1、第四篇 立幾何體第一章 空間幾何體第一講 空間幾何體的直觀圖與三視圖 【考綱要求】：1了解和正方體、球有關的簡單組合體的結構特征，理解柱、錐、臺、球的結構特征。 2能畫出簡單空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。3會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。4能識別三視圖所表示的空間幾何體；理解三視圖和直觀圖的聯系，并能進行轉化。 【要點整合】： 1.基本概念：(1)把物體在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影(2)如果圖形F上的所有點在平面內關于直

2、線l的平行投影構成圖形F，則F叫做圖形F在內關于直線l的平行投影平面叫做投影面，l叫做投影線(3)把光從一點向外散射形成的投影叫做中心投影，一個點光源把一個圖形照射到一個平面上，這個圖形的影子就是它在平面上的中心投影(4)通常，總是選擇三個兩兩互相垂直的平面作為投影面一個投影面水平放置，叫做水平投影面，光線從幾何體的上面向下面正投影，投射到這個平面內的圖形叫做俯視圖一個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面；光線從幾何體的前面向后面正投影，投射到這個平面內的圖形叫做正（主）視圖和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫做側立投影面，通常把這個平面放在直立投影面的右面，光線從幾何體的左面向右面

3、正投影，投射到這個平面內的圖形叫做側（左）視圖將空間圖形向這三個平面作正投影，然后把這三個投影按一定的布局放在一個平面內，這樣構成的圖形叫做空間圖形的三視圖(5)用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖(6)斜二側畫法的規則是：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使xOz90，且yOz90.畫直觀圖時，把Ox、Oy、Oz畫成對應的軸Ox、Oy、Oz，使xOy45(或135)，xOz90，yOz90，xOy所確定的平面表示水平平面已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸，y軸、z軸的線段并使它們和所畫坐標軸的位置關系，與已知圖形中相應線段和原坐

4、標軸的位置關系相同已知圖形中平行于x軸和z軸(或在x軸和z軸上)的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸(或在y軸上)的線段，長度為原來的一半畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖2.基本性質： (1)平行投影的投影線是相互平行的(2)中心投影的投射線是交于一點的3.基本方法： (1)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線，尺寸線用細實線標出(2)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線畫三視圖的基本要求是：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高(3)多面體與旋轉體的組合體畫圖時，應優先考慮多面體的對角面，注意旋

5、轉體軸截面與多面體幾何量之間的聯系4.易錯警示：【例題精析】：考點1：直觀圖和三視圖的概念例1.一個邊長為2的正三角形ABC，其斜二測直觀圖ABC的面積為_解析：原正三角形中邊長為2 作則 點評：不管是已知原幾何圖形研究其直觀圖，還是已知直觀圖研究原幾何圖形，關鍵是把握好斜二側畫法的規則。變式1：如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，D是ABC的BC邊中點，AB、BC分別與y軸、x軸平行，則三條線段AB、AD、AC中 ()A最長的是AB，最短的是ACB最長的是AC，最短的是ABC最長的是AB，最短的是ADD最長的是AC，最短的是AD例2.如圖所示，正四面體ABCD中，S為AD的中點，Q為BC上異于

6、中點和端點的任一點，則SQD在四個面上的射影不可能是()解析：在平面ABC上射影為B，在平面ACD上射影為D(Q射影不可能為C)，在平面ABD上射影為D(Q的射影不可能為B)，在平面BCD上射影為C(S射影不可能為B或C)，故在四個平面上射影都不可能為A.點評：要確定某平面圖形在某一平面上的投影，關鍵是先確定平面圖形上頂點的射影，再利用兩點確定直線的原理確定平面圖形的投影。變式2：如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為3和4，過直角頂點的側棱長為4，且垂直于底面，該三棱錐的正視圖是()考點2：幾何體的直觀圖和三視圖綜合問題例3：已知某幾何體的三視圖如右圖所示，其中俯視圖為正三角形，

7、設D為AA1的中點 (1)作出該幾何體的直觀圖并求其體積(2)求證：平面BB1C1C平面BDC1.(3)BC邊上是否存在點P，使AP平面BDC1？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論解析：由題意可知該幾何體為直三棱柱，且它的直觀圖如圖所示由圖知底面正三角形邊長為2，棱柱高為3，SABC，V3.(2)證明：連結B1C交BC1于E點，則E為B1C、BC1的中點，連結DE.ADA1D，ABA1C1，BADDA1C190，ABDA1C1D.BDC1D.DEBC1.同理，DEB1C，又B1CBC1E.DE平面BB1C1C.又DE平面BDC1，平面BB1C1C平面BDC1.(3)解：取BC的中點P，連

8、結AP，則AP平面BDC1，證明：連結PE，則PEAD，且PEAD，四邊形APED為平行四邊形APDE.又DE平面BDC1，AP 平面BDC1，AP 平面BDC1.點評：直觀圖、三視圖與熟練三視圖和直觀圖的轉化,能正確研究面面垂直和線面平行問題。變式3：已知四棱錐PABCD的直觀圖與三視圖如圖所示，點E為棱AD的中點，在棱PC上是否存在一點F，使得EF平面PBC？若存在，求出線段EF的長度；若不存在，說明理由例4. 如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面（不安裝上底面）.(1)當圓柱底面半徑取何值時，取得最大值

9、？并求出該最大值（結果精確到0.01平方米）;(2)若要制作一個如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于燈籠的三視圖（作圖時，不需考慮骨架等因素）. 點評：熟練三視圖和直觀圖的轉化,能正確研究一些實際問題。變式4：某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖(1)請畫出該安全標識墩的側視圖；(2)求該安全標識墩的體積；(3)證明：直線BD平面PEG.【同步練習】：1.正方體的直觀圖如圖所示，則其展開圖是 ()2. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C

10、1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，則空間四邊形AGFE在該正方體的表面上的正投影不可能是 ()3. 一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為 ()A4812 B4824 C3612 D36244. 將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為 （ ）EFDIAHGBCEFDABC側視圖1圖2BEABEBBECBED5某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為 （ ）A. B. C.

11、4D. 6. 用若干個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，其正視圖、側視圖都如右圖形，對這個幾何體，下列說法正確的是 （ ） A這個幾何體的體積一定是7 B這個幾何體的體積一定是10 C這個幾何體的體積的最小值是6，最大值是10 D這個幾何體的體積的最小值是7，最大值是117. 如圖，分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是_。8. 某幾何體的三視圖如圖(尺寸的長度單位為m)則該幾何體的體積為_m3.9.一個三角形用斜二測畫法畫出來是一個邊長為1的正三角形，則此三角形的面積是 _ 10.若某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是_11.如圖，網格紙的小正方形的邊長

12、是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為 .12. 已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形 (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側面積S13.如下的三個圖中，最左邊的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖它的正視圖和俯視圖在其右側畫出（單位：cm）（）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；（）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（）在所給直觀圖中連結，證明：面46422EDABCFG214. 一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所

13、示（其中M、N、Q分別是AF、BC、FC的中點）. （I）求證：MQBF; （II）求證：MN平面CDE;（）求多面體ACDEF的體積.【變式和練習的答案】：變式1：B 提示：由條件知，原平面圖形中ABAC，從而ABADAC.變式2：B 變式3：EF=.在棱PC上存在點F，使得EF平面PBC.由三視圖知，此四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側棱PA底面ABCD，PA2，AB、AP、AD兩兩互相垂直，以AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)，E(0,1,0)，P(0,0,2)，設F(x，y，z)是PC上的點，則(01)，(x

14、，y，z2)，(2,2，2)，則，F(2，2，22)，(2，21,22)，若EF平面PBC，則，(0,2,0)，(2,2，2)，這時F(1,1,1)，0,1，存在點F且為棱PC的中點，(1,0,1)，EF|.變式4：(1)該安全標識墩側視圖如圖所示(2)該安全標識墩的體積VVPEFGHVABCDEFGH40406040402064000(cm)3.(3)由題設知四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形，FHEG，又ABCDEFGH為長方體，BDFH.設點O是EFGH的對稱中心，PEFGH是正四棱錐，PO平面EFGH.而FH平面EFGH，POFH.FHPO，FHEG，POEGO，PO平面PEG，

15、EG平面PEG，FH平面PEG.而BDFH，故BD平面PEG.1.D 提示：A、C折成正方體后，三個側面小正方形中的線均相連，B折起后，三條線平行，故A、B、C均不對2.B 提示：在上、下兩個面上投影為A，在左、右兩個面上投影為D，在前、后兩個面上投影為C，故不可能為B.3.A 提示：三棱錐如圖所示AO底面BCD，O是BD中點，BCCD6，BCCD，AO4，ABAD.SBCD6618，SABD6412.取AC中點E，連結AE、OE.可得BCAE，AE5，SABCSACD6515，S全181215154812.4.A 提示：解題時只需在題圖的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A.5.C 提示：結合

16、長方體的對角線在三個面的投影來理解計算。如圖設長方體的長寬高分別為，由題意得，所以，當且僅當時取等號。6. D7. 平行四邊形或線段8. 4 提示： 由三視圖知，三棱錐的高為側視圖中直角三角形的豎直邊，底面三角形一邊上的高恰為左視圖中直角三角形的水平邊，其直觀圖如圖所示PF2，CE3，AB4，V2344(m3)9.10.1 提示：11. 提示：畫出直觀圖：圖中四棱錐即是，所以最長的一條棱的長為12. 由已知可得該幾何體是一個底面為矩形,高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD ;(1) (2) 該四棱錐有兩個側面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為 , 另兩個側面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為 ；因此 13.（）如圖4642224622（俯視圖）（正視圖）（側視圖） （）所求多面體體積ABCDEFG（）證明：在長方體中，連結，則因為分別為，中點，所以，從而又平面，所以面14.由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱住ADEBCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2CBF= （I） 取B