1、空間向量與立體幾何一、知識梳理    1、空間向量及其運算      （1）空間向量的基本知識：           定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。           空間向量基本定理

2、：            定理：如果三個向量不共面，那么對于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。且把叫做空間的一個基底，都叫基向量。            正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。            

3、; 單位正交基底：當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基底，通常用表示。            空間四點共面：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。         共線向量（平行向量）：           定義：如果表示空間向量的有向

4、線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。  規(guī)定：零向量與任意向量共線；               共線向量定理：對空間任意兩個向量平行的充要條件是：存在實數(shù)，使。                 共面向量：    &

5、#160;        定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個向量都是共面向量。            向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或在內(nèi)，則說向量平行于平面，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 共面向量定理：如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實數(shù)對x、y，使。        

6、   空間的三個向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時，共面向量定理實際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。           共面向量定理的推論：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有。        空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，（兩個向量的起點一定

7、要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。兩個向量的數(shù)量積：         定義：已知空間兩個非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：。         規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。         注意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量、的點積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個實數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。   

8、0;     數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影（其中為向量和的夾角）。即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積。         基本性質(zhì)：。運算律：（2）空間向量的線性運算：       定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下：       加法： ； 減法：    

9、0;  數(shù)乘向量：       運算律：        加法交換律： ， 加法結(jié)合律：        數(shù)乘分配律：2、空間向量的坐標(biāo)表示：     （1）空間直角坐標(biāo)系：         空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底，以點O為原點，分別以

10、的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點O叫做原點，向量叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。        右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向；     （2）空間向量的坐標(biāo)表示：          已知空間直角坐

11、標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理知存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作         在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任一點A，對應(yīng)一個向量，若，則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)， y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)，寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)間的順序不能變。 規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點

12、的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。 設(shè)，           則：   （3）空間向量的直角坐標(biāo)運算： 空間兩點間距離：；空間線段的中點M（x，y，z）的坐標(biāo)：3空間向量的應(yīng)用（1）空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面，的法向量分別為u,v,則線線平行：lm a b a=kb;線面平行：l au a·u=0;面面平行： u v u=kv.線線垂直：l m a b a·b=0;線面垂直：l a u a=ku;面面

13、垂直： u v u·v=0.（2）直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為,直線與平面所成的角為,平面的法向量為，直線與平面法向量的夾角為,則（3）平面與平面所成角二面角的兩個半平面的法向量的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小。設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為二面角的大小為，則 ，再根據(jù)圖形確定取鈍角或銳角。（4）點到平面的距離設(shè)為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，則點到平面的距離 。注：用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、

14、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運算）（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題）二、基礎(chǔ)自測1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab, 則x= ,y= 。2、設(shè)A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中點M，則3、若A，B，C，則ABC的形狀是 。4、證明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2共面。 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 三、典例精析 例1 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4， BC=CD=2， AA=2， E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點（1）證明：直線EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值wwwks5ucom 例2如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值；（3）求點到平面的距離四、總結(jié)提升五、 鞏固練習(xí)1、點B是點A（1，2，3）在坐標(biāo)平