1、模擬試題（一）參考答案一.單項選擇題（每小題2分,共16分）1.設為兩個隨機事件,若,則下列命題中正確的是（ ）(A) 與互不相容(B) 與獨立(C) (D) 未必是不可能事件解 若為零概率事件,其未必為不可能事件.本題應選D.2.設每次試驗失敗的概率為,則在3次獨立重復試驗中至少成功一次的概率為（ ）(A) (B) (C) (D) 解 所求事件的對立事件為“3次都不成功”,其概率為,故所求概率為.若直接從正面去求較為麻煩.本題應選C.3.若函數是一隨機變量的概率密度,則下面說法中一定成立的是（ ）(A) 非負 (B) 的值域為 (C) 單調非降 (D) 在內連續解 由連續型隨機變量概率密度的

2、定義可知,是定義在上的非負函數,且滿足,所以A一定成立.而其它選項不一定成立.例如服從上的均勻分布的隨機變量的概率密度在與處不連續,且在這兩點的函數值大于1.因而本題應選A.4.若隨機變量的概率密度為,則（ ）(A) (B) (C) (D) 解 的數學期望,方差,令,則其服從標準正態分布.故本題應選A.5.若隨機變量不相關,則下列等式中不成立的是（ ）(A) (B) (C) (D) 解 因為,故 , ,但無論如何,都不成立.故本題應選C.6.設樣本取自標準正態分布總體,又分別為樣本均值及樣本標準差,則（ ）(A) (B) (C) (D) 解 ,只有C選項成立.本題應選C.7.樣本 取自總體,則

3、下列估計量中,（ ）不是總體期望的無偏估計量(A) (B) (C) (D) 解 由無偏估計量的定義計算可知,不是無偏估計量,本題應選A.8.在假設檢驗中,記為待檢假設,則犯第一類錯誤指的是（ ）(A) 成立,經檢驗接受(B) 成立,經檢驗拒絕(C) 不成立,經檢驗接受(D) 不成立,經檢驗拒絕解 棄真錯誤為第一類錯誤,本題應選B.二.填空題（每空2分,共14分）1.同時擲三個均勻的硬幣,出現三個正面的概率是_,恰好出現一個正面的概率是_.解 ;.2.設隨機變量服從一區間上的均勻分布,且,則的概率密度為_.解 設,則解得, ,所以的概率密度為3.設隨機變量服從參數為2的指數分布,服從參數為4的指

4、數分布,則_.解 .4.設隨機變量和的數學期望分別為2和2,方差分別為1和4,而相關系數為0.5,則根據切比雪夫不等式,有_.解 根據切比雪夫不等式,.5.假設隨機變量服從分布,則服從分布_（并寫出其參數）.解 設,其中,且,從而.6.設為來自總體的一個樣本,對總體方差進行估計時,常用的無偏估計量是_.解 .三.(本題分)設,求.解 由全概率公式可得.四.(本題8分)兩臺車床加工同樣的零件,第一臺出現廢品的概率為0.03,第二臺出現廢品的概率為0.02.加工出來的零件放在一起.又知第一臺加工的零件數是第二臺加工的零件數的2倍.求:(1) 任取一個零件是合格品的概率,(2) 若任取一個零件是廢品

5、,它為第二臺車床加工的概率.解 設分別表示第一臺,第二臺車床加工的零件的事件.表示產品是合格品的事件.(1) 由全概率公式可得.(2) .五.(本題14分)袋中有4個球分別標有數字1,2,2,3,從袋中任取一球后,不放回再取一球,分別以記第一次,第二次取得球上標有的數字,求:(1) 的聯合分布； (2) 的邊緣分布；(3) 是否獨立； (4) .解 （1） 1 2 3 1 0 2 3 0（2）,.,.（3）因為,故不獨立.（4）.六.(本題12分)設隨機變量的密度函數為,試求:(1) 的值； (2) ； (3) 的密度函數.解 (1) 因,從而;(2) ;(3) 當時,;當時,所以,兩邊關于求

6、導可得,故的密度函數為七.(本題6分)某商店負責供應某地區1000人商品,某種產品在一段時間內每人需用一件的概率為0.6.假定在這段時間,各人購買與否彼此無關,問商店應預備多少件這種商品,才能以的概率保證不會脫銷？（假定該商品在某一段時間內每人最多買一件）.解 設(),表示購買該種商品的人數,則.又設商品預備件該種商品,依題意,由中心極限定理可得.查正態分布表得,解得件.八.(本題10分)一個罐內裝有黑球和白球,黑球數與白球數之比為.(1) 從罐內任取一球,取得黑球的個數為總體,即 求總體的分布；(2) 從罐內有放回的抽取一個容量為的樣本,其中有個白球,求比數的最大似然估計值.解 （1） 1

7、0 即 ;（2）,兩邊取對數,兩邊再關于求導,并令其為0,得,從而,又由樣本值知,故估計值為.九.(本題14分)對兩批同類電子元件的電阻進行測試,各抽6件,測得結果如下（單位:）:批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.已知元件電阻服從正態分布,設,問:(1) 兩批電子元件的電阻的方差是否相等?(2) 兩批電子元件的平均電阻是否有顯著差異?（,）解 (1) .檢驗統計量為 （在成立時）,由,查得臨界值,.由樣本值算得,由于,故不能拒絕,即認為兩批電子元件的電阻的方差相等.(2) .統

8、計量 （在成立時）,查表得臨界值.再由樣本值算得,因為,故接收.即認為兩批電子元件的平均電阻無顯著差異.模擬試題（二）參考答案一.單項選擇題（每小題2分,共16分）1.設表示3個事件,則表示（ ）(A) 中有一個發生(B) 中不多于一個發生(C) 都不發生 (D) 中恰有兩個發生解 本題應選C.2.已知=（ ）.(A) (B) (C) (D) 解 ,.故本題應選A.3.設兩個相互獨立的隨機變量與分別服從正態分布和,則（ ）(A) (B) (C) (D) 解 ,故本題應選B.4.設與為兩隨機變量,且,則（ ）(A) 40 (B) 34(C) 25.6 (D) 17.6解 ,.故本題應選C.5.若

9、隨機變量服從參數為的泊松分布,則的數學期望是（ ）(A) (B) (C) (D) 解 ,本題應選D.6.設是來自于正態總體的簡單隨機樣本,為樣本方差,記 則服從自由度為的分布的隨機變量是（ ）(A) (B) (C) (D) 解 ,再由分布的定義知,本題應選B.7.設總體均值與方差都存在,且均為未知參數,而 是該總體的一個樣本,為樣本方差,則總體方差的矩估計量是（ ）(A) (B) (C) (D) 解 本題應選D.8.在假設檢驗時,若增大樣本容量,則犯兩類錯誤的概率（ ）(A) 都增大 (B) 都減小(C) 都不變 (D) 一個增大一個減小解 本題應選B.二.填空題（每空2分,共14分）1.設1

10、0件產品中有4件不合格品,從中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,則另外1件也是不合格品的概率為_.解 設表示兩件中有一件不合格品,表示兩件都是不合格品.則所求的極限為2.設隨機變量服從分布,則的分布函數為_.解 服從0-1分布,其分布函數為3.若隨機變量服從均值為2,方差為的正態分布,且,則=_.解 ,即其密度函數關于對稱.由對稱性知.4.設總體服從參數為的01分布,其中未知.現得一樣本容量為8的樣本值:0,1,0,1,1,0,1,1,則樣本均值是_,樣本方差是_.解 由定義計算知;.5.設總體服從參數為的指數分布,現從中隨機抽取10個樣本,根據測得的結果計算知,那么的矩估計值為_.解

11、 .6.設總體,且未知,用樣本檢驗假設時,采用的統計量是_.解 (為真時).三.（本題8分）設有三只外形完全相同的盒子,號盒中裝有14個黑球,6個白球；號盒中裝有5個黑球,25個白球；號盒中裝有8個黑球,42個白球.現在從三個盒子中任取一盒,再從中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自號盒中的概率.解 設分別表示從第,號盒中取球,表示取到黑球.(1) 由全概公式可得0.342;(2) 由貝葉斯公式得0.682.四.（本題6分）設隨機變量的概率密度為,對獨立地重復觀察4次,用表示觀察值大于地次數,求的數學期望.解 ,從而.五.（本題12分）設的聯合分布律為 0

12、1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1問:(1) 是否獨立；(2) 計算的值；(3) 在的條件下的條件分布律.解 (1) 因為,所以不獨立;(2) ;(3) ,.六.（本題12分）設二維隨機變量的概率密度為求:(1) 的邊緣密度函數；(2) ；(3) .解 (1)(2) ;(3) .七.（本題6分）一部件包括10部分,每部分的長度是一個隨機變量,它們相互獨立,且服從同一均勻分布,其數學期望為2mm,均方差為0.05,規定總長度為mm時產品合格,試求產品合格的概率.解 設表示第部分的長度,表示部件的長度.由題意知,且,.由獨立同分布的中心極限定理知,產品為合格品的概率

13、為.八.（本題7分）設總體具有概率密度為其中為已知正整數,求的極大似然估計.解 設是來自總體的樣本,當時,似然函數,兩邊取對數,關于求導,并令其為0,得,從而解得的極大似然估計為.九.（本題14分）從某鋅礦的東、西兩支礦脈中,各抽取樣本容量分別為9與8的樣本進行測試,得樣本含鋅平均數及樣本方差如下:東支:, 西支:, 若東、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態分布,問東、西兩支礦脈含鋅量的平均值是否可以看作一樣？,解 本題是在未知方差,又沒有說明方差是否相等的情況下,要求檢驗兩總體均值是否相等的問題,故首先必須檢驗方差是否相等,在相等的條件下,檢驗總體均值是否相等.第一步假設:=,統計量,經檢驗,接受

14、:=；第二步假設:,統計量經檢驗,接受,即可認為東、西兩支礦脈含鋅量的平均值相等.(請參見模擬試題(一)第九大題)十.（本題5分）設總體的密度函數為其中為未知參數,為來自總體的樣本,證明:是的無偏估計量.證明 ,故是的無偏估計量.模擬試題（三）參考答案一.填空題（每小題2分,共14分）1.一射手對同一目標獨立地進行四次射擊,若至少命中一次的概率為,則該射手的命中率為 .解 設表示一次射擊中擊中目標,依題意,四次都沒擊中的概率為,解得,從而射手的命中率為.2.若事件,獨立,且,則 .解 .3.設離散型隨機變量服從參數為（）的泊松分布,已知,則= .解 ,從而解得.4.設相互獨立的兩個隨機變量,具

15、有同一分布律,且的分布律為: 則隨機變量的分布律為 .解 的可能取值為0,1.5.設隨機變量,的方差分別為,相關系數,則= .解 .6.設總體的期望值和方差都存在,總體方差的無偏估計量是,則 .解 .7.設總體,未知,檢驗,應選用的統計量是 .解 (為真時)二 .單項選擇題（每小題2分,共16分）1.本中文書和本外文書任意往書架上擺放,則本外文書放在一起的概率為（ ）(A) (B) (C) (D) 解 本題應選C.2.若事件相互獨立,則下列正確的是（ ）(A) (B) (C) (D) 解 由獨立性的定義知,故本題應選D.3.設隨機變量服從參數為,的二項分布,且,則,的值為（ ）(A) =,=(

16、B) =,=(C) =,=(D) =,=解 由,解得=,=,本題應選A.4.設隨機變量服從正態分布,其概率密度函數為,分布函數為,則有（ ）(A) (B) (C) =,(D) , 解 ,故其密度函數關于對稱,故本題應選B.5.如果隨機變量與滿足:,則下列式子正確的是（ ）(A) 與相互獨立(B) 與不相關(C) (D) 解 由,可得,從而可知與不相關,故本題應選B.6.設是來自總體的樣本,為樣本均值,令,則（ ）(A) (B) (C) (D)解 本題應選A.7.設是取自總體的樣本,可以作為的無偏估計量的統計量是（ ）(A) (B) (C) (D)解 由無偏估計的定義及期望的性質知,故A選擇正確

17、,同理驗算其他選項,B,C,D均不正確.故本題應選A.8.樣本來自正態總體,若進行假設檢驗,當（ ）時,一般采用統計量(A) 未知,檢驗=(B) 已知,檢驗=(C) 未知,檢驗 =(D) 已知,檢驗=解 本題應選C.三.（本題8分）有兩臺車床生產同一型號螺桿,甲車床的產量是乙車床的倍,甲車床的廢品率為,乙車床的廢品率為,現隨機抽取一根螺桿檢查,發現是廢品,問該廢品是由甲車床生產的概率是多少？解 設分別表示螺桿由甲,乙車床生產的事件.表示螺桿是廢品的事件.由貝葉斯公式可得.四.（本題8分）假設一部機器在一天內發生故障的概率為,機器發生故障時全天停止工作.若一周五個工作日里無故障,可獲利潤萬元,發

18、生一次故障獲利潤萬元,發生兩次故障獲利潤萬元,發生三次或三次以上故障就要虧損萬元,問一周內期望利潤是多少？解 設表示一周中所獲的利潤,其分布律為: 0 5 10 從而由期望的定義計算可得.五.（本題12分）1.設隨機向量,的聯合分布為: (1) 求,的邊際分布；(2) 判斷,是否獨立.解 (1) 的邊際分布為： 的邊際分布為： (2) 與不相互獨立.2.設隨機變量的聯合密度函數為:=求概率.解 .六.（本題8分）設連續型隨機變量的分布函數為:求: (1) 系數及；(2) 隨機變量的概率密度；(3) .解 (1) 由分布函數的性質知,從而;(2) 分布函數的導數即為其概率密度,即=(3) .七.

19、（本題8分）設為總體的一個樣本,的概率密度為:=其中,求未知參數的矩估計量與極大似然估計量.解 令,從而解得的矩估計量為.極大似然估計為:.(具體做法類似與模擬試卷二第八題)八.（本題分）設某次考試的考生成績服從正態分布,從中隨機地抽取位考生的成績,算得平均成績為分,標準差為分,問在顯著水平下,是否可認為全體考生的平均成績為分？解 假設:,選取統計量, (為真時)在下,查分布的雙側臨界值表知.另一方面,計算統計量的值,從而接受原假設,即可認為全體考生的平均成績為分.九.（本題分）兩家銀行分別對個儲戶和個儲戶的年存款余額進行抽樣調查,測得其平均年存款余額分別為=元和=元,樣本標準差相應地為元和元

20、,假設年存款余額服從正態分布,試比較兩家銀行的儲戶的平均年存款余額有無顯著差異？（）解 此題要求檢驗,由于檢驗必須在方差相等的條件下進行,因此必須先檢驗與是否相等.第一步假設:=,統計量,經檢驗,接受:=；第二步假設:,統計量經檢驗,拒絕,即兩家銀行的儲戶的平均年存款余額有顯著差異.(請參見模擬試題(一)第九大題)十.（本題分）設總體服從參數為的泊松分布,為未知參數,證明:是的一個無偏估計量.證明 ,所以是的一個無偏估計量.模擬試題（四）參考答案一.填空題(每小題2分,共20分)1.設=0.4,=0.5.若則 .解 2.若隨機變量服從二項分布,即,則 .解 .3.三次獨立重復射擊中,若至少有一

21、次擊中的概率為,則每次擊中的概率為 .解 .4.設隨機變量的概率密度是:且則 .解 由知,.故從而.5.利用正態分布的結論,有: .解 令,則原式,這里.6.設總體的密度函數為:,是來自總體的樣本觀測值,則樣本的似然函數 .解 .7.設,是二維隨機向量,都不為零,若有常數與使,這時與是 關系.解 完全相關.8.若,是來自總體的樣本,分別為樣本均值和方差,則服從 分布.解 .9.設,與相互獨立.從,中分別抽取容量為的樣本,樣本均值分別為,則服從分布 .解 .10.設隨機變量和的相關系數為0.9,若,則與的相關系數為_.解 .二.單項選擇題(每小題2分,共12分)1. 設隨機變量的數學期望與均存在

22、,由切比雪夫不等式估計概率為( )(A) (B) (C) (D) 解 本題應選C.2.為隨機隨機事件,且,則下列式子正確的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 本題應選A.3. 設隨機變量的密度函數為且,則( ).(A) (B) (C) (D) 解 令,解得,故本題應選D.4.若隨機變量與不相關,則有( ).(A) (B) (C) (D) 解 本題應選C.5.已知隨機變量,且,則( ).(A) (B) (C)(D) 解 6.將一枚硬幣獨立地擲兩次,記事件:擲第一次出現正面,擲第二次出現正面,正、反面各出現一次,正面出現兩次,則事件( ).(A) 相互獨立(B) 相互獨立(C) 兩兩獨立(D) 兩兩獨立解 ,再由事件獨立的充分必要條件可知兩兩獨立,本題應選C.三.計算題(每小題分,共48分)1.某廠由甲,乙,丙三個車間生產同一種產品,它們的產量之比為3:2:1,各車間產品的不合格率依次為8%,9%,12%.現從該廠產品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格產品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲廠生產的概率.解 (1) 運用全概率公式, 0.09;(2) 運用貝葉斯公式, 0.44.(具體做法參見模擬試卷(一)第四題)2.一實