1、第17講 勾股定理幾何學有兩大珍寶，其一是畢達哥拉斯定理，另一個是分一線段為中外比。前者我們可比之為黃金，后者，我們可稱之為貴重的寶石。                  開普勒知識方法掃描勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：即如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形。勾股定理是平面幾何中最重要的幾何定理之一，在幾何圖形的計算和論證方面，有著重要的應用。它溝通了形與數，將幾

2、何論證轉化為代數計算是一種重要的數學方法。勾股定理的逆定理常用來證明兩條直線互相垂直。經典例題解析例1已知ABC中，C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點求證：AD2+BE2=AB2+DE2分析 求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手證明 由勾股定理得AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例2（1988年上海市初三數學競賽題）如圖，在凸四邊形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90°，則DAB的度數是_ 解 連結AC，設A

3、B=2k，則BC= 2k，CD=3k，DA=k.在RtABC 中，在ACD中,例3（2001我愛數學初中生夏令營試題）點D、E分別為ABC的邊AC和BC上，C為直角，DEAB，且3DE2AB，AE13，BD9，那么，AB的長等于_。解 由DEAB，得記k，m，則有CE2k，CB3k，CD2m，CA3m。因C為直角，故由勾股定理，得CE2CA2AE2，CD2CB2BD2，即兩式相加，有k2m2因此AB2BC2CA29k29m2于是AB評注 設比例因子k與m，可使線段用長度表出，以便利用勾股定理求出線段之長。 例4(2003第1屆“創新杯”數學邀請賽試題)在直角三角形ABC中，C=90º

4、，I是ABC的三條內角平分線的交點，過I作IDAB于D，若BD=m，CD=n，那么ABC的面積為 .解 因I是ABC的三條內角平分線的交點，故I到三邊的距離相等，作IEAC，IFBC，顯然AIDAIE，BIDBIF，CIFCIB，于是BF=BD=m, AE=AD=n.設 CE=CF=r，因AC2+BC2=AB2，故(n+r) 2+(m+r) 2=(m+n) 2. 化簡得 r2+mr+nr=mn. ABC的面積=(m+r)(n+r)=(mn+mr+nr+r2)=(mn+mn)=mn.例5( 2003年北京市中學生數學競賽試題)一個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等試確定這個直角三

5、角形三邊的長。解 設a，b分別為兩個直角邊，則斜邊c=，由于a,b,c均為正整數，所以ab，不妨設a>b. 依題意有 a+b+=，兩邊平方整理得：，消去ab，得。即 (a-4)(b-4)=8=8×1=4×2。由于a,b為正整數，a>b, 則或所以a=12, b=5, c=13或 a=8, b=6, c=10.例6（2002年上海初中數學競賽試題）若直角三角形兩直角邊上中線長度之比為m，則m的取值范圍是_。解 設RtABC（C90°）的兩直角邊BCa，ACb，則BC邊上的中線長為，AC邊上的中線長為，依題意，得m， 即m2，亦即0。所以（4m21）（m2

6、4）0，解得m24，故m2。例7如圖,AM是ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)證明 過A引ADBC于D由勾股定理，AB2=AD2+BD2=AD2+(BM+MD)2=AD2+BM2+2BMMD+MD2AC2=AD2+CD2=AD2+(MC-MD)2= AD2+MC2-2MCMD+MD2注意到 BM=CM， 故AB2+AC2=2AD2+2BM2+2MD2=2(AD2+MD2)+2BM2=2(AM2+BM2)評注 (1)如果設ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結論不難推出關于三角形三條中線長的公式,(2)涉及到含有線段的平

7、方證明題，在初二的學習范圍內，多是用勾股定理作為工具來證明的。在解答此類問題時所用的輔助線，最常用的是作三角形的高，有時還要用到某些幾何變換，如平移，旋轉，對稱等等。例8（1978年中國科學技術大學少年班入學試題）設M是ABC內任意一點，MDAB,MEBC,MFCA,又BD=BE，CE=CF,求證:AD=AF. 分析 這里有很多垂線，很自然地想到勾股定理。證明 如圖，連結MA，MB，MC。由條件中的垂直關系，有AD2 = DD12+AD12 = BD2-BD12+AM2-MD12 = AM2 +BE2-( BD12+ MD12)= AM2 +BE2- BM2= AM2 +BD2-( ME12+

8、 BF12)= (AM2- ME12)+( BE2- BF12)= AM2- ME12+ EE12.同理可證 AF2 = AM2- ME12+ EE12，于是AD2 = AF2，AD=AF. 評注 更進一步，可以把已知的等式BD=BE，CE=CF改為不等式BDBE，CECF，結論則變為AFAD。同步訓練一 選擇題1(1993年吉林省初中數學競賽試題)在ABC中，則ABC的面積為（ ）8m10m(A) 10 (B) 10 (C) 12.5 (D) 152(2002年四川省初中數學競賽試題)如圖，一個長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底

9、端的滑動距離（ ）（A）等于1米 （B）大于1米（C）小于1米 （D）不能確定3（2001年希望杯數學邀請賽試題）如圖，正方形ABCD的邊長為1，正方形EFGH內接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH，則=（ ） （A） （B） （C） （D）4（2002年澳大利亞數學競賽試題）如圖，PQR是一個直角三角形，它的斜邊PR被點S及點T三等分，若，則k之值為何？(A) (B) (C) (D) 2 (E) 5（第十四屆“五羊杯”數學競賽試題）圖中的正方形ABCD邊長為2，從各邊往外作等邊三角形ABE，BCF，CDG，DAH，則四邊形AFGD的周長為（ ）。（A）422 （B）222（C）424

10、（D）224二 填空題6（2002年希望杯數學邀請賽試題）.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中點，從D作DEAC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結DF，則DF的長是。7（2004年第二屆“創新杯數學邀請賽試題）如圖，等邊三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在三條互相平行的直線上，其中的距離為1，的距離為2，AC與相交于D，則BD= 。8(1990年全國初中數學聯賽題)在ABC中，ABAC2，BC邊上有100個不同的點p1，p2，p3，p100, 記mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2，100)，則m1+m2+m100=_9（20

11、01年河北初中數學競賽試題）在矩形ABCD中，DC5cm，在DC上存在一點E，沿直線AE把AED折疊，使點D恰好落在BC邊上，設此點為F，若ABF的面積為30cm2，那么折疊的AED的面積為_。10（1995年福州市第三屆初中數學競賽試題）三角形三邊長是一組勾股數，它的面積等于60，則它的周長等于 三 解答題11在ABC中，已知AB= 17AC= 15, BC邊上的中線BD=4求SABC·12求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍.13（1992年第九屆縉云杯初中數學邀請賽試題）設a、b、c分別表示ABC中A、B、C所對邊,h表示AB邊上的高。 (1) 求證: a+b. (2) 說明: 當已知ABC具備什么條件時,上述結論中的等號成立?14在ABC中,BAC=90°,AB