1、幾種特殊積分的計(jì)算方法幾種特殊積分的計(jì)算方法1前言前言積分發(fā)展的動(dòng)力來自于實(shí)際應(yīng)用中的需求.實(shí)際操作中，有時(shí)候可以粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時(shí)候需要知道精確的數(shù)值.要求簡(jiǎn)單幾何形體或者體積，可以套用已知的公式.比如一個(gè)長(zhǎng)方體狀的游泳池的容積可以用長(zhǎng)乘寬乘高求出.但如果游泳池是卵形、拋物型或者更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積.物理學(xué)中，常常需要知道一個(gè)物理量（比如位移）對(duì)另一個(gè)（比如力）的累積效果，這時(shí)候也需要積分. 在古希臘數(shù)學(xué)的早期，數(shù)學(xué)分析的結(jié)果是隱含給出的.比如， 芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和.再后來，古希臘數(shù)學(xué)家如歐多克索斯和阿基米德使數(shù)學(xué)分析變

2、得更加明確，但還不是很正式.他們?cè)谑褂酶F竭法去計(jì)算區(qū)域和固體的面積和體積時(shí)，使用了極限和收斂的概念.在古印度數(shù)學(xué)（英語：Indian mathematics）的早期，12 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二給出了導(dǎo)數(shù)的例子，還使用過現(xiàn)在所知的羅爾定理.數(shù)學(xué)分析的創(chuàng)立始于 17世紀(jì)以牛頓（Newton, I.）和萊布尼茨（Leibniz, G.W.）為代表的開創(chuàng)性工作，而完成于 19 世紀(jì)以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）為代表的奠基性工作.從牛頓開始就將微積分學(xué)及其有關(guān)內(nèi)容稱為分析.其后， 微積分學(xué)領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，但許多數(shù)學(xué)家還是沿用這一名稱.

3、時(shí)至今日，許多內(nèi)容雖已從微積分學(xué)中分離出去， 成了獨(dú)立的學(xué)科， 而人們?nèi)砸苑治鼋y(tǒng)稱之.數(shù)學(xué)分析亦簡(jiǎn)稱分析 （參見“分析學(xué)”）.數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，它從局部和整體這兩個(gè)方面研究函數(shù)的基本性態(tài)，從而形成微分學(xué)和積分學(xué)的基本內(nèi)容.微分學(xué)研究變化率等函數(shù)的局部特征，導(dǎo)數(shù)和微分是它的主要概念，求導(dǎo)數(shù)的過程就是微分法.圍繞著導(dǎo)數(shù)與微分的性質(zhì)、 計(jì)算和直接應(yīng)用， 形成微分學(xué)的主要內(nèi)容.積分學(xué)則從總體上研究微小變化 （尤其是非均勻變化）積累的總效果，其基本概念是原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)）和定積分，求積分的過程就是積分法.積分的性質(zhì)、 計(jì)算、推廣與直接應(yīng)用構(gòu)成積分學(xué)的全部?jī)?nèi)容.牛頓和萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)就在于，

4、他們?cè)?1670 年左右，總結(jié)了求導(dǎo)數(shù)與求積分的一系列基本法則， 發(fā)現(xiàn)了求導(dǎo)數(shù)與求積分是兩種互逆的運(yùn)算，并通過后來以他們的名字命名的著名公式反映了這種互逆關(guān)系， 從而使本來各自獨(dú)立發(fā)展的微分學(xué)和積分積分學(xué)結(jié)合而成一門新的學(xué)科微積分學(xué).又由于他們及一些后繼學(xué)者（特別是歐拉（Euler，L.）的貢獻(xiàn)，使得本來僅為少數(shù)數(shù)學(xué)家所了解，只能相當(dāng)艱難地處理一些個(gè)別具體問題的微分與積分方法， 成為一種常人稍加訓(xùn)練即可掌握的近于機(jī)械的方法，打開了把它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的大門，其影響所及，難以估量.因此，微積分的出現(xiàn)與發(fā)展被認(rèn)為是人類文明史上劃時(shí)代的事件之一.與積分相比，無窮級(jí)數(shù)也是微小量的疊加與積累，只不

5、過取離散的形式（積分是連續(xù)的形式）.因此，在數(shù)學(xué)分析中，無窮級(jí)數(shù)與微積分從來都是密不可分和相輔相成的.在歷史上，無窮級(jí)數(shù)的使用由來已久，但只在成為數(shù)學(xué)分析的一部分后，才得到真正的發(fā)展和廣泛應(yīng)用.數(shù)學(xué)分析的基本方法是極限的方法，或者說是無窮小分析.洛比達(dá)（LHospital,G.-F.-A.de） 于 1696 年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書，歐拉于 1748 年出版的兩卷本溝通微積分與初等分析的書，書名中都出現(xiàn)過無窮小分析這個(gè)詞.在微積分學(xué)發(fā)展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果.許多與微積分有關(guān)的新的數(shù)學(xué)分支，如變分法、微分方程以至于微分幾何和復(fù)變函數(shù)論，都在

6、 1819 世紀(jì)初發(fā)展起來.然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數(shù)學(xué)家們經(jīng)常不顧演繹的邏輯根據(jù)，使用著直觀的猜測(cè)和自相矛盾的推理，以致在整個(gè) 18 世紀(jì)， 對(duì)這種方法的合理性普遍存在著懷疑.這些懷疑在很大程度上是從當(dāng)時(shí)經(jīng)常使用的無窮小的含義與用法上引起的.隨意使用與解釋無窮小導(dǎo)致了混亂和神秘感.許多人參與了無窮小本質(zhì)的論爭(zhēng)， 其中有些人， 如拉格朗日 （Lagrange, J.-L.） ，試圖排除無窮小與極限， 把微積分代數(shù)化.論爭(zhēng)使函數(shù)與極限的概念逐漸明朗化.越來越多的的數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到， 必須把數(shù)學(xué)分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺區(qū)分開來.因而， 從 19 世紀(jì)初開始

7、了一個(gè)一個(gè)把分析算術(shù)化（使分析成為一種像算術(shù)那樣的演繹系統(tǒng)） 為特征的新的數(shù)學(xué)分析的批判改造時(shí)期.柯西于 1821 年出版的分析教程是分析嚴(yán)密化的一個(gè)標(biāo)志.在這本書中，柯西建立了接近現(xiàn)代形式的極限，把無窮小定義為趨于零的變量，從而結(jié)束了百年的爭(zhēng)論.在極限的基礎(chǔ)上，柯西定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級(jí)數(shù)的收斂性（后來知道，波爾查諾（Bolzano, B.） 同時(shí)也做過類似的工作） .進(jìn)一步， 狄利克雷于 （Dirichlet, P.G.L.）1837 年提出了函數(shù)的嚴(yán)格定義，魏爾特拉斯引進(jìn)了極限的定義.基本上實(shí)現(xiàn)了分析的算術(shù)化，使分析從幾何直觀的局限中得到了“解放”，從而驅(qū)散了 17

8、18 世紀(jì)籠罩在微積分外面的神秘云霧.繼而在此基礎(chǔ)上，黎曼（Riemann, (G.F.) B.）于 1854年和達(dá)布（Darboux, (J.-) G.）于 1875 年對(duì)有界函數(shù)建立了嚴(yán)密的積分理論，19世紀(jì)后半葉，戴德金（Dedekind, J.W.R）等人完成了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論.至此，數(shù)學(xué)分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎(chǔ)之上，基本上形成了一個(gè)完整的體系，也為20 世紀(jì)現(xiàn)代分析的發(fā)展鋪平了道路.2選題背景選題背景2.1題目類型及來源題目類型及來源題目類型：研究論文題目來源：專題研究2.2研究目的和意義研究目的和意義在一般高等數(shù)學(xué)教材中對(duì)泊松積分的計(jì)算很少有涉及，而在實(shí)際問題中，例如在處

9、理概率與統(tǒng)計(jì)問題及熱傳導(dǎo)等問題時(shí)都會(huì)用到泊松積分， 由于泊松積分的被積函數(shù)不是初等函數(shù)， 因此，不能用牛頓-萊布尼茲公式來計(jì)算其積分值,但泊松積分在數(shù)學(xué)分析、 概率統(tǒng)計(jì)及其物理等方面有廣泛的應(yīng)用， 我們必須用其它方法計(jì)算其積分值 利用留數(shù)定理， 我們可以把計(jì)算一些積分的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從而大大化簡(jiǎn)計(jì)算廣義積分是解決實(shí)際問題中常見的一個(gè)計(jì)算工具,但其形式多樣,計(jì)算復(fù)雜.有些廣義積分問題單純應(yīng)用數(shù)學(xué)分析理論求解過程繁瑣,甚至不能解出，但卻可以應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理來研究?jī)深愄厥庑问降膹V義積分2.3國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)與研究的主攻方向國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)與研究的主攻

10、方向幾種特殊積分中的高斯積分是一個(gè)著名的積分，在工程技術(shù)中有很多應(yīng)用在數(shù)學(xué)中高斯做出很多貢獻(xiàn) 高斯公式是曲面積分的一個(gè)重要公式，而通過高斯公式我們可以提出高斯定理，高斯定理是電磁學(xué)中的基本定理:積分即通過任一閉合曲面（高斯面）的電通量等于該閉合曲面包圍電荷的代數(shù)和除以0；穿過高斯面的電通量，只與該電荷系電荷代數(shù)和相關(guān)，與高斯面的形狀無關(guān)，也與該電荷系的電荷分布無關(guān)高斯定理不僅適用于靜電場(chǎng)，也適用于變化的感生電場(chǎng)，是電磁場(chǎng)基本方程之一 高斯定律在靜電場(chǎng)情況下類比于應(yīng)用在磁場(chǎng)學(xué)的安培定律，而二者都被集中在麥克斯韋方程組中因?yàn)閿?shù)學(xué)上的相似性，高斯定律也可以應(yīng)用于其它由反平方定律決定的物理量，例如引力

11、或者輻照度計(jì)算泊松積分的值的七種不同的計(jì)算方法以及該反常積分的相關(guān)應(yīng)用， 雖然該反常積分的值已被人們所熟知， 但其求解方法還是值得我們關(guān)注的，其中所用到的方法也是在解決實(shí)際問題中比較重要的， 另外，該反常積分與復(fù)變函數(shù)論中的知識(shí)進(jìn)行結(jié)合還可用來求一些比較復(fù)雜的反常積分， 在概率統(tǒng)計(jì)以及物理的一些求解中泊松積分也會(huì)起到十分重要的作用， 通過對(duì)泊松積分值的計(jì)算方法及其應(yīng)用的相關(guān)介紹，使人們對(duì)泊松積分有一個(gè)更深刻的了解，同時(shí)了解求解泊松積分過程中所涉及到的相關(guān)解法，以便以后在解決相關(guān)問題時(shí)更好的應(yīng)用 菲涅爾(Fresnel)積分,這是以法國(guó)物理學(xué)家菲涅爾的名字而命名的這兩個(gè)廣義積分在物理學(xué)中有重要的

12、應(yīng)用,比如要計(jì)算菲涅爾繞射強(qiáng)度問題,噪聲水平縮減問題等,就需要用到這兩個(gè)積分3計(jì)算積分的一些定理計(jì)算積分的一些定理積分的基本定義：設(shè) F為函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù) f的所有原函數(shù) FC（C 為任意常數(shù)）叫做函數(shù) f的不定積分記做.其中叫做積分號(hào)，f叫被積函數(shù)，叫做積分變量，f叫做被積因式.C 叫積分常數(shù)，求已知函數(shù)不定積分的過程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分.積分的基本原理：微積分基本定理，由艾薩克牛頓和戈特弗里德威廉萊布尼茨在十七世紀(jì)分別獨(dú)自確立.微積分基本定理將微分和積分聯(lián)系在一起，這樣，通過找出一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，就可以方便地計(jì)算它在一個(gè)區(qū)間上的積分.積分和導(dǎo)數(shù)已成為高等數(shù)學(xué)中最基本的工具，并

13、在自然科學(xué)和工程學(xué)中得到廣泛運(yùn)用.積分的一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義由波恩哈德黎曼給出（參見條目“黎曼積分”）.黎曼的定義運(yùn)用了極限的概念，把曲邊梯形設(shè)想為一系列矩形組合的極限.從十九世紀(jì)起，更高級(jí)的積分定義逐漸出現(xiàn)，有了對(duì)各種積分域上的各種類型的函數(shù)的積分.比如說，路徑積分是多元函數(shù)的積分，積分的區(qū)間不再是一條線段（區(qū)間a,b） ，而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個(gè)曲面代替.對(duì)微分形式的積分是微分幾何中的基本概念.對(duì)積分概念的推廣來自于物理學(xué)的需要，并體現(xiàn)在許多重要的物理定律中，尤其是電動(dòng)力學(xué).現(xiàn)代的積分概念基于測(cè)度論，主要是由昂利勒貝格建立的勒貝格積分.3.1留數(shù)定

14、理和圍道積分留數(shù)定理和圍道積分設(shè)在以曲線圍成的區(qū)域 內(nèi)除有有限個(gè)孤立點(diǎn)外單值解析，在閉區(qū)域 上連續(xù)，則有（311）其中，res表示（z）在孤立奇點(diǎn)的某（去心）領(lǐng)域內(nèi)的羅朗展開的負(fù)一次冪的系數(shù)，記作res（）（312）稱作（z）在它的孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).（312）被稱為留數(shù)定理.3.2傅里葉變換傅里葉變換由高等數(shù)學(xué)我們知道， 一個(gè)以 2為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上滿足狄理克萊條件 （即連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)， 并且只有有限個(gè)極值點(diǎn)） ， 則在上可展開為傅氏級(jí)數(shù).傅氏級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為其中，積分因此，也可以表示為(3.2.1)由此看到， 以 2為周期的函數(shù)， 在自變數(shù)增長(zhǎng)的過程中， 函數(shù)值有規(guī)律的重復(fù)

15、，自變數(shù)每增長(zhǎng)一個(gè) 2，函數(shù)就重復(fù)變化一次，其中，參數(shù)不連續(xù)地跳躍地去下列數(shù)值：，其躍變間隔為.對(duì)于非周期函數(shù)而言，當(dāng)然不具備以上這些特點(diǎn)，但我們自然想到，若將其看成周期趨于無窮大（2）的“周期函數(shù)”，則當(dāng)然可模照（3.2.1）寫出它的傅氏展開式， 只是此時(shí).這表明參數(shù)變?yōu)?不再躍變， 而是連續(xù)變化，即，非周期函數(shù)，可以表示為亦即(3.2.2)(3.2.2)稱為函數(shù)的傅里葉積分公式.應(yīng)該看出，上述的推導(dǎo)不嚴(yán)格的，因?yàn)槲覀兘粨Q了極限過程與求和過程的次序.實(shí)際上，傅氏積分成立，需要滿足下述傅里葉積分定理：設(shè)在（）上有定義且（1）在任一有限區(qū)間上滿足狄利克萊條件；(2)在無限區(qū)間負(fù)無窮到正無窮上絕對(duì)

16、可積則傅里葉積分公式在的連續(xù)點(diǎn) x 出成立，而在d 的第一類間斷點(diǎn)處，右邊的積分應(yīng)該以代替.在傅氏積分公式（3.2.2）中令G.(3.2.3)則(3.2.4)可見函數(shù)和 G可以通過相互表達(dá).我們稱（3.2.3）為函數(shù)的傅里葉變換，記作 F(3.2.5)G有稱為的像函數(shù)；而稱（3.2.4）為函數(shù) G的傅里葉逆變換，記作（3.2.6）有稱為 G的像原函數(shù).因此，當(dāng)滿足傅氏積分定理的條件時(shí)，傅氏積分公式就成為(3.2.7)這是傅氏變換和傅氏逆變換之間的一個(gè)重要關(guān)系.易于看出，傅氏變換的定義式（3.2.5）和（3.2.6），其積分前的系數(shù)雖然各書的寫法并不完全相同，但只要此二系數(shù)的乘積等，（3.2.5

17、）和（3.2.6）式均是可以相互滿足的，且兩積分號(hào)內(nèi)指數(shù)因子和也可以同時(shí)改為和.在量子力學(xué)中，通常把記作,作為坐標(biāo)表象的波函數(shù)，將 看做波數(shù) k,積分而 將 （ 3.2.5 ） 和 （ 3.2.6 ） 兩 式 積 分 號(hào) 前 的 系 數(shù) 分 別 寫 作. 由 于pk，則有 G,記作 C,于是由（3.2.4）和（3.2.3）有C其中 C就是同一量子體系在動(dòng)量表象中的波函數(shù).此二式表明了坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象之間的波函數(shù)的變換關(guān)系.有傅氏變換和傅氏逆變換的定義（3.2.5）及（3.2.6）可知，要求一個(gè)函數(shù)的傅氏變換，實(shí)際上就是求一個(gè)含參數(shù)的廣義積分.計(jì)算含參數(shù)的廣義積分是一件比較困難的工作.但對(duì)于某

18、些函數(shù)來說，還是比較容易計(jì)算的.3.33.3 拉普拉斯變換拉普拉斯變換對(duì)于任何函數(shù),我們假定在 t 0 時(shí)0,那么， 只要 足夠的大， 函數(shù)的傅氏變換就有可能存在，即F其中.記 p，F(xiàn)F并注意到i便得到F(3.3.1)(3.2.2)這是一對(duì)新的互逆的積分變換.我們稱（3.2.1）式為函數(shù)的拉普拉斯變換，記作L L(3.3.3)并稱函數(shù)為的像函數(shù).而稱（3.2.2）式為函數(shù) F的拉普拉斯逆變換或拉普拉斯反演公式，記作(3.3.4)并稱函數(shù)為 F的像原函數(shù).顯然 (3.3.5)拉氏變換的存在條件，由下述拉普拉斯變換的存在定理給出.設(shè)函數(shù)滿足以下條件：（1） 當(dāng) t 0 時(shí)，0（2） 當(dāng) t 0 時(shí)

19、，及 除去有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)以外，處處連續(xù)；（3） 當(dāng) t時(shí)， 的增長(zhǎng)速度不超過某一個(gè)指數(shù)函數(shù)， 亦即存在常數(shù)M 及0，使得,0 t.(3.3.6)其中， 稱為的增長(zhǎng)指數(shù).則的拉氏變換 F在半平面 Rep上存在、解析，且當(dāng)( 是任意小的正數(shù))時(shí)，有=0 在拉氏變換的性質(zhì)設(shè)凡是要求拉氏變換的函數(shù)，均是滿足拉氏變換存在定理的，則有拉氏變換的定義，我們有如下一些重要性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)積分L（2）延遲性質(zhì)LF,Re其中FL(3)位移性質(zhì)設(shè)，則 LL(4)相似性質(zhì)設(shè) a，F(xiàn)則L（5）微分性質(zhì)(6)積分性質(zhì) L(7)卷積定理其中，定義熟練的掌握以上的這些性質(zhì)， 對(duì)于我們用拉氏變換解線性常微分方程和積分方

20、程的初值問題極為方便.4 4 特殊積分的計(jì)算特殊積分的計(jì)算4.14.1 泊松積分泊松積分無窮限積分的收斂性是顯而易見的，由于初等函數(shù)的原函數(shù)不再是初等函數(shù)，因此其不能利用牛頓萊布尼茲公式.為此，我們將用下面 3 種方法進(jìn)行計(jì)算：（1）二重積分法設(shè) I,則D在極坐標(biāo)下，區(qū)域 D 可以表示成為，所以：從而：（3） 含參量反常積分方法設(shè) I，對(duì)該積分進(jìn)行變量替換 x，為參數(shù)，則：I所以：I即：交換積分次序得：因此：I（3）特殊函數(shù)法已知伽馬函數(shù)，s且有余數(shù)公式，即當(dāng) 0 s 1 時(shí)：積分對(duì)無窮限積分進(jìn)行變量替換，令，則：I在余數(shù)公式中令 s得，從而，因此：=4.24.2DirichletDirich

21、let 積分的計(jì)算積分的計(jì)算著名的 Dirichlet積分在光學(xué)、電磁學(xué)、無線電技術(shù)和有阻尼的機(jī)械振動(dòng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.因此該積分收斂非絕對(duì)收斂，被積函數(shù)的原函數(shù)不能初等函數(shù)表示， 不能用傳統(tǒng)的牛頓-萊布尼茲公式求出該積分值， 所以該積分在 數(shù)學(xué)分析和復(fù)變函數(shù)教材中作為典型來討論.而一般的方法比較復(fù)雜，但通過數(shù)學(xué)物理方法比較容易解決這個(gè)問題.（1）含參變量積分方法我們知道，含參變量積分：由于，積分收斂，由 Weierstrass M 判別法，含參變量積分在上一致收斂.由于在上連續(xù)，根據(jù)積分順序交換定理，11220001( )cosarctanpxpF pdyexydxdypyp又由阿貝爾(A

22、bel) 判別法知， 積分 （1） 在0p 時(shí)一致收斂， 根據(jù)連續(xù)性定理4，( )F p在0p 時(shí)連續(xù)，故000sin1(0)lim( )lim arctan2ppxdxFF pxp（2）圍道積分方法設(shè)( )izef zz，12,L L分 別 是 實(shí) 數(shù) 軸 上,Rr與 , r R線段，,rRC C分別是以原點(diǎn)為圓心，以r與R為半徑的上半圓周，是如圖 1 所示的積分路徑由 Cauchy-Goursat 定理知，( )0f z dz，即12( )( )( )( )0RrLLCCf z dzf z dzf z dzf z dz（2）經(jīng)化簡(jiǎn)12sin( )( )2RLLrxf z dzf z dzi

23、dxx，由小圓弧引理5，0lim( )rrCf z dzi ，由Jordan引理5，lim( )0RRCf z dz在式（2）兩邊令0 ,rR ，并整理得：0sin2xdxx(3) FourierFourier變換方法變換方法: :設(shè)1,1;( )0,1.tf tt，則它的 Fourier 變換為 ( )( )j tF f tf t edtsin2( )F當(dāng)1t 時(shí)，有11( ) ( )( )2j tf tFFFed02sincos td， 特 別 取0t 得 ：0sin2d.圖 1 圍道積分路徑積分(4)能量積分方法設(shè)( )f t在 Fourier 變換下的象函數(shù)為( )F，則有221 (

24、)( )2f tdtFd（3）式（3）稱為 Parseval 等式6，其中2 ( )f tdt稱為( )f t的能量積分.將上文中 Fourier 變換方法的( )f t和( )F應(yīng)用在式（3）中，可以得到220sin2d又由分部積分法，220sind00sin2sinudduu，故0sin2uduu.(5) LaplaceLaplace 變換方法變換方法: :設(shè)( )sinf tt，則它的 Laplace 變換為0 ( )( )stL f tf t edt211s( )F s又0sinlim1ttt，( )arctan2sF s dss，由 Laplace 變換象函數(shù)的積分性質(zhì)6，有sintLt( )arctan2sF s dss，特別取0s 得：0sin2tdtt.（6）廣義函數(shù)方法：廣義函數(shù)方法：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)( ) t也叫狄拉克(Dirac)函數(shù)，簡(jiǎn)稱函數(shù)，它是一個(gè)廣義函數(shù)，是弱收斂函數(shù)序列的弱極限6，即對(duì)于任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)( )f t，有sin( ) ( )lim( )(0)tt f t dtf t dtt（4）在式（4）中特別取( )1f t ，由函數(shù)的篩選性質(zhì)知，左邊( )1t dt，右邊積分中作換元變換ut得：0sin1sin2sinlimlimtuudtdudutuu