反常積分習題1_第1頁
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1 反常積分概念1、討論下列無窮積分是否收斂？若收斂，則求其值：（1）； （2） （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）解（1）因為 故收斂，其值為。（2）=故收斂，其值為0。（3）故收斂，其值為2。（4）因此收斂，其值為。（5）所以收斂，其值為（6）因為從而故 可見收斂，其值為（7）因為所以于是因最后的極限不存在，故發散（8）因為最后的極限不存在，故不收斂2、討論下列瑕積分是否收斂？若收斂，則求其值：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6） （7）； （8）；解（1）當時，有=。因最后的極限不存在，故當時，發散。當時，有 故僅當時，收斂，其值為（2）因為。因最后的極限不存在，故發散。（3）因為故收斂，其值為4。（4）因為故收斂，其值為1（5）因為因此收斂，其值為1。（6）因為，故收斂，其值為。（7）因為因此收斂，其值為。（8）當時，極限不存在。當時，極限不存在。當時，極限不存在。綜上可知：不收斂。3、舉例說明：瑕積分收斂時，不一定收斂。解 在習題2中，令，則收斂，但發散。4、舉例說明：收斂且在上連續時，不一定有。解 令則但極限不存在。5、證明：若收斂，且存在極限則A=0證 由于存在，設不妨設。對，使得當時，從而有,與收斂矛盾。故。6、證明：若在上可導，且與都收斂，則。證 由收斂，由柯西準

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