1、 2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽公交公司車輛調(diào)度方案設(shè)計(jì)參賽隊(duì)員：林大海 徐文溢 賴清文指導(dǎo)老師：江西財(cái)經(jīng)大學(xué)建模指導(dǎo)組江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院，江西南昌，330013公交公司車輛調(diào)度方案設(shè)計(jì)【摘要】公共交通本文根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和所提供的數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，利用三次樣條插值的方法求出了每個(gè)車站上下車的流量函數(shù)和，進(jìn)而求出描述每個(gè)車站的客流量變化的客流密度函數(shù)和，根據(jù)客流密度函數(shù)可以求出任一時(shí)間段的候車人數(shù)。模型一是一個(gè)很直觀的結(jié)果，只要逐個(gè)滿足各個(gè)車站乘客的要求，即從起點(diǎn)站開始只要候車人數(shù)超過(guò)120人或距上次發(fā)車時(shí)間超過(guò)10分鐘就發(fā)車，后面的站點(diǎn)若出現(xiàn)有乘客滯留則向起點(diǎn)站要求追加車輛（在現(xiàn)實(shí)中則是提前追

2、加），直至所有的乘客被運(yùn)走。應(yīng)用模型一，求出了該條線路上共需車輛62輛，其中上行方向始發(fā)站初始停放57輛，下行方向始發(fā)站初始停放5輛，每天上行方向共需發(fā)車233次，下行方向共需發(fā)車226次，顧客不滿意度為：,公交公司的不滿意度為：為了模擬車站、汽車和乘客在整個(gè)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)過(guò)程，建立了模型二，模型二給出了4個(gè)很重要的函數(shù)，對(duì)這個(gè)模型的求解可得到整條線路的調(diào)度過(guò)程，同時(shí)，該模型不僅可以用來(lái)確定發(fā)車的時(shí)間和間隔，而且可以用來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)新的調(diào)度方案是否合理。模型二具有一定的實(shí)際意義。另外模型二也給出了求該條線路上需要的汽車數(shù)量任務(wù)，將模型二應(yīng)用于原問(wèn)題，得到從任一時(shí)刻發(fā)車后的公交公司共需車輛57輛，上行

3、始發(fā)站初始停48輛，下行始發(fā)站初始停放9輛，每天上行和下行均需發(fā)車238次，模顧客不滿意度為：,公交公司的不滿意度為：附錄1給出了由模型二制作的發(fā)車時(shí)刻表。只是這張發(fā)車時(shí)刻表的時(shí)間間隔很不均勻，既不適合公交公司調(diào)度，也不利于乘客搭車，為了便于實(shí)際應(yīng)用，對(duì)這張時(shí)刻表進(jìn)行了改進(jìn)，并經(jīng)過(guò)了模型二的檢驗(yàn)。改進(jìn)后的發(fā)車時(shí)刻表只要54輛甚至更少的車就可以滿足運(yùn)行要求，并且它的時(shí)間也比較有規(guī)律，對(duì)調(diào)度人員和乘客來(lái)說(shuō)都比較容易掌握，且顧客不滿意度為：,公交公司的滿意度為：，可見(jiàn)公交公司的滿意度提高了。【關(guān)鍵詞】流量，客流密度，三次樣條插值，調(diào)度，滿意度公交公司車輛調(diào)度方案設(shè)計(jì)問(wèn)題的提出優(yōu)先發(fā)展公共交通的交通政

4、策是解決城市交通問(wèn)題的根本途徑，不論是在我國(guó)或者是在外國(guó)都是如此。公共交通是城市交通的重要組成部分，作好公交車的調(diào)度對(duì)于完善城市交通環(huán)境、改進(jìn)市民出行狀況、提高公交公司的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益，都具有重要意義。下面考慮一條公交線路上公交車的調(diào)度問(wèn)題，其數(shù)據(jù)來(lái)自我國(guó)一座特大城市某條公交線路的客流調(diào)查和運(yùn)營(yíng)資料。該條公交線路上行方向共14站，下行方向共13站，已經(jīng)給出的是典型的一個(gè)工作日兩個(gè)運(yùn)行方向各站上下車的數(shù)量統(tǒng)計(jì)。公交公司配給該線路同一型號(hào)的大客車，每輛車標(biāo)準(zhǔn)載客100人，據(jù)統(tǒng)計(jì)客車在該線路上運(yùn)行的平均速度為20公里/小時(shí)。運(yùn)營(yíng)調(diào)度要求，候車時(shí)間一般不要超過(guò)10分鐘，早高峰時(shí)一般不要超過(guò)5分鐘，車輛

5、滿載率不應(yīng)超過(guò)120%，一般也不要低于50%。根據(jù)提供的資料和要求，為該線路設(shè)計(jì)一個(gè)便于操作的全天（工作日）的公交車調(diào)度方案，包括兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車時(shí)刻表；一共需要多少輛車；以使這個(gè)方案更大程度上程度照顧到了顧客和公交公司雙方的利益。問(wèn)題的分析問(wèn)題相關(guān)因素分析：1、與公共汽車有關(guān)的因素離開公共汽車總站的時(shí)間、到達(dá)每一汽車站的時(shí)間、在每一汽車站下車的乘客數(shù)、在每一汽車站停留的時(shí)間、載客總數(shù)、最大容量、行進(jìn)速度、交通條件；2、 與乘客有關(guān)的因素到達(dá)某一車站的時(shí)間、乘車距離（站數(shù)）、等車的時(shí)間、總的旅行時(shí)間；3、 與車站有關(guān)的因素線路上汽車站的位置、從上一輛車離開車站后過(guò)去的時(shí)間、乘客到來(lái)的頻率、下一

6、輛車到來(lái)時(shí)正在等車的乘客數(shù)、車站之間的距離。數(shù)據(jù)的規(guī)律分析與處理：從問(wèn)題給定的數(shù)據(jù)中我們可以看出1、 早500 600 和晚上 2200 2300乘客較少，在要求不是很嚴(yán)格的情況下，可以放在一起考慮，但如果單獨(dú)考慮效果可能更佳。2、 早600 900 和下午 1600 1800正處于上、下班的時(shí)間，屬客流的高峰期，在這段時(shí)間內(nèi)的發(fā)車密度相對(duì)較高，以保證乘客在較快的時(shí)間內(nèi)乘車到達(dá)目的地。3、 就下行方向來(lái)說(shuō) 在站點(diǎn)A0上車的人最多，其次是站點(diǎn)A6和站點(diǎn)A3；在站點(diǎn)A13下車的人最多，其次是站點(diǎn)A5、站點(diǎn)A6和站點(diǎn)A7。4、 就上行方向來(lái)說(shuō)在站點(diǎn)A13上車的人最多，其次是站點(diǎn)A9、站點(diǎn)A8、站點(diǎn)A

7、6和站點(diǎn)A5；在站點(diǎn)A1下車的人最多，其次是站點(diǎn)A6、站點(diǎn)A0、站點(diǎn)A8和站點(diǎn)A7。 另外，由于題中所給數(shù)據(jù)均是在一個(gè)時(shí)組內(nèi)上下車總?cè)藬?shù)，而在一個(gè)時(shí)組內(nèi)需要發(fā)幾輛車，所以必須將已知數(shù)據(jù)離散化。分析上行方向起點(diǎn)站A13在各時(shí)段的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在：上車的人數(shù)呈先遞增后遞減的趨勢(shì)，如在7：008：00之間共有人上車，而在600700之間共有1990人上車，根據(jù)在這段時(shí)間內(nèi)上車人數(shù)遞增的趨勢(shì)，這些人多數(shù)會(huì)在后段時(shí)間上車，而只有少數(shù)在前段時(shí)間到達(dá)；又如在800 900之間的人多數(shù)人會(huì)在前段時(shí)間上車也就是說(shuō)相鄰三段時(shí)組的客流是相互聯(lián)系、相互影響的。分析其他時(shí)段以及其余車站的情形也是如此。因此，使用已知數(shù)據(jù)分別

8、進(jìn)行三次樣條插值可得到上行、下行方向上車和下車的人數(shù)各站點(diǎn)隨時(shí)間的變化函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)后可得客流密度，而在本題中我們采用三次樣條插值的方法來(lái)獲得乘客上車數(shù)據(jù)。顧客的滿意度：作為顧客，他們所關(guān)心的主要是兩個(gè)方面的問(wèn)題：等待時(shí)間和所乘汽車的擁擠度.如果我們能保證顧客在十分鐘內(nèi)能搭上車（早高峰時(shí)5分鐘內(nèi)能搭上車），顧客一般比較滿意，但如果要等的車來(lái)了，卻搭不上則會(huì)使顧客很不滿意。公交公司的滿意度：作為公交公司由于顧客的總量一般不會(huì)發(fā)生變化，即收益不會(huì)發(fā)生變化，所以其所追求的是發(fā)出車次及使用車輛數(shù)的極小化（但必須保證將所有的顧客運(yùn)送至目的地），即成本的極小化。模型的假設(shè)我們作如下假設(shè)：1、 不存在交通堵

9、塞；2、 大客車按勻速20公里/小時(shí)行駛，乘客上下車的時(shí)間以及大客車在各個(gè)站上的停留時(shí)間忽略不計(jì)；3、 大客車到終點(diǎn)站后的調(diào)頭時(shí)間忽略不計(jì)，司機(jī)和售票員的換班時(shí)間也忽略不計(jì)；4、 客流量是連續(xù)變化的，并且客流量的變化率也連續(xù)變化；由于在該線路上的客流量相當(dāng)大，每天的客流量達(dá)到十萬(wàn)余人，因此可以認(rèn)為在相鄰的單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)車站的人數(shù)應(yīng)該近似于連續(xù)變化，這是合理的。5、 顧客一般會(huì)按先來(lái)后到上車。6、 乘客不會(huì)因?yàn)榈却龝r(shí)間過(guò)長(zhǎng)而改乘其它交通工具（例如出租汽車等）；7、 表中數(shù)據(jù)的上車人數(shù)為到站人數(shù)（由于不改乘其他交通工具，因此上車人數(shù)就是到站人數(shù)，）。8、 每車次的費(fèi)用相同，與乘客的數(shù)量無(wú)關(guān)；9、

10、為便于操作，發(fā)車的時(shí)間間隔為整分鐘。即不會(huì)安排在類似于6時(shí)12分24秒的時(shí)間發(fā)車；10、 所給的數(shù)據(jù)能近似代表一般情形；11、 在線路的兩端都設(shè)有停車場(chǎng)，且容量足夠使用；12、 候車時(shí)間在早高峰時(shí)不超過(guò)5分鐘，其他時(shí)刻不超過(guò)10分鐘時(shí)認(rèn)為顧客滿意。客流密度：在較短的單位時(shí)間內(nèi)（如1分鐘內(nèi)）上車（到站）或下車的人數(shù)； 流 量：指從初始時(shí)刻到某時(shí)刻的上車（到站）或下車的乘客的累積人數(shù)。符號(hào)說(shuō)明：公交車的頭班車和末班車發(fā)車時(shí)間：大客車的限制載客量；：表示從起點(diǎn)站至第站大客車運(yùn)行的時(shí)間，；：采集的樣本容量；：?jiǎn)螚l線路上的車站數(shù)量；：表示第站第時(shí)段上車乘客的人數(shù)；：表示第站第時(shí)段下車乘客的人數(shù)；：表示第

11、站第1至第時(shí)段上車乘客的流量；：表示第站第1至第時(shí)段下車乘客的流量；：表示第站時(shí)刻上車乘客的流量；：表示第站時(shí)刻下車乘客的流量；：表示時(shí)刻第站新增加的乘客人數(shù)；：表示時(shí)刻第站的下車人數(shù)；：表示第次發(fā)出的車在停靠第個(gè)車站時(shí)第站正在候車的人數(shù)，這批乘客應(yīng)盡量乘坐該次車；：表示第次發(fā)出的車在離開第個(gè)車站時(shí)該車站尚未上車的人數(shù)；：表示第次發(fā)出的車在離開第個(gè)車站后車上的乘客數(shù)；：表示第站時(shí)刻上車乘客的客流密度；：表示第站時(shí)刻下車乘客的客流密度；模型的建立和求解從初始時(shí)刻至?xí)r段在第個(gè)車站上車的累積人數(shù)為 ， -（1）從初始時(shí)刻至?xí)r段在第個(gè)車站下車的累積人數(shù)為 ， -（2）在問(wèn)題的分析中我們已經(jīng)知道，乘客上

12、車或下車的流量變化可近似看作是連續(xù)變化的，并且乘客的客流密度也可以近似看作是連續(xù)變化的，因此如果分別作，（）的三次樣條插值，可得第個(gè)車站在任意時(shí)刻的上車流量函數(shù)和下車流量函數(shù)，并且相應(yīng)的客流密度函數(shù)分別為 -（3） -（4）以上結(jié)果使用于任意個(gè)車站和任意采集數(shù)據(jù)的情形。用MATLAB軟件可以得到上行方向和下行方向各車站上下車的流量和客流密度的數(shù)值解，本文取步長(zhǎng)為1分鐘，圖（1）和圖（2）分別上行方向起點(diǎn)站A13上車的流量和客流密度曲線。圖（1） 上行方向起點(diǎn)站A13的上車流量 圖（2） 上行方向起點(diǎn)站A13的上車客流密度模型一（即時(shí)需求法）即時(shí)需求法的意思是哪個(gè)站點(diǎn)的候車人數(shù)達(dá)到指定的上限即有

13、車準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，故稱為即時(shí)需求法。假定問(wèn)題給出的各時(shí)段上車人數(shù)近似為相應(yīng)時(shí)段到達(dá)車站的人數(shù)，為了使乘客盡快上車，假設(shè)發(fā)車條件為：（1）只要始發(fā)站的候車乘客數(shù)累積達(dá)到120人即發(fā)車； （2）只要某車站的候車乘客數(shù)累積達(dá)到120人即增發(fā)一輛空車到該站；（3）或者距離上次發(fā)車時(shí)間達(dá)到10分鐘；（4）5時(shí)整和23時(shí)整發(fā)首班車和末班車。求出需要多少車次才能運(yùn)走始發(fā)站的乘客及相應(yīng)的發(fā)車時(shí)間。然后在此基礎(chǔ)上，求出需要追加多少車次才能運(yùn)走后面車站的乘客及相應(yīng)的發(fā)車時(shí)間。如此反復(fù)，直到求出最后一站所需追加的車次及相應(yīng)的發(fā)車時(shí)間。為了求解的簡(jiǎn)便，假定在各整點(diǎn)時(shí)間之間到達(dá)車站的人數(shù)為問(wèn)題所給定的相應(yīng)時(shí)段的上車人數(shù)。給出

14、數(shù)據(jù)時(shí)假定了上車人數(shù)為到達(dá)車站的人數(shù)，求出需要多少車次才能運(yùn)走始發(fā)站的乘客及相應(yīng)的發(fā)車時(shí)間。然后在此基礎(chǔ)上，求出需要追加多少車次才能運(yùn)走后面車站的乘客及相應(yīng)的發(fā)車時(shí)間。如此反復(fù)，直到求出最后一站所需追加的車次及相應(yīng)的發(fā)車時(shí)間。模型設(shè)計(jì)及求解步驟為：1、首先考慮始發(fā)站點(diǎn)A13，按照時(shí)間順序，當(dāng)站點(diǎn)A13的累計(jì)候車人數(shù)達(dá)到120人，或發(fā)車時(shí)間間隔達(dá)到10分鐘時(shí)，發(fā)出一輛公交車。根據(jù)乘客到達(dá)車站的時(shí)間可以求出發(fā)車時(shí)間。2、對(duì)于站點(diǎn)A12，由于站點(diǎn)A13發(fā)出的車基本上是滿載（客流量較少時(shí)例外），而在A12下車的乘客留出的空位很難滿足A12要上車乘客的需求，因此可以求出當(dāng)A12的候車?yán)鄯e人數(shù)到達(dá)120人

15、的時(shí)間，以便提前從A13向A12直接發(fā)出空車運(yùn)送A12的乘客，以使A12的乘客候車時(shí)間不要太長(zhǎng)。3、依此類推，求出增發(fā)至A11至A1各站的發(fā)車時(shí)間，并按此方案設(shè)計(jì)出全天的公交車調(diào)度方案。利用MATLAB軟件編寫求解模型一的程序，部分結(jié)果如下（程序參見(jiàn)附錄 ）：全天共需發(fā)車總次數(shù)為459次，其中上行方向由A13發(fā)出233次，下行方向由A0發(fā)出 226次；上行方向發(fā)出的233車次中，有51車次需要直接加發(fā)至其他站點(diǎn)，有191車次是嚴(yán)重滿載，發(fā)車時(shí)即為120人；下行方向發(fā)出的226車次中，有31車次需要直接加發(fā)至其他站點(diǎn)，有196車次是嚴(yán)重滿載，發(fā)車時(shí)即為120人；為了保證模型一設(shè)計(jì)出的調(diào)度方案能順

16、利實(shí)行，全線路至少需要62輛大客車，其中在站點(diǎn)A13處停放57輛，在站點(diǎn)A0處停放5輛。 模型二 模型一的結(jié)果中出現(xiàn)了大量的設(shè)第次發(fā)車的時(shí)間為，根據(jù)符號(hào)系統(tǒng)的定義不難得到第站要求上第次車的乘客數(shù) -（5）第站要求下第次車的乘客數(shù) -(6)第次車停靠第站經(jīng)過(guò)下車后的車上剩余乘客數(shù) 第次車停靠第站經(jīng)過(guò)上下車后的車上乘客數(shù) -(7)第次車離開第站時(shí)第站尚未上車的人數(shù) -(8),并且規(guī)定.(5)(8)式描述了動(dòng)態(tài)的車站及車上的乘客數(shù)量的變化。只要知道有了車輛的調(diào)度表，那么每輛車的運(yùn)行狀態(tài)便可知。我們用單位時(shí)間推移搜索法求解該模型設(shè)為第次發(fā)車的時(shí)間，顯然 （頭班車），如果確定一個(gè)可操作的最小時(shí)間間隔為，

17、假設(shè)下一次發(fā)車時(shí)間為，如果存在一個(gè)站點(diǎn)，使得，即保證第2次發(fā)出的車能充分利用，否則，并依次類推，直到第2次發(fā)車時(shí)，并且保證小于規(guī)定的發(fā)車間隔，這樣可依次獲得，直到并令（末班車），即為全天所需發(fā)出的車次，對(duì)于上行方向和下行方向以上模型和解法都較實(shí)用。假設(shè)線路兩端都設(shè)有停車場(chǎng)，在發(fā)出頭班車前分別有大客車輛，隨著車輛的運(yùn)行，兩個(gè)停車場(chǎng)的車輛數(shù)不斷發(fā)生變化，模型求解中已經(jīng)解出了發(fā)車時(shí)間表（調(diào)度表），而且車輛在兩停車場(chǎng)之間的運(yùn)行時(shí)間也是確定的，如果發(fā)出一輛車則停車數(shù)量減1，而到達(dá)一輛車則停車數(shù)量加1，并令兩個(gè)停車場(chǎng)的最少停車數(shù)量為零，求出，那么公交公司應(yīng)投入的并滿足調(diào)度表的最少大客車數(shù)為。根據(jù)問(wèn)題所給的

18、數(shù)據(jù)和我們的假設(shè)，頭班車和末班車的發(fā)車時(shí)間分別為時(shí)和時(shí)；發(fā)車最大的間隔時(shí)間為10分鐘，大客車最大限制載客量為人，時(shí)間推移的最小步長(zhǎng)為分鐘。應(yīng)用MATLAB軟件可以得到如下結(jié)果（具體程序見(jiàn)附錄 ）應(yīng)用模型二全天共需發(fā)車總次數(shù)為444次，其中上行方向由A13發(fā)出224次，下行方向由A0發(fā)出 220次；為了保證模型二設(shè)計(jì)出的調(diào)度方案能順利實(shí)行，全線路至少需要54輛大客車，其中在站點(diǎn)A13處停放49輛，在站點(diǎn)A0處停放5輛。模型三實(shí)際生活中，我們發(fā)現(xiàn)公交車發(fā)車的間隔往往較為均勻，因此我們根據(jù)模型二的結(jié)果確定各個(gè)時(shí)間段的發(fā)車時(shí)間間隔（一個(gè)時(shí)間段統(tǒng)一使用一個(gè)時(shí)間間隔）。并且經(jīng)過(guò)逐步修改使得所需車輛數(shù)較少又

19、不會(huì)使車次數(shù)增加的太多。所得的發(fā)車時(shí)刻表如下：模型評(píng)價(jià)和改進(jìn)結(jié)果評(píng)價(jià)模型一方法簡(jiǎn)單，思路清晰，但也存在與實(shí)際嚴(yán)重不符的缺點(diǎn)：由于補(bǔ)發(fā)的車輛是從起點(diǎn)站由于補(bǔ)發(fā)的車輛是為運(yùn)載后面各站上的顧客而發(fā)出的，理論上，我們不希望補(bǔ)發(fā)的車輛在前面的站上載運(yùn)客人從而減少了后面站點(diǎn)能上車的人數(shù) ，但實(shí)際上補(bǔ)發(fā)車輛在經(jīng)過(guò)前面站點(diǎn)時(shí)會(huì)裝載少量顧客，至使后面站上一部分顧客等待較長(zhǎng)時(shí)間，為解決這個(gè)問(wèn)題，我們提出了模型二。采用模型二處理的結(jié)果，是將汽車從發(fā)出到到達(dá)終點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程作為考慮對(duì)象，當(dāng)其間的車上人數(shù)達(dá)到最大時(shí)，若這個(gè)最大值為汽車載客量的限額（120），則發(fā)出汽車（除等待時(shí)間超過(guò)十分鐘外），從而使這個(gè)過(guò)程更符合實(shí)際情況，一般不會(huì)發(fā)生前面站點(diǎn)上的人占滿了汽車，阻止后面車站上的人上車的情況，有利于協(xié)調(diào)各站點(diǎn)上顧客的上車要求，避免了厚前而薄后。但模型二也不是非常完美：首先，這樣的時(shí)刻表很不好記，不利于乘客搭車。實(shí)際情況中發(fā)車間隔往往比較均勻，以便于公司安排和顧客按時(shí)到站。其次，這樣安