1、正確計算統計平均數 平均數是社會經濟統計的基本指標與基本方法，在社會經濟統計學中占有十分重要的作用，國外一位統計學家曾稱：統計學是一門平均數的科學。因此，正確理解、計算、運用統計平均數，是學習社會經濟統計的基本要求，也是學好后續統計方法特別是統計指數、統計評價、序時平均數等統計方法的關鍵。 統計平均數的計算方法按其資料的時間屬性不同，分為靜態平均與動態平均，前者屬于截面數據的平均，即為一般平均數，后者為時間數列的平均，也稱序時平均。序時平均是靜態平均方法的具體應用。統計平均數的計算方法按其體現原始數據的充分性不同，主要可分為數值平均與位置平均，前者包括算術平均、調和平均、幾何平均、平

2、方平均，它們均有簡單式與加權式之分，實踐中較常用的是算術平均、調和平均與幾何平均。后者則指中位數與眾數。這些平均方法與公式具有不同的應用場合或應用條件，實踐中必須正確選擇。但我們在多年的教學實踐中發現，許多初學者往往無法正確區分這些不同平均方法的應用條件，特別是算術平均、幾何平均、調和平均的應用條件，從而出現亂套公式的情況。本文擬通過案例分析，與同學們談談如何正確計算算術平均數、調和平均數與幾何平均數。例1某企業報告期三個車間的職工人均日產量分別為：50件、65件、70件，車間日總產量分別為800件、650件、1050件。 要求：計算三個車間的職工每人平均日產量。解題過程 三個車間的職工每人平

3、均日產量=m/(m/x) =(800+650+1050)/(800/50+650/65+1050/70) =2500/41=60.98（件/人）解題說明本題從公式形式上看，是加權調和平均數。從內容上看，屬于“統計平均數的平均數計算”，但初學者常常容易犯的錯誤是亂套公式。最常見的錯誤是：選擇算術平均數公式計算，即以三個車間的日總產量為權數，對三個車間的勞動效率進行算術平均：（50×800+65×650+70×1050）/（800+650+1050）=155750/2500=62.3另一類錯誤是采用簡單平均公式計算平均產量，即（50+65+75）/3=63.33。出現

4、上述兩類錯誤的根源是：沒有正確理解社會經濟統計中平均數的經濟含義。其實，無論資料條件如何，職工人均產量的基本含義永遠是：總產量/工人數。因此，本例資料只需要求出三個車間的總產量及三個車間的總人數即可。由所提供的資料可以知道，總產量已經知道了，為(800+650+1050)=2500，而各車間的職工人數卻需要推算。因為各車間的總產量與該車間工人數之比即為該車間的人均產量，所以各車間職工人數應該等于總產量與人均產量之對比，三個車間的職工總人數應該為：(800/50+650/65+1050/70)=41人。  例2某企業集團下屬的25個企業報告期計劃利潤計劃完成程度如下表所示：按計劃完成程

5、度分%企業個數（個）計劃利潤總額（萬元）90以下380090-10062200100-110146000110以上21000合計2510000要求：計算25個企業的平均計劃完成程度及平均每個企業實現的利潤額。 解題過程 平均計劃完成程度=xf/f =（800×85%+2200×95%+6000×105%+1000×115%）/10000 =10220/10000=102.2% 平均每個企業實現的利潤額=全部企業實現的利潤總額/企業個數 =10220/25=408.8萬元解題說明本例是統計學中比較典型的“相對數的平均數計算”問題。我們所采用的是“

6、加權算術平均數”公式，權數是每一組的計劃利潤額。常見的錯誤有這樣幾種：一種是組中值錯誤。特別是第一組與最后一組的組中值，有一些初學者常常用90%作為第一組的組中值，用110%作為最后一組的組中值，這是不對的。組中值的一般計算方法是（上限+下限）/2，但對于這類“開口組”，其組中值應該按鄰組的組距去推算。故本例第一組的組中值應該取85%，最后一組的組中值應該取115%；第二種錯誤是用“企業個數”作權數計算平均計劃完成程度，這說明沒有正確理解平均計劃完成程度的含義。其實，作為權數的指標f與變量值x之間的乘積應該具有實際經濟意義的，本例若將企業個數與計劃完成程度相乘，就不可能得到有實際意義的指標值（

7、某一組的標志總量）。本例只有當各個企業的計劃利潤全部相同時，才可以以企業個數為權數進行加權算術平均。正如當我們掌握三個企業的計劃完成程度時，我們一般不能采用簡單算術平均計算它們的平均計劃完成程度，除非三個企業的計劃數相同。第三種錯誤與之相類似，初學者也有以“企業個數×計劃利潤總額”為權數計算算術平均數，誤以為表中的“計劃利潤總額”是平均每一個企業的計劃任務。其實，表中文字中根本就沒有“平均”之意，更何況還有一個“合計”計劃利潤總額為10000萬元的資料，若為“平均”，就不能“合計”。第四種錯誤就是套用調和平均數公式。或是套用簡單調和平均公式，或是以企業數為權數計算加權調和平均，或是以

8、計劃利潤總額為權數計算調和平均，或是以企業個數與計劃利潤額之間的乘積為權數計算調和平均。這一錯誤產生的根源是：學習過程中沒有正確理解統計平均數，只簡單化地背一些公式，應用時就想當然地套用平均數公式。其實，與例1類似，計算相對數的平均數時，必須首先明白該相對數的基本公式，即分子是什么，分母是什么。然后計算“分子總和”與“分母總和”，將這兩個總和相除，就是相應的“平均數”。所以，平均計劃完成程度的真實含義應該是“總實際/總計劃”，因為計劃完成程度的一般公式是“實際/計劃”。本例計算時，初學者根本不必猜測應該采用算術平均還是采用調和平均，也不必猜測應該以哪一項指標為權數，正確的思路是：由所給資料求出

9、“分子總和”-25個企業總的實際利潤，求出“分母總和”-25個企業總的計劃利潤。因本例已經知道了各組企業的計劃總額，所以需要推算“實際利潤總額”，其推算過程應該是“計劃數×計劃完成程度”。即，實際總利潤=（800 × 85% + 2200 × 95% + 6000 × 105% + 1000 × 115%）。而總計劃為（800+2200+6000+1000），二者的對比在形式上是一個加權算術平均數公式。因此，本例的計算方法就稱為“算術平均數”。若本例不是提供“計劃利潤總額”而是提供“實際利潤總額”，則計算平均計劃完成程度時需要推算“計劃利潤總額

10、”。而計劃利潤總額的推算需要采用“實際利潤/計劃完成程度”，在形式上表現為（m/x），因此，此時的平均計劃完成程度在形式上就屬于“加權調和平均數”。依此類推，當計算若干村的“平均畝產”時，就應該把握住基本公式：平均畝產永遠是“糧食總產量/總面積”，不論資料形式如何，只要求得“總產量”與“總面積”兩項基本資料即可，若知道各村畝產及種植面積，則推算總產量即可，這在形式上是一個“加權算術平均”，但若已知各村畝產及總產量時，需要推算種植面積，這在形式上是一個“加權調和平均”；當計算若干個企業的“平均資金利潤率”時，就應該把握住基本公式：平均資金利潤率永遠是“總利潤/總資金”；計算若干商品或企業的平均銷

11、售利潤率時，就應該把握基本公式：平均銷售利潤率永遠是“總利潤/總銷售”。例3設有三個車間報告期的產品生產情況如下表所示：車間不合格品率%不合格品件數(件)甲5500乙2190丙4372合計-1062要求：若這三個車間是同一產品生產流水線上的三個階段（工序），則平均不合格品率為多少？若這三個車間是獨立生產完全相同產品的三個小組，則平均不合格品率是多少？若這三個車間不僅完全獨立，且所生產的產品使用價值完全不同，產品的出廠價格分別為300元/件、400元/件、1000元/件，則應該如何計算它們的平均不合格品率？解題過程 平均合格品率 =0.96325=96.325% 平均不合格品率=1-96.325

12、%=3.675% 平均不合格品率=不合格產品總件數/全部產品總件數 =0.036875=3.69% 平均不合格品率=不合格品產品總價值/全部產品總價值598000/16100000=3.7143%  解題說明本例分別三種情況計算平均不合格品率。對于第一個計算要求，關鍵是必須注意幾何平均法的應用條件與要求。幾何平均雖然適合于計算比率與速度的平均，但卻是有條件的：要求變量值的連乘積等于總比率或總速度，否則就不能采用幾何平均法。實踐中一般有四種情況需要應用幾何平均數公式計算平均值，一種情況是“連續作業的車間平均合格率與平均不合格品率”，第二種情況是“平均發展速度與平均增長速度”，

13、第三種情況是“復利條件下的平均利率”。第四種是一些特殊需要，如綜合評價合成值或統計指數計算時可以用幾何平均法。本小例最常見的錯誤是：誤用加權算術平均或加權調和平均或簡單算術平均公式計算平均不平均合格品率，這顯然忽視了“連續作業車間”這一特定條件。另一個常見的錯誤是：直接對不合格品率采用幾何平均法計算，這里顯然又忽視了“變量值連乘積等于總比率或總速度”這一基本計算要求。因為三個車間合格率的連乘積正好等于全廠生產該產品的總合格率或最終合格率，而三個車間不合格品率的連乘卻沒有太大的實際意義。從概率意義看，三個車間合格率的連乘正表示“三道工序均合格”，這樣的產品才能算是最終的合格品，而三個車間不合格品

14、率連乘的概率含義卻是“沒有一道工序是合格的”，顯然它并沒有將所有不合格品包括在內，任何一道工序的不合格對于最終產品而言就是不合格的，因此只有當三道工序全部合格時才算真正的合格。所以本小題采用先計算平均合格率，再計算平均不合格品率的路線。正是同樣的道理，計算平均增長速度就不能直接用幾何平均數公式，而應該先計算平均發展速度（因為環比發展速度可以連乘而環比增長速度不能連乘）；計算復利平均利率也不能直接用利率，而應該先計算平均的“本利率”，再減去100%以求得平均利率。對于第二個計算要求，與例1、2類似，屬于“相對數的平均數”，只要記住：不合格率是不合格產品數量與總產量之對比，因此平均不合格品率就是三個車間總的不合格品產量與全部產量的對比，因題中已經提供了不合格品數量，需要借助“總產量=不合格品件數/不合格品率”來推算三個車間的產品總量，在形式上就是一個調和平均數公式。這一小題容易犯的錯誤仍然是誤用加權算術平均數。但必須注意的是，調和平均數公式中不允許變量值為零，因此若某一車間的不合格品率為零時，就不可也無法