1、解三角形的常規(guī)題型【知識(shí)要點(diǎn)】一、直角三角形中各元素間的關(guān)系：在中，（1）三邊之間的關(guān)系：(勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義），.二、斜三角形中各元素間的關(guān)系：在中，為其內(nèi)角，分別表示的對(duì)邊.（1）三角形內(nèi)角和：.（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.； ； . 三、三角形的面積公式：（1）（分別表示的高）；（2）四、解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問(wèn)題叫

2、做解三角形廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類(lèi)型：（1）兩類(lèi)正弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類(lèi)余弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.解三角形如果出現(xiàn)多解，要利用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系來(lái)檢驗(yàn).五、三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn).（1）角的變換因?yàn)樵谥校裕?（2）判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)

3、化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.六、求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（2）建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知與所求，并畫(huà)出示意圖；（3）求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義.七、解應(yīng)用題中的幾個(gè)角的概念（1）仰角、俯角的概念：在測(cè)量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角.如圖：（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角.如南偏西等.（3）方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角.【方法講評(píng)】題型一求三角形的角和邊使用情景解三角形解題步驟一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等變形來(lái)解

4、答.【例1】在中，已知，求【反饋檢測(cè)1】在中，角，的對(duì)邊分別為，且（1）求角的大小；（2）若，求，的值題型二求三角形的面積使用情景解三角形解題步驟利用公式解答.【例2】 在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的值；（2）若角，邊上的中線，求的面積.【反饋檢測(cè)2】在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積題型三判斷三角形的形狀使用情景解三角形解題步驟一般利用正弦定理或余弦定理邊化角或角化邊.【例3】在中，若，則的形狀是（ ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能確定 D等腰三角形 【反饋檢測(cè)3】已知分別是 中角的對(duì)邊.（1）求的值；（2）圓為的外接圓（在內(nèi)部）, 的

5、面積為,判斷的形狀, 并說(shuō)明理由.題型四解三角形的應(yīng)用使用情景解三角形的應(yīng)用解題步驟先畫(huà)圖，把條件標(biāo)記到圖形中，然后轉(zhuǎn)化成解三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解.【例4】已知甲船正在大海上航行，當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C處的乙船，乙船當(dāng)即決定勻速前往救援，并且與甲船同時(shí)到達(dá).（供參考使用：）.(1)試問(wèn)乙船航行速度的大小；(2)試問(wèn)乙船航行的方向(試用方位角表示，如北偏東度).【反饋檢測(cè)4】在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏西75°的方向，與距離2海里的處有一艘走私船，在處北偏東45°方向，與距離(1)海里的處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從向北偏西30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？題型五取值范圍或最值問(wèn)題使用情景求變量的取值范圍或最值.解題步驟一般先建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的取值范圍或最值.【例5】在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，.（1）若的面積等于，求；（2）求