1、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形能力培優(yōu)一解答題（共8小題）1如圖所示，一個(gè)四邊形紙片ABCD，B=D=90°，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的B點(diǎn)，AE是折痕（1）試判斷BE與DC的位置關(guān)系；（2）如果C=130°，求AEB的度數(shù)2已知：點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，如圖1，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，以O(shè)B為直角邊作等腰直角OBD，點(diǎn)D在第一象限，連接CD交y軸于點(diǎn)E在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，BE的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出BE的長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說明理由3如圖，在ABC中，ACB=90°，A

2、C=BC，E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)D且ACF=CBE，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，（1）求證：CF=BG；（2）延長(zhǎng)CG交AB于H，連接AG，過點(diǎn)C作CPAG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：PB=CP+CF；4如圖（1），AB=CD，AD=BC，O為AC中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N，那么1與2有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由；若過O點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)至圖（2）、（3）的情況，其余條件不變，那么圖（1）中的1與2的關(guān)系成立嗎？請(qǐng)說明理由5如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，（1）寫出圖中一對(duì)全等的三角形，并寫出它們的所有對(duì)應(yīng)角；（2）設(shè)A

3、ED的度數(shù)為x，ADE的度數(shù)為y，那么1，2的度數(shù)分別是多少？（用含有x或y的代數(shù)式表示）（3）A與1+2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律6在ABC中，AD是ABC的角平分線（1）如圖1，過C作CEAD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若F為CE的中點(diǎn)，連接AF，求證：AFAD；（2）如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過M作MNAD交AC于點(diǎn)N，若AB=4，AC=7，求NC的長(zhǎng)7如圖，在RtABC中，ABC=90°，CD平分ACB交AB于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，BFDE交CD于點(diǎn)F求證：DE=BF8已知：ABC內(nèi)部一點(diǎn)O到兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC求證：AB=AC八年級(jí)數(shù)學(xué)全

4、等三角形能力培優(yōu)參考答案與試題解析一解答題（共8小題）1如圖所示，一個(gè)四邊形紙片ABCD，B=D=90°，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的B點(diǎn)，AE是折痕（1）試判斷BE與DC的位置關(guān)系；（2）如果C=130°，求AEB的度數(shù)【分析】（1）由于AB是AB的折疊后形成的，所以ABE=B=D=90°，BEDC；（2）利用平行線的性質(zhì)和全等三角形求解【解答】解：（1）由于AB是AB的折疊后形成的，ABE=B=D=90°，BEDC；（2）折疊，ABEABE，AEB=AEB，即AEB=BEB，BEDC，BEB=C=130°，AEB=BEB=65

5、°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的B點(diǎn)，則ABEABE，利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及判定求解2已知：點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，如圖1，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，以O(shè)B為直角邊作等腰直角OBD，點(diǎn)D在第一象限，連接CD交y軸于點(diǎn)E在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，BE的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出BE的長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說明理由【分析】（1）過C作CMy軸于M，通過判定BCMABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，進(jìn)而得到OM=3，據(jù)此可得C（1，

6、3）；（2）過C作CMy軸于M，根據(jù)BCMABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定DBECME（AAS），可得BE=EM，進(jìn)而得到BE=BM=2【解答】解：（1）如圖1，過C作CMy軸于MCMy軸，BMC=AOB=90°，ABO+BAO=90°ABC=90°，CBM+ABO=90°，CBM=BAO，在BCM與ABO中，BCMABO（AAS），CM=BO=1，BM=AO=4，OM=3，C（1，3）；（2）在B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，BE長(zhǎng)保持不變，BE的長(zhǎng)為2，理由：如圖2，過C作CMy軸于M，由（1）可知：BCMABO，CM=BO，BM=OA=4BDO是等腰

7、直角三角形，BO=BD，DBO=90°，CM=BD，DBE=CME=90°，在DBE與CME中，DBECME（AAS），BE=EM，BE=BM=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法，判定DBECME是解第（2）題的關(guān)鍵3如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)D且ACF=CBE，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，（1）求證：CF=BG；（2）延長(zhǎng)CG交AB于H，連接AG，過點(diǎn)C作CPAG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：PB=CP+CF；（3）在（

8、2）問的條件下，當(dāng)GAC=2FCH時(shí)，若SAEG=3，BG=6，求AC的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)ASA證明BCGCAF，則CF=BG；（2）先證明ACGBCG，得CAG=CBE，再證明PCG=PGC，即可得出結(jié)論；（3）作AEG的高線EM，根據(jù)角的大小關(guān)系得出CAG=30°，根據(jù)面積求出EM的長(zhǎng)，利用30°角的三角函數(shù)值依次求AE、EG、BE的長(zhǎng)，所以CE=3+，根據(jù)線段的和得出AC的長(zhǎng)【解答】證明：（1）如圖1，ACB=90°，AC=BC，A=45°，CG平分ACB，ACG=BCG=45°，A=BCG，在BCG和CAF中，BCGCAF（ASA），

9、CF=BG；（2）如圖2，PCAG，PCA=CAG，AC=BC，ACG=BCG，CG=CG，ACGBCG，CAG=CBE，PCG=PCA+ACG=CAG+45°=CBE+45°，PGC=GCB+CBE=CBE+45°，PCG=PGC，PC=PG，PB=BG+PG，BG=CF，PB=CF+CP；（3）如圖3，過E作EMAG，交AG于M，SAEG=AGEM=3，由（2）得：ACGBCG，BG=AG=6，×6×EM=3，EM=，設(shè)FCH=x°，則GAC=2x°，ACF=EBC=GAC=2x°，ACH=45°，2

10、x+x=45，x=15，ACF=GAC=30°，在RtAEM中，AE=2EM=2，AM=3，M是AG的中點(diǎn)，AE=EG=2，BE=BG+EG=6+2，在RtECB中，EBC=30°，CE=BE=3+，AC=AE+EC=2+3+=3+3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明兩線段相等時(shí)，一般都是證明兩線段所在的三角形全等，因此第一問只需要證明BCGCAF即可；第3問，如何得出30°角和作輔助線，利用到SAEG=3列式是突破口4如圖（1），AB=CD，AD=BC，O為AC中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N，那么1與2有什么關(guān)

11、系？請(qǐng)說明理由；若過O點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)至圖（2）、（3）的情況，其余條件不變，那么圖（1）中的1與2的關(guān)系成立嗎？請(qǐng)說明理由【分析】（1）證明三角形ACD和CAB全等根據(jù)全等三角形判定中的SSS可得出兩三角形全等，那么就能證出ADBC，也就得出1=2了（2）（3）和（1）的證法完全一樣【解答】解：1與2相等證明：在ADC與CBA中，ADCCBA（SSS）DAC=BCADABC1=2圖形同理可證，ADCCBA得到DAC=BCA，則DABC，1=2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和平行線的判定，根據(jù)全等三角形得出角相等是解題的關(guān)鍵5如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，（

12、1）寫出圖中一對(duì)全等的三角形，并寫出它們的所有對(duì)應(yīng)角；（2）設(shè)AED的度數(shù)為x，ADE的度數(shù)為y，那么1，2的度數(shù)分別是多少？（用含有x或y的代數(shù)式表示）（3）A與1+2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律【分析】（1）根據(jù)折疊就可寫出一對(duì)全等三角形，根據(jù)折疊，則重合的頂點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，重合的角是對(duì)應(yīng)角；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及平角的定義進(jìn)行表示；（3）根據(jù)（2）中的表示方法，可以求得1+2，再找到A和x、y之間的關(guān)系，就可建立它們之間的聯(lián)系【解答】解：（1）EADEA'D，其中EAD=EA'D，AED=A'ED，ADE=A'DE；（2）1=

13、180°2x，2=180°2y；（3）1+2=360°2（x+y）=360°2（180°A）=2A規(guī)律為：1+2=2A【點(diǎn)評(píng)】在研究折疊問題時(shí)，有全等形出現(xiàn)，要充分利用全等的性質(zhì)6在ABC中，AD是ABC的角平分線（1）如圖1，過C作CEAD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若F為CE的中點(diǎn)，連接AF，求證：AFAD；（2）如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過M作MNAD交AC于點(diǎn)N，若AB=4，AC=7，求NC的長(zhǎng)【分析】（1）推出3=E，推出AC=AE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出AFCE，根據(jù)平行線性質(zhì)推出即可；（2）延長(zhǎng)BA與MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過B作BFAC交NM延

14、長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF設(shè)CN=x，則BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x得出方程4+7x=x求出即可【解答】（1證明：AD為ABC的角平分線，1=2CEAD，1=E，2=3E=3AC=AEF為EC的中點(diǎn)，AFEC，ADEC，AFE=FAD=90°AFAD（2）解：延長(zhǎng)BA與MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過B作BFAC交NM延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，3=C，F(xiàn)=4M為BC的中點(diǎn)BM=CM在BFM和CNM中，BFMCNM（AAS），BF=CN，MNAD，1=E，2=4=5E=5=FAE=AN，BE=BF設(shè)CN=x，則BF=x，AE=AN=ACCN=7x，B

15、E=AB+AE=4+7x4+7x=x解得 x=5.5CN=5.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用7如圖，在RtABC中，ABC=90°，CD平分ACB交AB于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，BFDE交CD于點(diǎn)F求證：DE=BF【分析】根據(jù)角平分線的定義得到1=2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=BD，3=4，由平行線的性質(zhì)得到3=5，于是得到結(jié)論【解答】證明：CD平分ACB，1=2，DEAC，ABC=90°DE=BD，3=4，BFDE，4=5，3=5，BD=BF，DE=BF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵8已知：ABC內(nèi)部一點(diǎn)O