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解析幾何一題多解 教給學生通性通法問題：已知橢圓，若分別是橢圓的右頂點、上頂點，M是第一象限內的橢圓上任意一點，是坐標原點，求四邊形面積的最大值圖1解法1：如圖1，連接OM，設且，則=又，由，得（負值舍去）當時，當時，所以時，有最大值，解法2：遇根式考慮平方，可以將繁化簡，減少計算量對式兩邊平方得： ，再令，由，得，解法3：對式沒必要用導數，可以用配方法對式配方得，而，所以，時，于是，解法4：用橢圓的參數方程，目標函數就是一元函數，比較簡單圖2由點M在橢圓上，可設其中則時，解法5：如圖2，設M到直線AB的距離為，則，因此要使最大，只需最大直線AB的方程為：設與AB平行的直線的方程為： 將其帶入得，所以 由解得直線應在AB的上方，所以 的方程為：從而的最大值為兩平行直線間的距離所以，=于是， 解法6：借助線性規劃的思想方法來求解 由解法1得，將看成目標函數，則變量滿足約束條件且且如圖3，將直線向上平移至與曲線AMB相切時最大類似于解法5，求出切點，所以 xyBMAOll0圖3 解法7：可以用導數來求切線 的方程或切點坐標 設，曲線AMB的方程是：，則切線的斜率，由得方程：，解得解法8：更簡單的解法.將變形為，問題實質即為已知條件等式（）,

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