1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對(duì)象授課題目 第十二講重積分的計(jì)算方法探討課時(shí)數(shù)4教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握計(jì)算二重積分與三重積分的各種方法。重點(diǎn)難點(diǎn)1.化累次積分計(jì)算二重積分與三重積分2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分3、用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分難點(diǎn)是二重積分與三重積分的計(jì)算技巧教學(xué)提綱第十二講重積分的計(jì)算方法探討一、二重積分的計(jì)算方法二重積分的基本計(jì)算方法有兩種，一是化累次積分的方法,二是極坐標(biāo)的方法。1.化累次積分計(jì)算二重積分2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、二重積分的計(jì)算技巧3.改變累次積分的次序計(jì)算二重積分4.分割積分區(qū)域計(jì)算二重積分5.利用函數(shù)的奇偶性化簡二

2、重積分三、三重積分的計(jì)算1、用函數(shù)奇偶性化簡三重積分2用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分（先1后2，先2后1，）3、用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分4、用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分教學(xué)過程與內(nèi)容教學(xué)后記第十二講重積分的計(jì)算方法探討重積分的計(jì)算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲線積分、曲面積分和概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，分割積分區(qū)域、利用函數(shù)的奇偶性簡化積分和利用對(duì)稱性（輪換）簡化積分是重積分計(jì)算的技巧。一、二重積分的基本計(jì)算方法二重積分的基本計(jì)算方法有兩種，一是化累次積分的方法,二是極坐標(biāo)的方法。1.化累次積分計(jì)算二重積分 X-型區(qū)域: D : j1(x)£y£j2(x), a£x£b . Y

3、 -型區(qū)域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d . 例1： 計(jì)算, 其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域. 【解法一】把D看成是X-型區(qū)域: 1£x£2, 1£y£x . 于是， 【評(píng)注】積分還可以寫成. 【解法二】也可把D看成是Y-型區(qū)域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2. 計(jì)算, D是由直線y=1、x=-1及y=x所圍成的閉區(qū)域. 【解】 畫出區(qū)域D, 可把D看成是X-型區(qū)域: -1£x£1, x£y

4、£1. 于是. 也可D看成是Y-型區(qū)域:-1£y£1, -1£x<y . 于是 . 2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 有些二重積分, 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便, 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r 、q 表達(dá)比較簡單. 這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分. 若積分區(qū)域可表示為 D:j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 則 . 例3. 計(jì)算, 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域. 【解】在極坐標(biāo)系中, 閉區(qū)域D可表示為: 0£r£a , 0

5、3;q £2p . 于是 . 【評(píng)注】 此處積分也常寫成. 例4 求球體x2+y2+z2£4a2被圓柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積. 【解】由對(duì)稱性, 立體體積為第一卦限部分的四倍. , 其中D為半圓周及x軸所圍成的閉區(qū)域. 在極坐標(biāo)系中D可表示為 0£r£2a cosq , . 于是 . 二、二重積分的計(jì)算技巧1.改變累次積分的次序計(jì)算二重積分有些題目若把積分區(qū)域視為X型積分比較困難，甚至積不出來，但視為Y型區(qū)域就好積多了。化累次積分時(shí)，除了看積分區(qū)域外還應(yīng)看被積函數(shù)。例5 計(jì)算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.【

6、解】積分區(qū)域如右圖.因?yàn)楦?hào)下的函數(shù)為關(guān)于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以把D視為Y型區(qū)域 .例6：(1)求(2)，計(jì)算【分析】這兩個(gè)幾分直接計(jì)算都是困難的，但交換累次積分的順序后計(jì)算就簡單多了。2.分割積分區(qū)域計(jì)算二重積分絕對(duì)值函數(shù)、分段函數(shù)、取整函數(shù)，max()，min()往往在積分區(qū)域的不同部分有不同的取值，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)合理分割積分區(qū)域，以正確計(jì)算積分例7設(shè)，表示不超過的最大整數(shù). 計(jì)算二重積分【分析】首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號(hào)，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【解】令， .則 = =【評(píng)注】對(duì)于二重積分（或三重積分）的計(jì)算問題，當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域積分.

7、而實(shí)際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，如取絕對(duì)值函數(shù)、取極值函數(shù)以及取整函數(shù)等等.3.利用函數(shù)的奇偶性化簡二重積分設(shè)函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)，則 （1）如果關(guān)于是奇函數(shù)，并且D關(guān)于Y軸對(duì)稱,則；（2）如果關(guān)于是偶函數(shù)，并且D關(guān)于Y軸對(duì)稱,則。評(píng)論：還有兩條類似的結(jié)論，（1）能簡化二重積分的計(jì)算。例8:設(shè)區(qū)域， 計(jì)算二重積分【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，故可先利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡化所求積分，又積分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分，則將其化為極坐標(biāo)系下累次積分即可.【解】 積分區(qū)域如右圖所示.因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則 ，故. 【評(píng)注】只要見到積分區(qū)域具有對(duì)稱性的二重

8、積分計(jì)算問題，就要想到考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計(jì)算.例設(shè)二元函數(shù) 計(jì)算二重積分，其中【解】由區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性有 其中為D在第一象限的部分. 設(shè) , ,.因此 .例10: 求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.【解】令，由對(duì)稱性，.所以，.三、重積分的計(jì)算1、用函數(shù)奇偶性化簡三重積分對(duì)稱性：若關(guān)于xy(yz或zx)面對(duì)稱，而是z(x或y)的偶（奇）函數(shù)，則（）。例11：(1)設(shè)，求；(2)設(shè)，求。【解】(1)積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱，為的奇函數(shù)，故故原式(2)關(guān)于面對(duì)稱，為的奇

9、函數(shù)，故故2用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系中，可化三重積分為三次積分。設(shè)積分域如圖，則可表示為故 式稱為計(jì)算三重積分的先一后二法。式可進(jìn)一步化為 式即為計(jì)算三重積分的三次積分法。也可表示為，故 式稱為計(jì)算三重積分的先二后一法或切片法。注：用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分的關(guān)鍵是根據(jù)積分區(qū)域的形狀以及被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分組合與次序。例12：求，為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的區(qū)域。【解】故例13、求，為球面及三個(gè)坐標(biāo)面所圍第一卦限部分。【解】故例14、求，由圍成。【解】由對(duì)稱性，因?yàn)殛P(guān)于面對(duì)稱，而分別為的奇函數(shù)，故從而例15：求，由圍成。【解】3、用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分點(diǎn)在面上的投影為，的極坐標(biāo)為，則稱為的柱坐標(biāo)。直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系為.積分域在面上的投影是圓或被積函數(shù)含有時(shí)，適宜用柱坐標(biāo)