1、圓錐曲線面面觀圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數學高考的重點內容.它體現了解析幾何數與形的相互轉化，展示了解析幾何在計算方法上的特點和技巧，表現出辯證思維的豐富內涵.高考中，有關圓錐曲線的試題約占全卷總分的15%.一般有兩道題，其中一道為選擇題或填空題，一道為解答題，這部分試題重在考查圓錐曲線中的基本知識和基本方法，有時也有一定的綜合性和靈活性，以圓錐曲線中有關的知識和方法為主，結合解析幾何中其它部分的知識，如平面向量、函數、不等式、數列和三角函數等有關的知識和方法的綜合問題逐漸成為高考命題人“心儀”的對象.（一）定義、標準方程 圓錐曲線的定義與標準方程反映了它們的基本特征，理解定義、認識方

2、程是掌握其性質的基礎；借助第一定義可以確定圓錐曲線的類型，利用第二定義可以處理一類焦半徑問題；例1：（1）（2010江西）點在雙曲線的右支上，若點A到右焦點的距離等于，則 （2）（2010天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（ ）（A）（B） （C） （D）分析：問題1利用雙曲線第二定義刻畫“焦半徑”，再簡單計算問題便可求解；問題2求雙曲線方程只需分別求出，根據已知條件列出間的等式關系，再加上雙曲線中問題可求解解答：（1）由已知條件可得：離心力，設右支上的點到右焦點的距離，到右準線距離為，則根據雙曲線的第二定義，有，即（2）依題意知，所以雙曲線的方

3、程為點評：高考對圓錐曲線定義和標準方程的考查主要有：（1）利用第一定義確定曲線類型，利用第二定義刻畫焦半徑（橢圓上一點到焦點的距離）；（2）求圓錐曲線的標準方程；屬簡單題，重在考查對基礎知識的理解.（二）幾何性質圓錐曲線的幾何性質主要從：范圍、頂點、焦點、準線、漸近線、離心率等來考查，解決問題的關鍵是：弄清圓錐曲線中各幾何元素的意義、位置關系、數量關系，特別是其中五個主要參數（為焦點到相應準線的距離即焦準距）例2（1）（2010北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 （2）（2010遼寧）設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙

4、曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）分析：求圓錐曲線的焦點、漸近線、離心率等主要是尋找幾何量之間的等式關系解答：（1）在橢圓中，所以，橢圓的焦點為，即雙曲線的焦點坐標為；在雙曲線中，所以，從而雙曲線的漸近線方程為，即（2）不妨設雙曲線的焦點在軸上，設其方程為：，則一個焦點為，一條漸近線斜率為，直線的斜率為；，解得；所以選D點評：圓錐曲線的幾何性質問題主要是抓住定義、幾何量關系來解.求離心率的值或范圍的題型，則主要尋找之間的等式、不等式關系.（三）直線與圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關系有三種：相離、相交和相切；從代數角度看直線的方程與圓錐曲線的方程構

5、成的方程組；解決過程中，常用的數學思想方法有方程的思想；數形結合思想；設而不求與整體代入的技巧與方法例3（2010上海）已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點；設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；分析：對于“直線交于”、“直線交于點”等相交條件，自然想到聯立方程組；消元后借助韋達定理來描述兩點的坐標關系，而并非分別求出兩交點坐標；證明：由方程組，消去得因為直線交橢圓于、兩點，所以，即，設，的中點坐標為則，由方程組，消得方程，又因為，所以，故為的中點.點評：直線與圓錐曲線的位置關系主要由聯立方程組后方程的根進行判斷，二次方程判別式及根與系數的關系是解決此類問題最好的方法.此類問題的

6、解決過程體現了函數與方程思想的靈活應用.（四）圓錐曲線與向量由于平面向量具有代數（坐標）表示和幾何表示的特點，這就使其成為表述圓錐曲線問題的重要載體.問題往往以圓錐曲線為主線，融向量、函數、方程、不等式、數列等知識于一體，具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強的特點，重在考查考生的思維水平和綜合能力例4（2010全國卷2）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線于相交于兩點，若，則 （A）1 （B） （C） （D）2分析：將向量關系轉化為點橫坐標或縱坐標之間的關系，轉化為代數問題求解解答：設（1），設，（2）設直線方程為，代入（2）式消去得 結合（1）式，有，解得，因為，從而，選D點評：圓錐曲線與

7、向量的綜合，主要的解題方法是將向量轉化為對應點的橫坐標、縱坐標之間的關系，借助于代數運算方法來處理；解題過程體現了數與形的結合、數與形的轉化思想.（五）范圍與最值 圓錐曲線的最值問題主要有兩種求法：（1）利用定義，應用數形結合思想；（2）轉化為函數的最值問題；關鍵是尋找不等式關系，一般可依據（1）圓錐曲線上的點的坐標；（2）判別式；（3）已知條件中的不等關系來解例5（2010福建）若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，為橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）（A）2 （B）3 （C）6 （D）8分析：對于的最值問題，需先借助于某個變量將表示為函數表達式，再求函數的最值解析：由題意，設點，則有,解得，

8、因為，所以=，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，取得最大值，選C點評：借助點坐標可直接表示出兩向量的數量積，接下來的整體代入、二次函數在定義域下的最值是解決此題的關鍵.（六）探索性問題探索性問題是一種具有開放性和發散性的問題，要求解答者自己去探索，結合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括一類“是否存在型”圓錐曲線的探索性問題逐漸成為近幾年高考的熱點問題之一例6（2010山東）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于項點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為A、B和C、D.（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；（2）設直線、的斜率分別為、，證明：；（3）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.分析：前兩個小問題可利用圓錐曲線的幾何性質、直線與圓錐曲線的關系來求解；問題（3）是一類“是否存在”型的探索性問題，可先假設存在這樣的實數，再利用條件，如果求出實數則說明存在，若產生矛盾或無法求出，即不存在解答：（1）（略解）橢圓的標準方程為，雙曲線的標準方程為（2）設，則因為點P在雙曲線上，所以因此，即（3）由于的方程為，代入橢圓方程得由韋達定理有，所以同理可得則又所以故因此存在，使恒成立.