1、橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用廣西南寧外國語學(xué)校 隆光誠（郵政編碼530007）定理 y F1 O F2 xPP在橢圓（0）中，焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.同理可證，在橢圓（0）中，公式仍然成立.典題妙解例1 若P是橢圓上的一點(diǎn)，、是其焦點(diǎn)，且，求的面積.解法一：在橢圓中，而記點(diǎn)P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在中，由余弦定理得：配方，得：從而解法二：在橢圓中，而解法一復(fù)雜繁冗，運(yùn)算量大，解法二簡捷明了，兩個(gè)解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！例2 已知P是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A.

2、 B. C. D. 解：設(shè)，則，故選答案A.例3（04湖北）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)P在橢圓上. 若P、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為半通徑的長；若P是直角頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到軸的距離為h，則，又，故答案選D.金指點(diǎn)睛1. 橢圓上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)、的連線互相垂直，則的面積為（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 橢圓的左右焦點(diǎn)為、， P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，的值為（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 橢圓的左右焦點(diǎn)為、， P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值為（

3、 ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知橢圓（1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的值為（ ）A1 B C D5. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，、為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線與傾斜角的差為，的面積是20，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且， 的面積是，準(zhǔn)線方程為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案1. 解：，.故答案選D.2. 解：設(shè)， ，.故答案選A.3. 解：，設(shè)， ，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，為最大，這時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)，.故答案選D.4 解：，又，從而.故答案選C.5. 解：設(shè)，則. ，又，即.解得：.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.6解：設(shè)，.，.又，即.或.當(dāng)時(shí)，這時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)時(shí)，這