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文檔簡介

1、講 授 內 容備 注第二十二講例15設試證：與同時收斂，同時發散證 ，故或若，而由判別法知，收斂從而由知與同時收斂若則，當時，有而發散由比較判別法知發散于是發散同理而發散 所以發散于是發散綜合，知，兩個積分同時收斂，同時發散例16 討論如下積分的斂散性： 1） 2） 3） 解 1）為非負函數的積分，用比較判別法由不等式知時，積分收斂從而收斂若時，積分發散，由例16知發散，從而發散2） 利用1）的結果及等式可知，積分當且僅當時收斂 3）時，不是瑕點，斂散性與2）相同例17 證明如下積分收斂：證 設，積分其中 ，由準則知，積分收斂三、無窮限的廣義積分的收斂性與無窮遠處的極限本段討論收斂與的關系1）

2、收斂，一般不意味著如： 收斂 但 2）收斂，且，仍不能斷言如：3）收斂，且，連續，還可能如：收斂4）上述條件，將改為，仍然不能肯定如：其中按3）中的同樣的方式定義5）若單調，收斂，則6）若在上一致連續（或更強些，有有界的導數），則收斂，推出例18 試證：若在上一致連續，且廣義積分收斂，則證 （反證法）若，則，時，有又在上一致連續，當時，有故當時，并且與同號（因為不然的話，與（）式矛盾）若，則，從而由（2）式知，故 同理，若，亦有即 對，使得由準則知，發散矛盾，證畢例19 證明：若在上連續可微，和都收斂，則證 要證明時，由有極限，根據定理，只要證明 ：，恒有收斂已知積分收斂，據準則，恒有如此：，對上述，當時，有從而即收斂故由定理，存在極限下證若，則由極限的保號性，當時，從而時，與收斂矛盾同理可證：也不可能故例20 設在上單調減，且收斂試證明：證由題設若不然，存在某，使，則當時，恒有由在上單調減，必有從而發散，與已知結論5）矛盾其次，由收斂，據準則知，當時，恒有故，有即例21 設收斂，在上單調下降，證明：證 收斂由準則知，當時，恒有故時， 即 注：由在上單調減，可推出在上單調減事實上，由在上單調減， 而即在上單調減由在上單調減，收斂，可推出練習題1 計算；2計算；3設在上可微，且當時，單調增趨于，則和都收斂4證明：其中左，右積分存在，且5設是上的非負連續函數，并滿足（1）在上

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