1、第四章 第12節 線段、射線、直線與比較線段的長短一、知識脈絡圖二、知識點撥1. 線段的認識（1）線段的意義：是直的，長度有限的；有兩個端點，能度量，能比較大小。（2）線段的基本性質：兩點之間的所有連線中，線段（line segment）最短。（3）線段的表示法： 如圖所示，用線段AB或線段BA表示，其中A與B分別表示這條線段的兩個端點（又稱線段的端點），這種表示法說明線段的兩個端點的“地位”是平等的，與字母的排列順序無關；線段AB可以記作a，即線段可以用一個小寫字母來表示，它也可以表示為b或其他小寫字母。（4）兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離（distance）。（5）關于兩點之間的

2、距離需要注意：距離是指線段的長度，是一個數值，而不是線段本身；線段的長度可用刻度尺度量，也可以借助圓規來度量；兩點之間即使看不到線段，也存在距離。兩點間的距離是連結兩點的線段的長度，兩點間距離的概念描述的是數量，而不是圖形。同時根據性質“在連結兩點的所有線中，線段最短”可知，兩點間距離具有“最短”的特性。2. 射線的認識（1）射線的意義：把線段向一方無限延伸所形成的圖形就是射線，射線只能向一方無限延伸，不可度量，不能比較大小，只有一個端點。（2）射線的表示法：如圖所示，圖中的射線只能表示為射線OP，而不能表示為射線PO。因為射線只有一個端點，如該射線的端點是O，點P只是射線上的某一點，點P向左

3、或向右移一些，并不改變射線本身，所以表示射線的兩個大寫字母是有排列順序的，端點寫在前，射線上的另外一點寫在后面，請同學們務必記住這一點。射線只有一種表示法。（3）說明兩條射線是同一條射線，必須具備兩個條件，即端點相同和延伸方向相同。易錯糾正：射線是向一方無限延伸的，畫射線OP時，要畫出向P點的一方延伸的情況。3. 直線的認識（1）直線的意義：將線段向兩端無限延伸就得到直線，直線可向兩端無限延伸，不可度量，不能比較大小，無端點。（2）直線的表示法：如圖所示，直線的表示法有兩種：一是在直線上任意取兩點，用表示這兩點的大寫字母表示這條直線，這兩個字母沒有順序，即這兩個字母的“地位”是平等的。二是用任

4、意一個小寫字母來表示，但不要忘記在圖中標出該字母。如上圖中的直線可以表示為直線MN或直線NM，也可以表示為直線l。在表示線段、射線、直線時，都要在字母前注明“線段”“射線”“直線”，即先寫出幾何圖形的名稱，再寫上字母。（3）理解“經過兩點有一條直線，并且只有一條直線”這一結論時要注意：結論包含兩層含義，一是說經過兩點肯定有一條直線；二是說經過兩點只有一條直線；直線的這一性質在現實生活中有著廣泛應用。例如：要將一根細木條固定在墻上，只需要2枚釘子；工人要把許多電線桿排列在一條直線上，只要定出兩根電線桿的位置（即兩個點），就能定出一行電線桿所在直線的位置。易錯糾正：直線是向兩端無限延伸的，畫直線時

5、，要畫出向兩端延伸的情況。知識點1：線段、射線、直線的表示例題 根據下列語句畫出相應的圖形：（1）點A在直線k上，且直線j經過點A。（2）直線a過點M，點N在直線a外，過點N的直線b與直線a相交于點P。（3）A、B、C三點依次在同一條直線上，點D在直線AB外，畫出直線CD，射線BD，線段AD。思路導航：先弄清點與直線的位置關系，分清點、直線、射線、線段的表示方法，再動手按要求畫圖，圖形只要符合語句就可以，不必拘泥于特定的形式。答案：如下圖：（1）（2）（3）點評：畫圖時一定要親自動手，這有助于培養圖感及提高動手能力。知識點2：線段、射線、直線的性質例題1 （1）建筑工人在砌墻時，常先在兩端墻角

6、各定一個標志桿，在兩個標志桿之間拉緊一根線，沿著線就能砌出直墻，其中的道理是 。（2） 河道裁彎取直工程，可以減少泥沙淤積，使河道通暢，還可以縮短流程，其中的幾何道理是什么？ 思路導航：（1）兩個標志桿與細線連接處是兩個點，兩點確定一條直線。（2）兩點之間線段最短。答案：（1）線與標志桿連接處是一個點，這樣線的兩端就是兩個點，拉緊線就可成一條線段（直線的一部分），其中的道理就是：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。（2）在連結兩點的所有線中，線段最短的，兩點間距離又具有“最短”的特性。點評：本題是用所學的數學知識解釋生活中的現象，這類題型在今后的考查中還會經常遇到。例題2 已知平面上的4個點

7、A、B、C、D，過其中兩個點畫直線可以畫出幾條？（1） （2） （3）思路導航：因為條件中沒有說明給出的4個點是否在同一直線上，所以應分情況討論。答案：（1）當A、B、C、D 4個點在同一直線上時，可以畫出一條直線，如圖（1）。（2）當A、B、C、D 4個點中有3個點在同一直線上時，可以畫出四條直線，如圖（2）。（3）當A、B、C、D 4個點中任意3個點都不在同一直線上時，可以畫出六條直線，如圖（3）。點評：如圖（3）所示可以看出，對于任意三點都不共線的四個點A、 B、 C、 D，過其中任何一點都有三條直線經過，4×312（條）；但是，因為直線AB與BA， AC與CA， AD與DA分

8、別是指同一條直線，故每條直線都重復一次，所以，實際能畫出的直線共有4×3÷26（條），上面所述的內容可以推廣，即如果平面上有n個點，其中任何三個點都不在同一直線上，那么，過這n個點，一共可以畫出（n為正整數）條直線知識點3：線段大小的比較如圖所示，比較線段AB與AC、 AD與AE、 AD與AC的大小。思路導航：比較兩條線段的大小，有兩種方法：一種是利用刻度尺分別量出兩條線段的長度， 再根據長度的大小來確定兩條線段的大小；另一種是利用直尺和圓規把兩條線段放在同一直線上，使兩條線段的其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點的同側，根據另一個端點與重合端點的距離的大小來確定兩條線

9、段的大小。答案：方法一：用刻度尺量得各線段的長度，比較得：ABAC， ADAE， ADAC。方法二：用圓規截取后比較可得：ABAC， ADAE， ADAC。點評：這兩種方法是比較兩條線段大小最基本的方法，應掌握這兩種基本方法。知識點4：本講例題1 判斷題：（1）兩點之間線段最短；（2）畫出A、B兩點之間的距離；（3）連接兩點的直線的長度叫做兩點間的距離；（4）連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離；（5）若ACBC，則點C是線段AB的中點。思路導航：根據兩點之間的連線中，線段最短及兩點間的距離的概念解答。答案：（1）正確，實際是指在兩點之間的連線中，線段最短；（2）錯誤，兩點之間的距離是指兩點之

10、間線段的長度，長度是一個數值，是畫不出來的，能畫出來的是兩點之間的線段；（3）錯誤，直線是向兩段無限延伸的，沒有長度；（4）正確；（5）錯誤，線段的中點必須在線段上，而題目中并沒有給出點C在線段AB上的信息，即點C可能在線段AB上，也有可能在線段AB外。點評：對概念理解透徹是正確解題的前提。例題2 如圖所示，在射線AM上，依次截取ABBCCDDEEF，則下列說法中錯誤的是（ ）A. 點B是線段AC的中點 B. ACDFC. BF2AC D. 點C是線段AF的中點思路導航：若把每一小段看成一個單位，則ABBC1，B點是線段AC的中點是正確的；AC2，DF2，所以ACDF是正確的；BF4，AC2，

11、所以BF2AC是正確的；AC2，FC3，AC與FC不相等，所以點C是線段AF的中點是錯誤的，因此本題選D。答案：D點評：通過本題加深對線段中點概念的雙重性的理解；應記住把每一小段看成一個單位長度的方法。例題3 在一條直線型流水線上，在A1、A2、A3、A4、A5處依次有5個機器人在工作（如圖），現欲設一個零件供應點，問應設于何處，可使5個機器人與供應點距離的總和最小。思路導航：先求和，再作比較。答案：5個機器人在工作的情況下，供應點設在A3處最合適，這時總距離為A1A5A2A4。如果不設于A3，而設于P點，則總距離為A1A5A2A4A3PA1A5A2A4。所以應設于A3處。點評：（1）由于供應

12、點設在A處的距離總和為A1524，設在點P處的距離總和為A1A5A2A4A3，這比前者大出A3的距離，當A3時兩者相等，即A3與P重合；（2）取其他位置為供應點，得到的距離總和同樣大于A15A24。A. B. C. D. 思路導航：線段的性質：兩點之間線段最短。根據題意，認真分析題干，進而用數學知識解釋生活中的現象。答案：現象可以用“兩點可以確定一條直線”來解釋；現象可以用“兩點之間，線段最短”來解釋。故選D。（答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 如圖，已知線段AB10cm，點C是AB上任意一點，點M、N分別是AC和CB的中點，則MN的長度為（ ） A. 6cmB. 5 cmC. 4 cm D

13、. 3 cm2. 下列說法中，正確的有（1）過兩點有且只有一條線段 （2）連結兩點的線段叫做兩點間的距離 （3）兩點之間，線段最短 （4）ABBC，則點B是線段AC的中點（5）射線比直線短A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個3. 如圖，點C在線段AB上，D是AC的中點，E是BC的中點，若ED6，則AB的長為（ ）A. 6 B. 8C. 12 D. 164. 下列說法中，延長直線AB到C；延長射線OC到D；反向延長射線OC到D；延長線段AB到C。正確的是 （ ）A. B. C. D. 5. 下列語句正確的是（ ）A. 畫直線AB10厘米B. 畫直線l的垂直平分線C. 畫射線OB3厘米D

14、. 延長線段AB到點C，使得BCAB6. 經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數是（ ）A. 一條或三條 B. 三條 C. 兩條 D. 一條7. 下列說法正確的是（ ）A. 射線比直線短 B. 兩點確定一條直線 C. 經過三點只能作一條直線 D. 兩點間的長度叫兩點間的距離8. 要在墻上固定一根木條，小明說只需要兩枚釘子，這其中用到的數學道理是（ ）A. 兩點之間，線段最短 B. 兩點確定一條直線 C. 線段只有一個中點 D. 兩條直線相交，只有一個交點9. 如圖所示，從A地到達B地，最短的路線是（ ）A. ACEB B. AFEB C. ADEB D. ACGEB二、填空題 1. 如圖，點

15、C、D是線段AB上的兩點，若AC4，CD5，DB3，則圖中所有線段的和是_。2. 已知點C是線段AB的中點，AB的長度為10cm，則AC的長度為_cm。3. 已知A、B、C是直線上的三個點，則下圖中有_條線段，有_條射線，有_條直線。4. 延長線段MN到P，使NPMN，則N是線段MP的_點，MN_MP，MP_NP5. 如圖，C、D是線段AB上的兩個點，CD8cm，M是AC的中點，N是DB的中點，MN12cm，那么線段AB的長等于_cm 6. 在同一平面內但不在同一直線上的3個點，過任意個點作一條直線，則可作直線的條數為_條。三、解答題1. 已知C為線段AB的中點，D是線段AC的中點（1）畫出相

16、應的圖形，并求出圖中線段的條數；（2）若圖中所有線段的長度和為26，求線段AC的長度。2. 如圖，線段AB8cm，C是線段AB上一點，AC3.2cm，M是AB的中點，N是AC的中點，求線段MN的長。3. 知識是用來為人類服務的，我們應該把它們用于有意義的方面。下面請你就兩個情景作出評判。情景一：從教學樓到圖書館，總有少數同學不走人行道而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學數學知識來說明這個問題。情景二：A、B是河流l兩旁的兩個村莊，現要在河邊修一個抽水站向兩村供水，問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請在圖中表示出抽水站點P的位置，并說明你的理由：你贊同以上哪種做法？你認為應用數學知識為人類

17、服務時應注意什么？5. 周角、平角、直角之間存在以下關系：1周角2平角4直角360º（四）角的度量及其換算角的大小可以通過疊合、度量法來比較，用角的度量單位度、分、秒來表示，它們之間的換算關系是60進位制的：1º60'，1'60"（五）角的平分線（六）角的特殊關系（七）注意事項只與開口的大小有關2. 在表示角時，前面必須加上角的符號“”3. 角的平分線有著重要的應用，既能正用，也能反用4. 并不是所有的角都有余角、補角，同角的余角比補角小90°四. 典例剖析，能用AOB、O、1三種方法表示同一個角的圖形是（ ）析解：O是用一個單獨的大寫字

18、母表示角，它只能表示獨立的一個角，而A、B、C中以O為頂點的角不止一個，所以選項A、B、C均不正確，而在選項D中，顯然O與1、AOB表示同一個角，故選D圖12中有幾個角？是哪幾個角？分析：由一點引n條射線所組成的角的個數共有個，此題從O出發有4條射線，n4，此時解：圖中有6個角，分別為AOB、AOC、AOD、BOC、BOD、COD例3. 計算：（1）32°1916°5316 ； （2）180°126°4312；分析：進行加法運算時，先算秒，再算分，最后算度， 夠60時，把60化為1，夠60時，把60化為 1°進行減法運算時，不夠減，借1

19、6;化為60 解：（1）1953721°12，所以32°1916°531649°1216 （2）180°126°4312179°5960126°431253°1648如圖13，用不同顏色的馬賽克片覆蓋一個圓形的臺面，估計15°圓心角的扇形部分大約需要34片馬賽克片，已知每箱裝有125片馬賽克片，那么應該購買約（ ）馬賽克片才能鋪滿整個臺面析解：本題是一道設計新穎的試題，根據題目的已知，要計算大約需要多少馬賽克片，則要計算出圓形中有幾個15°角的扇形因為圓周角是360°，所以用

20、360°除以15°即可解決問題 360°÷15°24，24×34÷1256.528所以大約用6箱多，所以選B如圖14，在一張某地區的地圖上，原標有學校、公園和廣場三個位置，由于被墨水污染，廣場的具體位置已看不清了根據記憶，廣場位置在學校的北偏東60°的方向，在公園的北偏西45°的方向根據上述信息，請找出廣場的具體位置分析：本題是一道和方向角有關的題目根據題意，可知廣場在學校的北偏東60°的方向畫圖時，應以學校所在地為測點，在此處畫出上北下南，左西右東的方向，以正北方向的射線為始邊，順時針旋轉60

21、°，則廣場的位置就在這條射線上，同理，在公園的位置作一條北偏西45°的射線，這兩條射線的交點，即為廣場的位置解：所畫的圖形如圖15所示. 分析：解：（2008，）已知，則的余角的度數是（ ）A. B. C. D. 析解：的余角應等于答案選A如圖16，要把一個角鋼（1）彎成120°的鋼架（2），則在角鋼（1）上截去的缺口是_度析解：圖（1）中的角鋼可以看作一個平角，截去缺口后的圖（2）中的角變成120°，縮小的度數就是截去的缺口的度數180°120°60°析解：（2008，福州市）如圖18，已知直線相交于點，平分，則的度數是（

22、 ）A. B. C. D. 析解：由平分，可得，由與是對頂角，可得答案選C如圖19，已知，求的度數分析：我們可以利用來巧設未知數設，則11x解：設，那么因為，所以因為，所以解得，所以 如圖20中，OB是AOC的平分線，OD是COE的平分線已知AOE128°，求BOD的度數 分析：將BOD的度數轉化為求的和，而的度數是無法求出來的，可利用角的平分線定義再將分別轉化為和，而AOC和EOC恰好組成AOE解：因為OB、OD是AOC、COE的平分線，所以，1. 如在求角的度數時，將未知的角的度數轉化為已知的角的度數2 .遇到計算角的問題，僅僅從角的和差倍分關系出發，有時很難奏效，若利用設未知數

23、后構造方程的方法，則往往可化難為易3. 當題目所給條件不明確時，根據條件呈現的所有情況進行分類，可以達到解題的目的這在解決角的計算問題時經常碰到4. 在思想過程中確定研究對象的相同點和不同點如在學習“互補”以后，可與“互余”這個概念相比較學習；在角的運算中，公共角在不同情況下的使用，我們也可以來進行一個比較與歸納，這對同學們的學習應當都是有很多好處的5. 要重視解題后的研究和探索：要對例題、習題提出新問題，探索新題目，從不同角度觀察、分析問題，拓寬思維，完善解題方法，培養能力，收到舉一反三、事半功倍之效【模擬試題】（答題時間：90分鐘）一、細心選一選（每題2分，共20分）1. 下列說法正確的是

24、（ ）A. 平角就是一條直線 B. 平角的兩條邊在同一條直線上C. 周角就是一條射線 D. 周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數是0°2. 一條射線繞它的端點旋轉一周的過程中，你可能得到所學過的角有（ ） A. 6種 B. 5種 C. 4種 D. 3種 3. 如圖1，從點O出發的5條射線，可以組成的角的個數是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 104. 如圖2射線OA表示的方向是（ ） A. 西南方向 B. 東南方向 C. 西偏南10° D. 南偏西10°5. 如圖3，已知AOCBOD78°，BOC35°，則AOD的度數是（ ） A. 8

25、6° B. 156° C. 121° D. 113°6. 已知AOC135°，OB為AOC內部的一條射線，且BOC90°，以OB為一條邊，以OA為角平分線的角的另一邊是（ ）A. BOC的平分線 B. 射線OC C. 射線OC的反向延長線 D. 射線OC的延長線7. ° 8.9. °、°°°、°°°°°°°10. 如果n，且有余角也有補角，則有（ ） A. B. C. D. 二、仔細填一填：（每題2分，共20分）11.12. 如圖4所示，OM平分AOB，ON平分BOC，已知AOBBOC，那么可以確定AOM _CON（填“”、“”或“”13. 如圖4所示，OM平分AOB，ON平分BOC，已知AOC100°，那么，MON_度14. 現在時間是9點20分，此時鐘面上的時針與分針的夾角是_度15. 如圖5，直線AB、CD相交于O，COE是直角，157°，則2_度16. 如圖6，OB平分AOC，OC平分BOD，且BOC20°，則AOD 度AOB45°，BOC30°，則AOC_度18.