1、1.定義法：設為數(shù)列，為定數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當時，有，則稱數(shù)列收斂于.記作：.否則稱為發(fā)散數(shù)列.例1.求證其中. 證：當時，結(jié)論顯然成立. 當時，記，則，由 得，任給，則當時，就有，即即 當 綜上，例2.求 解：< 2.利用柯西收斂準則柯西收斂準則：數(shù)列收斂的充要條件是：正整數(shù)，使得當時，有.例3.證明：數(shù)列為收斂數(shù)列. 證，取，當時，有由柯西收斂準則，數(shù)列收斂.例4.（有界變差數(shù)列收斂定理）若數(shù)列滿足條件 ，則稱為有界變差數(shù)列，試證：有界變差數(shù)列一定收斂證：令那么單調(diào)遞增，由已知知有界，故收斂，從而正整數(shù)，使得當時，有 此即由柯西收斂準則，數(shù)列收斂.注：柯西收斂準則

2、把定義中的與a的關系換成了與的關系，其優(yōu)點在于無需借用數(shù)列以外的數(shù)a只需根據(jù)數(shù)列本身的特征就可鑒別其斂散性.3運用單調(diào)有界定理 單調(diào)有界定理：在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極.例5.證明數(shù)列（n個根式,a>0,n=1,2,）極限存在，并求.證：由假設知 （1） 用數(shù)學歸納法易證： 此即證單調(diào)遞增.用數(shù)學歸納法可證， 事實上， 由（1）（2）證得單調(diào)遞增有上界，從而存在，對（1）式兩邊取極限得 ,解得和（舍去）.4利用迫斂性準則（即兩邊夾法）迫斂性：設數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N，當n>N時，有，則數(shù)列收斂，且.例6.求解：記，則 由迫斂性得=.注：迫斂性在求數(shù)列極限中應用廣

3、泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎性的作用.5利用定積分的定義計算極限黎曼積分定義：設為定義在上的一個函數(shù)，J為一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任意分割T,以及在其上任意選取的點集,只要T<，就有，則稱函數(shù)在上（黎曼）可積，數(shù)J為在上的定積分，記作.例7. 解：原式= = =例8.求 解：因為又 =同理由迫斂性得=.注：數(shù)列極限為“有無窮多項無窮小的和的數(shù)列極限，且每項的形式很規(guī)范”這一類型問題時，可以考慮能否將極限看作是一個特殊的函數(shù)定積分的定義.部分相關的數(shù)列極限直接利用積分定義可能比較困難，這時需要綜合運用迫斂性準則等方法進行討論。6利用（海涅）歸結(jié)原則求數(shù)列極限歸結(jié)原則：對任何，有例9. 求 解：= =1 例10.計算解：一方面，另一方面， 由歸結(jié)原則（取）由迫斂性得=注：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)又具有連續(xù)、可導、可微、