1、第2章非合作博弈的基本思想博弈分合作的博弈與非合作的博弈。本課程所用的博弈理論限于非合作的博弈。博弈有兩種表達方式。一種是標準式博弈，另一種是擴展式博弈。信息問題：信息對于博弈是重要的。有完全信息的博弈與不完全信息的博弈。2.1 標準式博弈博弈的定義定義：標準形式的博弈描述如下：1、 N個參與人（player），表示為集合I=1，2，N。2、 每個參與人i,有一行動集（Action set），是參與人i的所有行動的可能集合。令表示i所采取的特定的行動。因此參與人i的行動集，其中，k是i所有可能行動的數目。令為一組由每一位參與人i所選擇的行動。我們稱之為該博弈的一個結果（Outcome）。3、每

2、一位參與人i有一個支付函數。對于該博弈的每一結果，該函數取一實數值。簡單表示為：標準型博弈定義可用下面的例子說明。 21 P W P W 2， 2 -2，3 3， -2 -1，-1第一，N=2, 第二，該博弈有四個結果（P，P），（P，W），（W，P），（W，W）。第三，支付矩陣中帶數字的四個方格表示四種結果下每個參與人的支付。若結果為，則均衡概念(equilibrium concepts)有的博弈存在唯一均衡解。有的博弈存在多個均衡解。有的博弈不存在均衡解。為了簡化討論。我們將博弈的一種結果表示為其中1占優行動均衡(equilibrium in dominant actions)。（1）占優

3、行動（策略）占優行動（策略）的定義：如果無論其他所有參與人采取什么行動（策略），參與人總是由于采取行動（策略）而獲得最大支付，則行動（策略）是參與人的占優行動(占優策略)可以將占優行動（策略）進一步劃分為嚴格占優行動（策略）與弱占優行動（策略）。（2）嚴格占優行動（策略）與弱占優行動（策略）嚴格占優行動。定義如下：對于所有的（），且（），如果（）成立，那么，參與人的行動（策略）是嚴格占優行動。上表中，是1的嚴格占優行動。證明如下。同樣，是2的嚴格占優行動。弱占優行動。定義如下：對于所有的（），如果（），并且至少一個嚴格的不等式成立，那么，參與人的行動（策略）弱優于他的其他行動（策略）。（策略）

4、是的弱占優行動。例如下表23中，是參與人1的弱占優策略，是參與人2的弱占優策略。表23 弱占優策略 21 2， 21，1 1， 1 1，1（3）嚴格被占優行動（策略）與弱被占優行動（策略）對于所有的（），且（），如果（）成立，那么，參與人的行動（策略）是嚴格被占優行動（策略）。在表22中，和平對于兩個國家而言都是嚴格被占優行動。如果（），其中至少一個嚴格不等式成立，那么，參與人的行動（策略）是弱被占優行動（策略）。通過刪除被占優策略或者刪除弱被占優策略，而保持占優策略或者弱占優策略，可以達到占優策略均衡。（4）占優行動均衡定義：如果是參與人i的占優行動，則結果是一個占優行動均衡（其中，對于任意

5、的，）。顯然是一個占優行動均衡。許多博弈不存在占優策略均衡。例如下列的性別戰博弈 不存在占優行動均衡。 張先生 李小姐 看球賽 看電影 看球賽 看電影 1， 2 0，0 0， 0 3，12、納什均衡（Nash Equilibrium）（NE）定義：結果（其中，對于每一個，）稱為納什均衡，如果假定在所有其他人不背離其納什結果的策略條件下，沒有任何人可以通過背離納什結果而獲益。正規表述如下：對于每個，對于每個。用“最優反應函數”解NE。 福利比較定義：(1)如果(a)對于任意參與人(b)至少存在一個參與人j，那么，結果帕累托優于結果，(2)如果沒有任何一個結果帕累托優于結果，那么結果被稱為帕累托有

6、效。(3)如果對于每個參與人i，; 而對于另外的參與人j,，那么, 結果and被稱為帕累托不可比。2.2 擴展式博弈擴展式博弈可以描述不同時間決策的博弈?？紤]下列博弈。 1 F D B NB B NB定義：擴展式博弈定義如下：（1）該種博弈包含一個初始結（starting node），其他決策結（decision nodes），終點結，以及連接每個決策結與直接后續結的枝（branches）。（2）N個參與人，表示為。（3）在每個決策結，位于該結點的參與人選擇決策行動。（4）對于每個參與人，在其必須要作決策的每個結上，有一組特定的行動集。（5）每個終點結，每個參與人有一個特定的支付。擴展式博弈中

7、的策略與結果策略的定義參與人的一個策略（表示為）是的一組完整的行動計劃，其中，一個行動對應著該參與人須要選擇其行動的每個決策結。重要的是要明白：一個策略不是某參與人在位于某單個特定結上的所為，而是當該參與人必須選擇其行動時，該參與人在每個結點上的所為。2.2.2 擴展式博弈的標準式表示(EFG 的NFG表示。) HijackerPilot （B，B） （B，NB） （NB，B） （NB，NB） D F-1 -120-1 -120-1 -1-1 -1111 1子博弈和子博弈完美納什均衡(SPE)定義：子博弈是產生于原博弈的一個決策結點，以及在該結之后并與該結緊密相連的其他決策結和終點結。若某個子

8、博弈不同于原博弈，則稱之為嚴格子博弈（proper subgame）。在飛行員與劫機者博弈中，有三個子博弈。一個是原博弈自身。另外兩個是嚴格子博弈。 B NB B NB定義（SPE）：若參與人的策略在每個子博弈都構成一個納什均衡，則稱該納什均衡為子博弈完美均衡（SPE）?；蛘撸喝裟骋唤Y果導致原博弈下每個子博弈的一個納什均衡，則稱這一結果為子博弈完美均衡（SPE）。上述定義表明，SPE是這樣一組策略（每個參與人一個策略），該組策略由在每一子博弈都構成一個納什均衡的參與人行動所組成。特別的，SPE必須是原博弈的一個NE。因為博弈是其自身的一個子博弈。尋找SPE的方法。使用逆向歸納法（backwar

9、d induction）。也可以將EFG表示成NFG形式，找出所有的NE，在從中選擇SPE。2.3 重復博弈（Repeated Game）重復博弈是一次博弈（one shot game）的多次重復。重復博弈是某種特定“種類”的擴展形式的博弈。該博弈中，每一期每個參與人同時行動。每個參與人都觀察到了前期所有參與人的行動。在和平與戰爭一例中，假定博弈重復T次，假定T為有限的正整數。假定每個參與人的時間的貼現因子（time discount parameter）為，。令表示參與人在期所采取的行動，。令為期對的支付。其中，由前面的表給出。因此，當博弈重復了T次以后，的支付為：或 2.3.1.有限期重復

10、的博弈（finitely repeated game）假定和平與戰爭的博弈重復有限次。在一次性博弈中，（war war）是唯一納什均衡。對于任何有限的、整數期的博弈而言，重復T期的和平-戰爭博弈具有唯一的子博弈完美均衡，即每一國家每一期都是選擇戰爭。（war，war）是子博弈完美均衡。證：使用逆向歸納法，假定已經進行了T-1期的博弈，并打算進行T期的博弈由于T期是最后一期，因此（W，W）是一個NE。再考慮T-1期的博弈，由于考慮T期戰爭是最優行動，本期戰爭也是優勢策略。直至到第一期。.無限期重復博弈（infinitely repeated game）假定。無限期重復的博弈 與有限期重復的博弈的

11、區別在于，前者不可以利用逆向歸納法的方法，因為不存在可以開始逆向歸納法過程的最后時期。觸發策略（Trigger strategy）：在觸發策略中，只要所有的參與人在期是合作的，那么，參與人在t期就采取合作策略。但是，如果任一參與人在是不合作的，那么，參與人從期開始并且將永遠采取不合作策略。定義（觸發策略）：參與人被稱為采取觸發策略，如果對任一期2.4 混合行動博弈（Games with Mixed Actions）混合行動的博弈是這樣一種博弈，參與人在其可能的行動集中隨機地選取行動。YX正面(t1) 反面(t2)正面(s1)反面(s2)-1， 11， -11， -1-1， 1我們知道上述猜硬幣

12、博弈不存在純策略的納什均衡。是否存在混合策略的納什均衡？假定有X、Y兩個的參與人。每一個參與人有兩種策略可供選擇。X可供選擇的行動集是。Y可供選擇的行動集是。定義：1、參與人X的混合行動是在選擇行動與選擇行動之間的一種概率分布。正規地講，參與人X的混合行動是一種概率，（），參與人采取行動的概率是，采取行動的概率是。參與人Y的混合行動是一種概率，（），參與人采取行動的概率是，采取行動的概率是。2、混合行動博弈的行動組合（action profile）是一個序列（，），即由每個參與人所選擇的一組混合行動。3、混合行動博弈的結果是一組由每個參與人所采取的行動結果組成的序列。上述定義中引進了新的概念“

13、行動組合”（action profile），用此取代了NFG中的結果。之所以如此，是因為在混合行動的博弈中，參與人選擇的僅僅是采取其策略的概率。因此結果本身也取決于所選策略的概率。在純行動的博弈中，行動組合一詞與結果一詞是指同樣的事，因為不存在不確定性。但在混合行動的博弈中，行動組合一詞用于描述一組由參與人選擇的行動的概率分布。而結果一詞是特指在概率分布確定性后，由參與人采取的一組行動。支付：混合行動博弈中參與人的支付函數是該博弈在純策略下參與人支付的期望值。正規表示如下：對于任意給定的行動組合（，），參與人（）的期望支付由下式給出。 納什均衡：一行動組合（，）（其中）稱為混合行動中的一個納什

14、均衡，如果給定在其他參與人不背離其混合行動情況下，沒有任何參與人會通過背離自己的混合行動而獲益。正規表示如下： 對于任意的 對于任意的求解下列博弈混合行動的均衡。 Y X正面(t1) 反面(t2) 正面(s1) 反面(s2) -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1最優反應函數2.5不完美信息博弈信息集(information set)定義：某參與人的一個信息集是該參與人必須采取行動的決策結的集成體(collection)。當一個參與人到達一個信息集時，該參與人知道自己已經到達某一特定的信息集，但如果該信息集包含一個以上的結，該參與人不知道自己到達了該信息集的哪一個結。不完美信息博弈定義

15、：在擴展式博弈中，若其中一個信息集包括兩個或兩個以上的結(node), 則稱之為不完美信息博弈（Game with imperfect information）。若每個信息集只包括單一的結，則稱之為完美信息博弈（Game with perfect information）。例：Pilot與 Hijacker例中 1F DB NB B NB1有一個單結信息集singleton 2有一個信息集，包括兩個結（nodes）策略定義：在不完美信息博弈中，參與人的一個策略是在該參與人必須決策的一個信息集上，他所選擇的一組行動。注意，與完美信息博弈不同的是在每一個信息集上，而不是在每一決策結上，決策者的一組

16、行動。因為完美信息下的信息集是一個單結信息集(Singleton)。子博弈定義：假設所有后續結不包括在含有子博弈不能到達的結的信息集中，一個子博弈是包括一個單結和所有后續決策結與終點結的一個信息集。（A subgame is an information set that contains a single node, and all the subsequent decision andterminal nodes, provided that all subsequent nodes are not contained in information sets containingnodes

17、 that cannot be reached from the subgame.）例：下列博弈中，A、 和G是子博弈的初始結；B、C、E和F不是子博弈的初始結。第3章壟斷（monopoly）壟斷：一個產業只有一個廠商。壟斷原因：政府特許、取得發明專利、自然壟斷、對投入品的控制。3.1 壟斷者的利潤最大化問題設：總成本函數TC(Q)=F+cQ2市場需求函數P(Q)=a-bQMR=a-2bQ； MC=2cQ 如果Qm=0 其他情況3.2 壟斷與社會福利 福利損失（1）定價行為導致的福利損失P>MC，無謂損失區域為DL。（2）成本扭曲導致的福利損失勸說性廣告過度投資以阻止對手進入或用于阻止進

18、入的其他支出過度R & D（3）尋租行為導致的福利損失勸說議員立法保護壟斷 彌補措施（1）定價導致的福利損失的彌補 一級價格歧視 政府價格調節：MC=P（在遞增或不變成本條件下），或AC=P（在遞減成本條件下） 政府稅收（由于t<0, 實際為補貼）稅收是負值，實際是補貼。解釋如下：由于壟斷定價導致消費者消費太少的產品，為了達到資源有效配置，需要對其補貼、需求與供給價格彈性不同，稅收的影響是不同的（成本對價格影響）。（2）成本扭曲導致福利損失的彌補消除X非效率（3）尋租行為導致福利損失的彌補促進競爭3.3 壟斷條件下的價格歧視假設有一個在兩個不同的市場上銷售產品的壟斷者一階條件：利

19、潤最大化的條件為在市場彈性較小的市場上收取較高的價格。3.4 壟斷條件下的工廠數目多工廠壟斷者類似于卡特爾，不同的是前者各個工廠不是獨立的法人，因此決策者可以關閉某些工廠，達到數目上最優，而后者不行。假定市場需求曲線為P=a-bQ每個工廠的成本函數為 F,C>0, i=1,N即每個工廠邊際成本相同：； 卡特爾=(a- b)()-一階條件：=a-2b-2c=02bNq+2cq=a總產出價格；隨著卡特爾中企業數量的增加，每個企業的產出水平和市場價格下降。因此，每個企業的總收益和利潤必定隨著卡特爾成員數量增加而下降。 多工廠壟斷者壟斷者使每個工廠選擇產出使平均成本最低，又選擇最優工廠數目使每個

20、工廠滿足最佳產出條件。由一階條件：由；最優的工廠數量，隨著需求參數a的增加而增加，隨著每個工廠固定成本參數F的增加而減少。第4章 同質產品市場(Market for Homogeneous Products) 本章開始探討寡頭市場本章所探討的是同質產品的情況，差別產品情況后面將討論本章假定消費者是價格接受者，分別討論產量競爭、價格競爭模型，并將這兩種模型進行比較。4.1 古諾市場結構（Cournot Market Structure)古諾1838年所分析的情況 兩個賣方的博弈假定：成本：市場需求函數P=a-bQ, a,b,>0, 我們用博弈理論分析雙寡頭競爭。寡頭的行動是選擇產量水平，雙

21、寡頭同時作產出決策。利潤函數:均衡的概念：定義：若 (1) 給定，是的解； 給定，是的解；(2)則是古諾-納什均衡(Cournot-Nash equilibrium)即給定對手產量與市場價格條件下，任何企業都不能通過改變自己的產量而使利潤增加。求古諾均衡，分別求出企業1、2的利潤最大的一階條件：=0二階條件：二階條件滿足。由兩個一階條件得到下列兩個最佳反應函數：求最佳反應函數的聯立解得： 若令，則有；勾結說明勾結時的利潤比古諾均衡時更高。若, 說明勾結不是納什均衡。N個賣方的博弈（N1）假定N個企業擁有相同的成本函數分析一家代表性企業即可分析不同成本函數企業，我們將得到N個一階條件（N個最佳反

22、應函數）我們分析企業i（代表性企業） 一階條件： 令，則若N=1，（壟斷）若N=2，（雙寡頭壟斷）若N，（完全競爭） 古諾均衡與福利社會福利用消費者剩余與企業利潤加總表示。消費者剩余：表明消費者剩余隨企業數目增加而增加。社會福利：隨企業數目增加，社會福利增加，盡管企業利潤會隨N增加而下降，但消費者剩余會隨N增加而增加。4.2 序貫行動(Sequential Moves)前面所討論的是靜態博弈，所有企業同時行動（選擇產出）。本節，我們討論的屬于動態博弈，企業先后行動是領導者-跟隨者博弈。斯塔克爾伯格模型（Stackelberg Model）描述的是這種情況。我們討論兩期的模型假定有兩個企業，1為

23、領導者，2為跟隨者。1在一期首先行動，2在2期在觀察了1的產出后隨后行動。2期結束，博弈結束。利用逆向歸納法求解有限次的動態博弈，求子博弈完美均衡（SPE）。先分析2期，2在觀察到1的行動后如何行動，然后再分析1期1如何行動。假定：； （1）2期：2將求自己利潤最大化（給定1的產出）（2）1期：將2的反應函數代入1的利潤函數分析表明，序貫行動的競爭所導致的總產出水平高于同時行動競爭情況下的總產出水平。利潤情況：說明領導者的利潤增加而跟隨者的利潤下降。4.3 伯川德市場結構（Bertrand Market Structure)古諾市場結構中，企業選擇產出水平，價格隨之調整，以出清市場在伯川德市場

24、結構中，企業選擇價格競爭。該模型的倡導者認為，企業競爭中，產出的調整需要存貨變動，這往往需要生產能力的變動。這種調整對于企業而言往往是代價昂貴的，而變動價格則是低成本變動，有時可能只需變動價格標簽。1883年，伯川德在評論古諾的著作時提出了伯川德模型。實際上伯川德是對一般寡頭模型不滿而不僅僅是對古諾模型不滿。兩種模型各有適用的范圍，有些市場是價格競爭，有些是產量競爭。經濟學家的任務是要發現什么市場結構更接近現實。我們以兩寡頭競爭為例，尋找伯川德市場結構下的NE。 假定：關于消費者行為的假定：（1）消費者從售價便宜的企業購買。（2）若兩企業以相同的價格出售，各有一半消費者分別購買企業1與企業2的

25、產品。我們修改此函數以刻畫每個企業面臨的需求量的特征。需求函數 if ; if ; if ; if (4.1) 伯川德-納什均衡定義：若（1）給定使得最大化（2）給定使得最大化（3）由(4.1)式確定則是一個伯川德-納什均衡。上述定義表明，在伯川德-納什均衡中，在給定對手最優定價策略的情況下，任何企業都不可能通過單方面改變價格而獲益。 不存在生產能力限制條件下的伯川德模型伯川德模型中，由(4.1)式，我們看到，支付函數具有非連續性，只要一方把價格提高到對方價格之上一點，其市場份額為0；而降低一點，他將得到全部市場。我們稱企業把價格降低到對手之下的行為為削價銷售。壓價幅度涉及到貨幣單位（交易媒介

26、），若交易媒介可以無限分割，最小貨幣單位0，則交易媒介的變動是連續的，若>0，則交易媒介的變動是離散的（中國交易媒介最小單位是1分）下列命題刻畫了伯川德均衡的特征。命題(Proposition)：若交易媒介的變動是連續的，并且若企業具有相同的成本結構，則伯川德均衡是，同時。即，若企業擁有相同的單位成本，則伯川德均衡價格與總產出水平和競爭均衡的結果相同。換言之，削價銷售使得價格等于邊際成本。在企業1的成本低于企業2的情況下，企業1可以把價格壓到稍稍低于2的成本，以便盡可能獲得更多的利潤。證明：均衡條件下，每個企業的利潤必須非負。因此，首先我們設定在伯川德均衡條件下，兩企業收取同樣的價格。假

27、定不是（有兩種可能或；或）。利用反證法。假定則根據(4.1)，1的市場價格份額與利潤為0。由于交易媒介連續，可以通過壓價到以下即，而獲得全部市場，從而獲全部利潤，這是一個矛盾，即不可能有。即不是一個均衡。利用反證法，假定，企業2可以稍稍提高價格（仍低于1的價格），而獲得整個市場。因此，2有背離這一結果的激勵。所以這不是均衡的結果。既然我們已經確定，利用反證法，假定這顯然不是一個NE，因為企業1與企業2都有背離這一均衡的積極性，企業1只需要令即，則可以奪取整個市場，二者竟相壓價，導致P與C相等。在伯川德模型中，最終的均衡是P=MC，這種種結果稱為伯川德悖論，產生伯川德悖論的原因是該模型假定生產能

28、力不受限制，產品同質，以及一次性博弈。如果放松這些假定則可以解決伯川德悖論問題。我們將分別討論生產能力受到限制，重復博弈，以及差異化產品條件下的博弈情況。我們看到，在這些情況下，伯川德悖論得到解決。如何解決伯川德悖論？有三種方法：（1）埃奇沃思用生產能力限制來解決這一悖論；（2）重復博弈；（3）產品差異化第五章 異質產品市場（Markets for Differentiated Products)本章我們分析生產異質產品的寡頭行為異質產品市場產品相近，但不完全替代我們以下分析將異質產品模型分為兩類，一類是區位模型 (address（location) models)；另一類是非區位模型(Non

29、-address models)。5.1 兩種差別產品模型 需求函數與產品差別的測度假定該產業有兩家企業分別生產兩種產品，一家生產一種產品；假定產品生產的成本為零。（1）反需求函數其中（表示產品自身產量對價格影響大）可以導出直接需求函數：其中, , （2）產品差別的測度測度因子：若0（即，因此c0），則產品為高度差別產品。表明j產品價格變化對i產品需求不發生影響。若1(即，因此Cb)，產品趨于同質，表明j產品價格變化對i產品需求的影響在絕對值上,相當于i產品自身價格變化對于需求的變化。 差別產品的數量博弈求納什均衡一階條件當，產品同質，反應曲線變陡，產出與利潤對于對手產出變化的反應都很敏感；若

30、，則反應函數為常數，兩產品具有完全差別。求解最佳反應函數得到下列結果：， ， ， i=1,2顯然，隨提高（產品趨于同質），單個廠商的產出以及總產出、價格、利潤都將下降。命題：對于生產差別產品的企業來說，產品差別的擴大有利于企業利潤的提高。這一命題的重要性在于它解釋了為何企業花費大量支出用于做廣告，以宣傳其產品的特征。產品差別擴大了企業壟斷力。 差別產品的價格博弈企業把價格作為行動（action）求納什均衡使用直接需求函數：一階條件，i=1,2 ij 0 0 反應曲線向右上方傾斜，與數量競爭的反應相反。從博弈的角度看，有如下定義。（1） 若最佳反應函數向右下傾斜，則稱博弈者的策略為策略替代（st

31、rategic substitutes）；（2） 若最佳反應函數向右上傾斜，則稱博弈者的策略為策略互補（strategic complements）。（與產品之間的替代或互補的概念無關）一般情況下，只要產品屬同類產品（競爭品），則數量競爭的特征為策略替代，價格競爭的特征為策略互補。解上述反應函數得到下式： ，由式可以得到兩點結論 隨上升（即產品趨同）利潤下降因為 當等于時，=0，即產品同質時，利潤為0，結果與同質產品條件下價格競爭的伯川德均衡。命題：在差別產品伯川德博弈中，企業利潤隨產品差別的擴大而提高。 差別產品條件下的古諾均衡與伯川德均衡比較 哪一市場結構導致較高的均衡價格？ 產品差別程度的變化會導致兩市場價格差別發生什么變化？比較古諾與伯川德均衡價格命題：（1） 古諾市場結構下的均衡價格高于伯川德市場結構下的均衡價格。（2） 產品差別越大，古諾均衡價格與伯川德均衡價格差別越小，即 序貫行動的價格博弈（Sequent