺絲炮彈出膛擰螺絲炮彈出膛（四）（四）力系簡化力系簡化為力螺旋為力螺旋力螺旋力螺旋 由力及垂直與該力平面內(nèi)的力偶所組成的特殊力系由力及垂直與該力平面內(nèi)的力偶所組成的特殊力系 若 ， 時，OMR /0,0OMRM M 和和主矢主矢R R合成為合力合成為合力R R 而：而：sinRMRMOOO所以所以M M/和和R R 在在O O點處形成一個點處形成一個力螺旋。力螺旋。M M/不變，是在平面內(nèi)的一力偶不變，是在平面內(nèi)的一力偶 若若 ，R R不平行也不垂直不平行也不垂直M M0 0，成最一般的成最一般的任

25、意角任意角 時，時， 0, 0OMR可將可將M M/搬到搬到OO處處因為因為M M/ / 是自由矢量是自由矢量，首先把首先把M MO O 分解為分解為M M/和和M M , 力系簡化中，不隨簡化中心改變的量有：力系簡化中，不隨簡化中心改變的量有：R R， M M/ 簡化中心為簡化中心為O O時：有時：有M M 和和M M/，當簡化中心為另一點，當簡化中心為另一點O O1 1 時，時，為為M M 和和M M/ ， 即即M M/總是不變的（它是原力系中的力偶與簡化總是不變的（它是原力系中的力偶與簡化中心無關）中心無關） 注意注意, , R R， M M/是力系簡化中的不變量是力系簡化中的不變量 一

26、、空間一、空間一般一般力系平衡的充要條件力系平衡的充要條件0)(iOOFmM00FR0)()()(222ZYXRR0) )() )() )(222FmFmFmMMzyxOO 4-5 4-5 空間一般力系的平衡方程及應用空間一般力系的平衡方程及應用空間空間一般一般力系平衡力系平衡00OMR必要充分 平衡的充要條件平衡的充要條件力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 都等于零都等于零，即： OMR0)(, 00)(, 00)(, 0FmZFmYFmXzyx 解析法平衡充要條件解析法平衡充要條件六個獨立的方程，只能求解六個未知量六個獨立的方程，只能求解六個未知量稱為空間稱為空間一般一般力系的平衡方程力系

27、的平衡方程三、由三、由空間空間一般一般力系的平衡方程導出的其它方程力系的平衡方程導出的其它方程 空間匯交力系的平衡方程空間匯交力系的平衡方程因為各力線因為各力線作用作用都匯交于一點，各軸都通都匯交于一點，各軸都通過該點，故各力矩方程都成為了恒等式。過該點，故各力矩方程都成為了恒等式。000ZYX三個獨立的方程，只能求解三個未知量三個獨立的方程，只能求解三個未知量0)(0)(0FmFmZyx000)(YXFmz 空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程設各力線都設各力線都 / / z 軸軸因此因此均成為了恒等式，而自然滿足。均成為了恒等式，而自然滿足。即有：三個獨立的方程，只能求解三個未知量

28、三個獨立的方程，只能求解三個未知量二、空間約束二、空間約束 觀察物體在空間的六種可能的運動中（沿三軸移動和繞三觀察物體在空間的六種可能的運動中（沿三軸移動和繞三軸轉(zhuǎn)動）軸轉(zhuǎn)動） ，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉(zhuǎn)動為反力偶。力。阻礙移動為反力，阻礙轉(zhuǎn)動為反力偶。 例例 1 1、球形鉸鏈、球形鉸鏈2 2、止推軸承、止推軸承3 3、帶有銷子的夾板、帶有銷子的夾板4 4、空間固定端、空間固定端球形鉸鏈球形鉸鏈活頁鉸活頁鉸滑動軸承滑動軸承帶有銷子的夾板帶有銷子的夾板空間固定端空間固定端 4-6 4-6 平行力系的中心平行力

29、系的中心 物體的重心物體的重心一、空間平行力系的中心一、空間平行力系的中心 平行力系的中心坐標公式平行力系的中心坐標公式由合力矩定理由合力矩定理： 矢量形式矢量形式)()(iOOFmRm 定義：空間平行力系，當它有合力時，合力的作用定義：空間平行力系，當它有合力時，合力的作用點點C C 就是此平行力系的中心就是此平行力系的中心。nnCFrFrFrRr2211;,00110PFFPFFPRRnn令nnCrFrFrFrR2211P P0 0 為沿為沿 方向的單位矢方向的單位矢量量RiiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , 此式稱矢量形式此式稱矢量

30、形式平行力系的平行力系的中心中心坐標公式坐標公式 直角坐標形式（投影式）直角坐標形式（投影式）物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。 二、二、 物體的重心物體的重心 定義：組成物體各質(zhì)點的重力的合力作用線所通過的一定義：組成物體各質(zhì)點的重力的合力作用線所通過的一個確定的點，這個點稱為物體的重心。個確定的點，這個點稱為物體的重心。 重心坐標公式重心坐標公式 確定物體重心的意義確定物體重心的意義 保證平衡的穩(wěn)定性保證平衡的穩(wěn)定性； 保證運動的穩(wěn)定性；保證運動的穩(wěn)定性； 消除振動。消除振動。 如果把物體的重力都看成如果把物體的重力都看成為

31、平行力系，則求重心問題為平行力系，則求重心問題就是求平行力系的中心問題就是求平行力系的中心問題。iiCxPxPPxPxiiC即有：由合力矩定理：由合力矩定理： 直角坐標形式直角坐標形式iiCyPyP又 根據(jù)平行力系中心位置與各根據(jù)平行力系中心位置與各平行力系的方向無關的性質(zhì)，將平行力系的方向無關的性質(zhì)，將力線轉(zhuǎn)成與力線轉(zhuǎn)成與 y y 軸平行，再應用合軸平行，再應用合力矩定理對力矩定理對 x x 軸取矩得：軸取矩得：PyPyiiC有：,iiCzPzP得：PzPziiC綜合上述得直角坐標形式重心坐標公式為：綜合上述得直角坐標形式重心坐標公式為：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,若以若以P

32、 Pi i= = m mi ig , P=Mg g , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心坐標公式代入上式可得質(zhì)心坐標公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC, 積分形式積分形式 設設 I I 表示第表示第i i個小部分每單位體積的重量，個小部分每單位體積的重量，V Vi i 第第I I 個小個小體積體積, ,則則iiiVP代入上式并取極限，可得：代入上式并取極限，可得：PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC, 式中式中 ，上式，上式稱稱為為 積分形式積分形式重心坐標公式。重心坐標公式。VdVP對于均質(zhì)物體，對于均質(zhì)物體， = = 恒量，上式成為：恒量，上式成為：VdVzzVdVyyVdVx

33、xVCVCVC,同理對于薄曲（平）面和細曲（直）桿均可寫出相應的公式。同理對于薄曲（平）面和細曲（直）桿均可寫出相應的公式。 均質(zhì)物體重心坐標公式均質(zhì)物體重心坐標公式形心形心（幾何中心幾何中心）坐標坐標 設設 表示單位體積的重量，表示單位體積的重量，V Vi i 第第i i個小體積個小體積, ,則則iiVP代入代入直角坐標形式重心坐標公式直角坐標形式重心坐標公式，可得，可得：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC, 均質(zhì)立體均質(zhì)立體 同理對于均質(zhì)薄曲（平）面和均質(zhì)細曲（直）桿均可寫同理對于均質(zhì)薄曲（平）面和均質(zhì)細曲（直）桿均可寫出相應的公式。出相應的公式。 均質(zhì)薄曲（平）面均質(zhì)薄曲（平）面

34、AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC, 均質(zhì)細曲（直）桿均質(zhì)細曲（直）桿lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,三、重心的求法三、重心的求法 對稱法對稱法 具有對稱點具有對稱點對稱軸對稱軸對稱面的均質(zhì)物體，其重心就對稱面的均質(zhì)物體，其重心就在其對稱點在其對稱點對稱軸對稱軸對稱面上。對稱面上。 組合法組合法 分割法分割法 例例 已知：已知：Z Z 形截面，尺寸形截面，尺寸如圖。如圖。求：該截面的重心位置求：該截面的重心位置。 解解：將該截面分割為三部分將該截面分割為三部分，取取OxyOxy直角坐標系，如圖直角坐標系，如圖。2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx22

35、22cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syxcm2 . 03435 . 135 . 04)5 . 1(3321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 23435 . 0334)5 . 4(3321332211SSSySySySAyAyiiC2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syx 負面積法負面積法 解解： Z Z 形截面可視為由面形截面可視為由面積為積為S S1 1的大

36、矩形和面積分別為的大矩形和面積分別為S S2 2及及S S3 3的小矩形三部分組成，的小矩形三部分組成， S S2 2及及S S3 3是應去掉的部分，面積為是應去掉的部分，面積為負值。負值。2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syxcm2 . 0)8()12(302)8()5 . 1()12(030321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 2)8()12(303)8(2)12(5 . 230321332211SSSySySySAyAyiiC2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syx 解解：由于對稱關系，該圓弧重心必在由于對稱關系