1、專題四 勾股定理及逆定理的綜合【知識概要】 1勾股定理與逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其逆定理是判斷直角三角形的一種方法綜合應用勾毆定理及逆定理，可以解決很多幾何問題，其一般步驟是：先應用勾股定理的逆定理證明已知圖形（或添加輔助線后的圖形）中的某個三角形為直角三角形，然后再應用勾股定理解決問題2.直角三角形的性質(1)角的關系：兩銳角互余(2)邊的關系：勾股定理(3)邊角關系：角所對的直角邊等于斜邊的一半這些性質在求線段的長度，證明線段的倍分關系，證明線段的平方關系等問題時有廣泛的應用3勾股定理及逆定理的應用 勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分

2、的一個整體，通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決 掌握一些常見的基本圖形： 4折疊的常見基本圖形 本節重點講解：勾股定理及逆定理的應用【典例探析】一.勾股定理中方程思想的運用 例1 如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，求CD的長。 變式1 如圖，折疊長方形的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處，若AB=3，BC=4,求EC的長。二、勾股定理中類比思想的運用例2 如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則

3、不難證明S1=S2+S3 （1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關系？(不必證明)（2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個等邊三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關系并加以證明三、勾股定理中整體思想的運用例3 在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖）已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1S2S3S4=_四、勾股逆定理的運用例4 如果ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么

4、ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形變式2 ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC邊上的中線AD=15cm，試判斷ABC是什么三角形。五、利用勾股定理求最短路徑問題例5 有一個長寬高分別為2cm，1cm，3cm的長方體，有一只小螞蟻想從點A爬到點C1處，求它爬行的最短路程為多少？變式3 如圖，A、B兩個小集鎮在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30 千米，現在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節省，并求出

5、總費用是多少？ABCDL【課后鞏固】一、選擇題1直角三角形的兩直角邊分別為5、12，則斜邊上的高為（ ） A6 B.8 C. D.2.已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm,c=10cm,則RtABC的面積為（ ） A.24cm B. 36cm C.48cm D.60cm 3.等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（ A.56 B.48 C.40 D.324.圖17 -31所示是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m按照輸油中心0到三條支路的距離相等來連接管道，則0到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）

6、是( ) 5.如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數為（ ）A90° B60° C45° D30°6.在ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c.下列說法錯誤的是（ ）A.C -B =A ，那么C=90° B.如果C=90°，則c- b= aC.如果（a+b）（a-b）= c,那么C=90° D.如果A=30°，B=60°那么AB=2BC第8題4312二、填空題7.已知一三角形三邊分別為5k,12k,13k,則這個三角形為，理由 是.8.如圖是一長方體長4、寬3、高12

7、，則圖中陰影部分的三角形的周長為_9.以a,b,c為三邊的三角形，其三邊滿足a+b=25,a-b=7,且c=5，則這個三角形的最長邊是，這條邊上的高為.10.在ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，則ABC的周長為 _.11. 如圖17-3-3所示，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高 米12.某市在“舊城改造”中計劃在市內一塊如圖17-3-7所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環境，其中米，米，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要

8、元. 三、解答題13.如圖17-3-5所示，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知求EFC的面積14.如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處；（1）求證：BE=BF；（2）設AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關系，并給予證明15.如圖17 -3 -12所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發區A、B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角新開發區B到公路MN的距離BC=3千米(1)求新開發區A到公路MN的距離；(2)現要在MN上某點P處向新開發區A、B修兩條公路PA、PB，使點P到新開發區A、B的距離和最短

9、請你用尺規作圖在圖中找出點P的位置（不用證明，不寫作法，保留作圖痕跡），并求出時PA+PB的值.16(1)如圖17 -3 -13所示，已知，在等腰點P在線段BC上，且若點D在線段AB上運動，求PD的最小值；若點P從初始位置先運動到AC邊上，再運動到AB邊上，求點P運動的最短路徑(2)如圖17 -3 -14所示，已知，在ABC中，點P在線段BC上，且PC=2，若點P從初始位置先運動到AC邊上，再運動到AB邊上，求點P運動的最短路徑17.【背景材料】小穎和小強在做課后習題時，遇到這樣一道題：“已知RtABC中，如圖17-3-20(a)所示，當點M、N在AB上時，則 小穎的解題思路：如圖17-3-2

10、0(b)所示，將ACM沿直線CM對折，得連進而證明結論得證【解決問題】當M在BA的延長線上，點N在線段AB上，其他條件不變，如圖17-3-20 (c)所示，關系式是否仍然成立？根據上述材料請你幫助小穎判斷結論，并給出證明18.在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為求這個三角形的面積小寶同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖17-3-15(a)所示這樣不需求ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積(1)請你將ABC的面積直接填寫在橫線上 思維拓展(2)我們把上述求ABC面積的方法叫做構圖法，若ABC三邊的長分別為（a>0），請利用圖17-3-15(b)的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的ABC，并求出它的面積填寫在橫線上 探索創新(3)若ABC中有兩邊的長分別為且ABC的面積為試運用構圖法在圖17-3-15(c)的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）中畫出所有符合題