1、16.2 布里淵區布里淵區一、布里淵區一、布里淵區1.布里淵區布里淵區 在倒格子空間以某一倒格點為原點，在倒格子空間以某一倒格點為原點，從原點出發做所從原點出發做所有倒格矢的中垂面有倒格矢的中垂面, 這些平面把倒格子空間劃分成許多包圍這些平面把倒格子空間劃分成許多包圍原點的多面體原點的多面體,離原點最近的多面體稱為第一布里淵區。離離原點最近的多面體稱為第一布里淵區。離原點次近的多面體與第一布里淵區之間的區域稱為第二布里原點次近的多面體與第一布里淵區之間的區域稱為第二布里淵區淵區。或者從原點出發不跨過任何垂直平分面的點的集。或者從原點出發不跨過任何垂直平分面的點的集合稱為第一布里淵區；從原點出發

2、只跨過一個垂直平分面的合稱為第一布里淵區；從原點出發只跨過一個垂直平分面的所有點的集合稱為第二布里淵區所有點的集合稱為第二布里淵區從原點出發跨過從原點出發跨過(n-1)個個垂直平分面的所有點的集合稱為第垂直平分面的所有點的集合稱為第n布里淵區。布里淵區。 第一布里淵區第一布里淵區倒格子空間中的倒格子空間中的WS原胞原胞。22.布里淵區的特點布里淵區的特點(1)各布里淵區的體積相等，都等于倒格子原胞的體積。各布里淵區的體積相等，都等于倒格子原胞的體積。 33212 bb b(2)波矢波矢k的代表點是均勻分布的，每個代表點的體積為：的代表點是均勻分布的，每個代表點的體積為： NbNbN bN333

3、22112321 (3)第一布里淵區又稱為簡約布里淵區。簡約布里淵區所第一布里淵區又稱為簡約布里淵區。簡約布里淵區所包含的波矢的數目包含的波矢的數目(即狀態數即狀態數)為晶體中的原胞數為晶體中的原胞數N。 NN 3322 3;321kaa , j aa , i aa: 正正格格子子基基矢矢2211bnbnK:h 倒倒格格矢矢二、二維正方格子的布里淵區分布二、二維正方格子的布里淵區分布;222321kab , jab , iab: 倒倒格格子子基基矢矢1.布里淵區的畫法布里淵區的畫法(1)利用倒格矢畫出倒格子空間中倒格點的分布圖利用倒格矢畫出倒格子空間中倒格點的分布圖;(2)分別找出近鄰的倒格點

4、、次近鄰倒格點分別找出近鄰的倒格點、次近鄰倒格點做所有倒做所有倒格矢的垂直平分面格矢的垂直平分面;(3)確定相應的布里淵區。確定相應的布里淵區。4xkykOia 2ia- 2ja 2ja- 221bb 5 的的連連線線。到到角角頂頂點點：表表示示布布里里淵淵區區中中心心的的連連線線；到到邊邊界界線線的的中中點點：表表示示布布里里淵淵區區中中心心；：表表示示布布里里淵淵區區角角頂頂點點的的中中點點；：表表示示布布里里淵淵區區邊邊界界線線的的中中心心；簡簡約約布布里里淵淵區區：表表示示第第一一布布里里淵淵區區 62.第一布里淵區第一布里淵區倒格子空間離原點最近的四個倒格倒格子空間離原點最近的四個倒

5、格點點1122,bbbb垂直平分線方垂直平分線方程程akakyx 第一布里淵區大小第一布里淵區大小2)2(a 73.第二布里淵區第二布里淵區由由4個倒格點個倒格點12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 垂直平分線和第一布里淵區邊垂直平分線和第一布里淵區邊界所圍成第二布里淵區大小界所圍成第二布里淵區大小8由由4個倒格點個倒格點12122 ,22 ,2bbbb4.第三布里淵區第三布里淵區2)2(a 垂直平分線和第二布里淵區邊界垂直平分線和第二布里淵區邊界邊界所圍成第三布里淵區大小邊界所圍成第三布里淵區大小9第一、第二和第三布里淵區第一、第二和第三布里淵區105.正方格子其它布里

6、淵區的形狀正方格子其它布里淵區的形狀11每個布里淵區經過每個布里淵區經過適當的平移之后和適當的平移之后和第一布里淵區重合第一布里淵區重合 12 第一布里淵區在第一布里淵區在k方向上能量最高點方向上能量最高點A，k方向上方向上能量最高點能量最高點C。 C點的能量比第二布里淵區點的能量比第二布里淵區B點高。點高。6.二維正方格子的能帶交疊二維正方格子的能帶交疊13二維二維( (包括三維包括三維) )和一維情形有一個和一維情形有一個重要的區別重要的區別不同能帶在能量上不不同能帶在能量上不一定分隔開而可以發生能帶之間的一定分隔開而可以發生能帶之間的交疊。交疊。第一布里淵區和第二布里淵第一布里淵區和第二

7、布里淵區能帶的重疊區能帶的重疊。147.二維斜格子的第一布里淵區二維斜格子的第一布里淵區158.二維六角格子其它布里淵區的形成二維六角格子其它布里淵區的形成 169.二維六角格子其它布里淵區的形狀二維六角格子其它布里淵區的形狀每個布里淵每個布里淵區經過適當區經過適當的平移之后的平移之后和第一布里和第一布里淵區重合淵區重合 1710.二維格子布里淵區的特點二維格子布里淵區的特點(1)盡管布里淵區在圖中看起來好像被分割為不相連的若干盡管布里淵區在圖中看起來好像被分割為不相連的若干小區小區, 但是但是,實際上能量是連續的。屬于一個布里淵區的能級實際上能量是連續的。屬于一個布里淵區的能級構成一個能帶。

8、不同的布里淵區對應不同的能帶。構成一個能帶。不同的布里淵區對應不同的能帶。(2)每個布里淵區的形狀盡管各異，但是面積都相等每個布里淵區的形狀盡管各異，但是面積都相等, 等于倒等于倒格子原胞的面積。格子原胞的面積。(3)計入自旋，每個能帶包含計入自旋，每個能帶包含2N個量子態。個量子態。(4)每個布里淵區經過適當的平移之后和第一布里淵區重合。每個布里淵區經過適當的平移之后和第一布里淵區重合。18 簡單立方格子的倒格子也是簡立方，其第一布里簡單立方格子的倒格子也是簡立方，其第一布里淵區是邊長為淵區是邊長為2 /a的立方體。第一布里淵區為原點和的立方體。第一布里淵區為原點和6個近鄰格點的垂直平分面圍

9、成的立方體。個近鄰格點的垂直平分面圍成的立方體。kaaj aai aa 321,kabjabiab 2,2,2321 倒格子基倒格子基矢矢正格子基正格子基矢矢三、簡單立方格子的布里淵區三、簡單立方格子的布里淵區321,bbb 19第一布里淵區第一布里淵區20四、體心立方格子的布里淵區四、體心立方格子的布里淵區 1.體心立方正格子基矢體心立方正格子基矢；)(2)(2)(2321kjiaa kjiaa kjiaa jiab , ikab ,kjab 2223212.體心立方對應的倒格子基矢和倒格矢體心立方對應的倒格子基矢和倒格矢 knnjnninna bnbnbnKn2131323322112 2

10、11b2b3ba 422倒格矢的長度倒格矢的長度(基矢的長度基矢的長度)為為: 110211021102110210121012101210120112011201120112,a ,a ,a ,a,a ,a ,a ,a,a ,a ,a ,a 3.離原點最近的倒格點離原點最近的倒格點 體心立方的倒格子是面心立方，離原點最近的倒格體心立方的倒格子是面心立方，離原點最近的倒格點有十二個。在直角坐標系中的坐標分別為點有十二個。在直角坐標系中的坐標分別為:aKn 22 234.體心立方第一布里淵區體心立方第一布里淵區 離原點最近的十二個倒格點的中垂面圍成一個離原點最近的十二個倒格點的中垂面圍成一個菱形

11、菱形十二面體十二面體。其體積等于倒格子原胞的體積。其體積等于倒格子原胞的體積。2425 021212212121200120002,a ,a ,a ,a k 波波矢矢5.對稱點和對稱軸對稱點和對稱軸Hijk26五、面心立方格子的布里淵區五、面心立方格子的布里淵區 1.面心立方正格子基矢面心立方正格子基矢2.面心立方對應的倒格子基矢和倒格矢面心立方對應的倒格子基矢和倒格矢)(2)(2)(2321jiaa ;ikaa ;kjaa k jiab ,kj iab ,kjiab 222321 knnnjnnninnna bnbnbnKn321321321332211-2 27a 428倒格矢的長度倒格矢

12、的長度(基矢基矢)為為: 11121112111211121112111211121112,a ,a ,a ,a,a ,a ,a ,a 3.離原點最近的倒格點離原點最近的倒格點 面心立方的倒格子是體心立方，離原點最近的倒格面心立方的倒格子是體心立方，離原點最近的倒格點有八個。在直角坐標系中的坐標分別為點有八個。在直角坐標系中的坐標分別為:aKn 32 離原點最近的八個倒格點中垂面所圍成的八面體的體積大離原點最近的八個倒格點中垂面所圍成的八面體的體積大于倒格子原胞得體積，必須考慮次近鄰的六個倒格點。于倒格子原胞得體積，必須考慮次近鄰的六個倒格點。294. 次近鄰的倒格點次近鄰的倒格點 200202020022 ，a ,a ,a 倒格矢的長度為倒格矢的長度為:aKn 4 次近鄰的六個倒格矢的中垂面將截去原正八面體的次近鄰的六個倒格矢的中垂面將截去原正八面體的六個角，形成一個截角八面體六個角，形成一個截角八面體(實際是十四面體實際是十四面體)30八 個 面 是八 個 面 是正六邊形正六邊形, ,六 個 面 是六 個 面 是正四邊形正四邊形31 212121204343200120002,a ,a ,a ,a kL 波波矢矢aKn 32 aKn 4 3233二維長方晶格的布里淵區二維長