1、第二章第二章 有導體時的靜電場有導體時的靜電場 簡單介紹靜電的應用。簡單介紹靜電的應用。本章主要內容：本章主要內容：導體的靜電平衡及靜電平衡條件，靜電場中導體導體的靜電平衡及靜電平衡條件，靜電場中導體的電學性質；的電學性質；電容器及其聯接；電容器及其聯接；電場的能量；電場的能量；2.1 2.1 靜電場中的導體靜電場中的導體2.1.1 靜電平衡靜電平衡 靜電感應現象：靜電感應現象：在外電場作用下，引起導體中電荷重在外電場作用下，引起導體中電荷重新分布而呈現出的帶電現象。新分布而呈現出的帶電現象。 本節討論的導體主要是指金屬導體，金屬導體內部有大量本節討論的導體主要是指金屬導體，金屬導體內部有大量

2、的自由電子，自由電子時刻作無規則的熱運動。的自由電子，自由電子時刻作無規則的熱運動。導體剛放入電場導體剛放入電場導體達靜電平衡，導體達靜電平衡，導體內場強為零導體內場強為零導體內場強不為零導體內場強不為零 導體靜電平衡：導體靜電平衡：導體內（包括導體表面）沒有導體內（包括導體表面）沒有電荷作定向運動。電荷作定向運動。靜電平衡的必要條件靜電平衡的必要條件：導體內部電場強度為零導體內部電場強度為零。 1.導體為一個等勢體，導體表面為一等勢面。導體為一個等勢體，導體表面為一等勢面。導體在靜電平衡時的性質：導體在靜電平衡時的性質：AB 證明：在導體內任意選兩點并被一條在證明：在導體內任意選兩點并被一條

3、在導體內部的連續曲線所聯結，由于連線上各導體內部的連續曲線所聯結，由于連線上各點場強為零，故有點場強為零，故有BAABl dEU02.導體內部電荷體密度為零，導體內部電荷體密度為零，電荷只能分布在導體表面。電荷只能分布在導體表面。+高斯面 證明：在導體內任意選取一高斯證明：在導體內任意選取一高斯面，由于在靜電平衡時，導體內的場面，由于在靜電平衡時，導體內的場強強E E為零，所以為零，所以0ssdE由高斯定理可知：導體內由高斯定理可知：導體內0iq 3. 在導體外部，在導體外部，緊靠導體表面的點的緊靠導體表面的點的場強方向與導體表面場強方向與導體表面垂直，場強大小與導垂直，場強大小與導體表面對應

4、點的電荷體表面對應點的電荷面密度成正比。面密度成正比。 220nePPE+B B+B BA A 金屬導體表面的金屬導體表面的及其附近的場強及其附近的場強E一同一同受外界影響，但兩者受外界影響，但兩者關系不變。即關系不變。即 En=/02.1.2 帶電導體所受的靜電力帶電導體所受的靜電力PP1S 設設S是導體表面含是導體表面含P點的小面元，點的小面元，是是P點的電荷面密度，則點的電荷面密度，則S所受的靜電力為所受的靜電力為 SPEF/E/(P)是除是除S外所有電荷在外所有電荷在P點貢獻的場強。點貢獻的場強。 nePE01分解為兩部分分解為兩部分 421/101PEPEePESnP1任意靠近任意靠

5、近P，對它而言，對它而言S可視為均勻無限大帶電平面，所可視為均勻無限大帶電平面，所以以 nePE201由式由式(2-4)便得便得 nePE201/由于激發分場由于激發分場E/的電荷已不含的電荷已不含S的電荷，且點的電荷，且點P和和P1極近，所極近，所以以 nePEPE201/52202neSF因此有因此有把上式沿導體表面作積分便可求得整個導體所受的靜電力。把上式沿導體表面作積分便可求得整個導體所受的靜電力。 帶電導體達到靜電平衡后導體表面的電荷分布情況：與帶電導體達到靜電平衡后導體表面的電荷分布情況：與導體本身的形狀及導體周圍的環境有關。對于孤立導體，一導體本身的形狀及導體周圍的環境有關。對于

6、孤立導體，一般的分布情況為曲率半徑較小處，其電荷面密度較太，曲率般的分布情況為曲率半徑較小處，其電荷面密度較太，曲率半徑較大處，其電荷面密度較小。半徑較大處，其電荷面密度較小。由由2、3可解釋尖端放電現象可解釋尖端放電現象+2.1.3 弧立導體形狀對電荷分布的影響弧立導體形狀對電荷分布的影響2.1.4 導體靜電平衡問題的討論方法導體靜電平衡問題的討論方法 本課程定性討論靜電平衡問題的主要方法：本課程定性討論靜電平衡問題的主要方法：從靜電平衡從靜電平衡的性質出發，利用某些解題技巧，必要時加上電場的性質出發，利用某些解題技巧，必要時加上電場線這一形象工具。線這一形象工具。AB 例例1 A為點電荷，

7、為點電荷，B為中性導體，為中性導體，試證試證B左端的感生負電荷絕對值左端的感生負電荷絕對值q/小于小于或等于施感電荷或等于施感電荷q。B+-(2)一條電場線不一條電場線不能起止于同一導能起止于同一導體體 證：根據電場線的性質證：根據電場線的性質1，導體，導體B左左端的負電荷處一定有電場線終止。端的負電荷處一定有電場線終止。 其來源只有三種可能其來源只有三種可能：(1)A上的正上的正電荷，電荷，(2)B右端的正電荷，右端的正電荷，(3)無限遠。無限遠。用反證法可排除后兩種可能用反證法可排除后兩種可能。(3)違反導體的靜電平衡條件違反導體的靜電平衡條件(導體等勢導體等勢)AB 根據電場線的性質根據

8、電場線的性質1的定量表述，的定量表述，止于止于B左端的場線條數正比于左端的場線條數正比于q/，發，發自自A的場線條數正比于的場線條數正比于q，而終止的，而終止的條數小于或等于發出條數，因此條數小于或等于發出條數，因此 q/qq。 施感電荷發出的場線通常有一些不終止于施感電荷發出的場線通常有一些不終止于B的左端，故的左端，故往往有往往有q/q。只有在特殊的條件下，才出現感生電荷。只有在特殊的條件下，才出現感生電荷(絕對絕對值值)等于施感電荷的情況等于施感電荷的情況(如例如例2和和6)。q例例2qq例例6例例4 求金屬球的電勢。求金屬球的電勢。 qQORlS 解：因金屬球是等勢體，解：因金屬球是等

9、勢體，只需求得球心只需求得球心O的電勢的電勢VO。以。以S代表球面，代表球面，代表代表S上的電荷上的電荷面密度面密度(可隨點而變可隨點而變)，則，則RQlqdSRlqRdSlqVSoSO00004141444qq/ORlS例例5 求金屬球的感生電荷。求金屬球的感生電荷。 仿上題解題技巧，可得仿上題解題技巧，可得qlRqRqlqV/000412.1.5 平行板導體組例題平行板導體組例題P1P2ABqA1234qB例例1 求每板表面的電荷密度求每板表面的電荷密度解解:根據靜電平衡條件有根據靜電平衡條件有:在在A內內:3124000002222在在B內內:3124000002222123401234

10、012AqSS34BqSS1423 兩式相加減兩式相加減:142ABqqS232ABqqS 142ABqqS232ABqqS 幾種電荷分布情況幾種電荷分布情況ABqq 1140232ABqqqSS (平板電容平板電容)2ABqq14AqS230 電荷只分布在相對的兩面電荷只分布在相對的兩面,且等量異號且等量異號.電荷只分布在外兩面電荷只分布在外兩面,且等量同號且等量同號.3一般情況一般情況142ABqqS232ABqqS 142ABqqS2-2 封閉金屬殼內外的靜電場封閉金屬殼內外的靜電場 1 殼內空間無帶電體的情況殼內空間無帶電體的情況 用反證法可以證明，用反證法可以證明，不論殼外不論殼外(

11、 (包括殼的外壁包括殼的外壁) )帶電情況如何，殼內帶電情況如何，殼內空間各點的電場強度處處為零，且殼空間各點的電場強度處處為零，且殼內壁處處有內壁處處有=0=0。 2 殼內空間有帶電體的情況殼內空間有帶電體的情況2.2.1 殼內空間的場殼內空間的場P-+ 殼內空間將因殼內帶電體的存在殼內空間將因殼內帶電體的存在而出現電場，殼的內壁也會出現電荷分而出現電場，殼的內壁也會出現電荷分布。但是可以證明，殼內電場只由殼內布。但是可以證明，殼內電場只由殼內帶電體及殼的內壁形狀決定而與殼外電帶電體及殼的內壁形狀決定而與殼外電荷分布情況無關。荷分布情況無關。+-a a-b b 1） 金屬殼不接地的情況，由于

12、金屬殼不接地的情況，由于靜電感應，電場線分布如圖靜電感應，電場線分布如圖a a，殼外，殼外空間存在電場，它是殼內電荷間接引空間存在電場，它是殼內電荷間接引起的。起的。 2） 金屬殼接地的情況，由于靜金屬殼接地的情況，由于靜電感應，電場線分布如圖電感應，電場線分布如圖b b，殼外空，殼外空間不存在場線。間不存在場線。2.2.2 殼外空間的場殼外空間的場1 殼外空間無帶電體的情況殼外空間無帶電體的情況殼內空間有帶電體時，兩種情況：殼內空間有帶電體時，兩種情況：2 殼外空間有帶電體的情況殼外空間有帶電體的情況接地的金屬殼外壁電荷并不處處為零。接地的金屬殼外壁電荷并不處處為零。 接地殼保證殼外電場不受

13、殼內電荷的影響，即殼外電場接地殼保證殼外電場不受殼內電荷的影響，即殼外電場只由殼外情況決定。只由殼外情況決定。 綜上所述，綜上所述，封閉導體殼（不論接地與否）內部靜電場不受封閉導體殼（不論接地與否）內部靜電場不受殼外電荷的影響，而接地封閉導體殼外部靜電場將不受殼內殼外電荷的影響，而接地封閉導體殼外部靜電場將不受殼內電荷影響。電荷影響。這種現象叫做靜電屏蔽。靜電屏蔽。一個明確的結論一個明確的結論：q1q2q3q4 金屬殼內空間電荷為金屬殼內空間電荷為q1，殼內壁電，殼內壁電荷為荷為q2(q2=-q1)，殼外壁電荷為，殼外壁電荷為q3，殼外空間電荷為殼外空間電荷為q4，則，則不論殼是否接地，不論殼

14、是否接地，q q1 1、q q2 2在殼內壁之外任一點的合場強為在殼內壁之外任一點的合場強為零，零，q q3 3、q q4 4在殼外壁之內任一點的合場在殼外壁之內任一點的合場強為零。強為零。 球殼球殼外部無帶外部無帶電體電體的情況下，的情況下，不論殼內部點電不論殼內部點電荷位置如何，殼荷位置如何，殼外電場都一樣，外電場都一樣，殼外壁的電荷都殼外壁的電荷都均勻分布均勻分布。2.2.3 范德格拉夫起動機范德格拉夫起動機靜電加速器靜電加速器2-3 2-3 電容電容 電容器電容器電容是電學中一個重要的物理量，它反映了導體的容電本領。電容是電學中一個重要的物理量，它反映了導體的容電本領。2.3.1 孤立

15、導體的電容孤立導體的電容以一半徑為以一半徑為R R，電荷為，電荷為Q Q的孤立球形導體為例的孤立球形導體為例球形導體的電勢為球形導體的電勢為13. 2410RQV從上式可看出，當從上式可看出，當V V一定時，一定時，R R越大，它所帶電荷越大，它所帶電荷Q Q也越多；而當也越多；而當R R一定時，一定時，Q Q增倍，增倍，V V也增倍，但也增倍，但Q/VQ/V卻是一個常量。這一結果雖卻是一個常量。這一結果雖然是對然是對孤立導體球孤立導體球而言的，但對任意孤立導體也是如此。于是，而言的，但對任意孤立導體也是如此。于是，我們它我們它孤立導體所帶電荷孤立導體所帶電荷Q Q與其電勢與其電勢V V的比值

16、的比值叫做叫做孤立導體的電孤立導體的電容容，電容的符號為，電容的符號為C C，有，有14. 2VQC 球形孤立導體的電容為球形孤立導體的電容為RVQC04SI制中，制中，電容的單位電容的單位：法拉，符號為法拉，符號為F。實際應用常用微法微法（F）、皮法皮法（F）。1F=101F=106 6F=10F=101212F F2.3.2 電容器及其電容電容器及其電容 實際上，孤立導體是不存在的，周圍總會有別的導體，當有其他導體實際上，孤立導體是不存在的，周圍總會有別的導體，當有其他導體存在時，則會因靜電感應而改變原來電場的分布，其中任一導體，其電勢存在時，則會因靜電感應而改變原來電場的分布，其中任一導

17、體，其電勢與所帶電荷不再成正比關系，即與所帶電荷不再成正比關系，即Q/VQ/V不再是常數。不再是常數。 事實上，可以用靜電屏蔽的方法使一個導體周圍的電場不受其他導體事實上，可以用靜電屏蔽的方法使一個導體周圍的電場不受其他導體的存在而受影響。的存在而受影響。 人們一般把兩個導體所組成的系統，叫做電容器。電人們一般把兩個導體所組成的系統，叫做電容器。電容器可以儲存電荷和能量。容器可以儲存電荷和能量。 常見的電容器有圓柱形電容器和平常見的電容器有圓柱形電容器和平板電容器，而嚴格滿足要求的電容器是板電容器，而嚴格滿足要求的電容器是球形電容器。球形電容器。1、 球形電容器球形電容器 (1) 電荷在內球外

18、壁電荷在內球外壁及外球內壁均勻分布，兩及外球內壁均勻分布，兩壁電荷等值異號。壁電荷等值異號。+-R1R2r球殼間rerQE420 (2) 兩球間的電勢差兩球間的電勢差(電壓電壓)絕絕對值與球形電容器的電荷對值與球形電容器的電荷Q成正比，成正比，證明如下。證明如下。21020114421RRQrdrQURR2、平行板電容器、平行板電容器d+-ABSSSQdEdl dEUSQEAB000 (1) 電荷在兩平板相對面內電荷在兩平板相對面內均勻分布，兩面電荷等值異號。均勻分布，兩面電荷等值異號。 (2) 兩枝間的電壓與板內壁的兩枝間的電壓與板內壁的電荷電荷Q成正比，證明如下。成正比，證明如下。ABRA

19、RBrl-+-3、 圓柱形電容器圓柱形電容器ABRRRRlQrdrlQUrlQrEBAln221220000UQC （2.18）上述三種電容器中，電容器極板電荷與極板間電壓的比值只與上述三種電容器中，電容器極板電荷與極板間電壓的比值只與電容器自身條件有關。這個比值就是描述電容器本身性質的物電容器自身條件有關。這個比值就是描述電容器本身性質的物理量，叫做理量，叫做電容器的電容電容器的電容，記作記作C，即，即球形電容球形電容器器122104RRRRC平板電容平板電容器器dSC0圓柱形電容圓柱形電容器器120ln2RRLC2.3.3 電容器的聯接電容器的聯接電容器的并聯電容器的并聯+-+Q+Q1 1

20、+Q+Q2 2+Q+Q-Q-Q1 1-Q-Q1 1-Q-QC C1 1C C2 2C CUCCQQQUCQUCQ)(,21212211總電荷總電荷21,CCCUQC等效電容等效電容（2.22）并聯電容器組等效電容等于組內各個電容之和，但各電容器的電壓相等。并聯電容器組等效電容等于組內各個電容之和，但各電容器的電壓相等。電容器的串聯電容器的串聯12+Q+Q1-Q-Q1+Q+Q2-Q-Q2+Q+Q-Q-QC C1C C2C C 串聯電容器組中每個電容器極板上所帶的串聯電容器組中每個電容器極板上所帶的電荷是相等的。電荷是相等的。2121212121221111111,CCCCCCCCCQUQCCUU

21、UCQUCQU（2.23）串聯電容器組等效電容的倒數等于電容器組中各電串聯電容器組等效電容的倒數等于電容器組中各電容倒數之和，但每個電容器上的電壓小于總電壓。容倒數之和，但每個電容器上的電壓小于總電壓。練習：習題2.3.4.（1）（2）ABBkBkABAkAkABABCdSCCdSCdSC2;2;000A/ABkABB/ABkAB/A/A/kBA ABBKAKBKAKABCCCCCCC21 ABAKABCCCC322-5 帶電體系的靜能量帶電體系的靜能量 2.5.1 帶電體系的靜能量帶電體系的靜能量1、靜能量靜能量(靜電勢能靜電勢能)回顧回顧：勢能概念勢能是屬于物體系統的。勢能是屬于物體系統的

22、。只有受保守內力相互作用的物體系統才可以引入勢能概念。只有受保守內力相互作用的物體系統才可以引入勢能概念。勢能的定義勢能的定義：AWP保保 靜電體系之間的相互作用力靜電體系之間的相互作用力(靜電力靜電力)也是保守力，因此也是保守力，因此對靜電體系也可以引入靜電勢能對靜電體系也可以引入靜電勢能(靜電能靜電能)的概念。的概念。靜電能的定義：靜電能的定義：q1q2r1狀態1q1q2r2狀態2 設兩個點電荷設兩個點電荷q1、q2構成的靜電體系由狀態構成的靜電體系由狀態1逐逐漸運動到狀態漸運動到狀態2，則電場力，則電場力在這個過程中做了功。在這個過程中做了功。 仿照電勢概念的定義方法，靜電力仿照電勢概念

23、的定義方法，靜電力(電場力電場力)所作的功定義為所作的功定義為體系在新舊兩種狀態中的靜電體系在新舊兩種狀態中的靜電(勢勢)能之差，即能之差，即AWWWP12電電 如果約定如果約定q1、q2處于無限遠離的靜電狀態時的靜電能為零，處于無限遠離的靜電狀態時的靜電能為零，則它們處于任意靜電狀態的靜電能等于讓兩者從該狀態運動到則它們處于任意靜電狀態的靜電能等于讓兩者從該狀態運動到無限遠離狀態的過程中電場力的功。無限遠離狀態的過程中電場力的功。 一個帶電體的靜電能一個帶電體的靜電能(自能自能)：使組成帶電體的無限多小：使組成帶電體的無限多小塊無限遠離時電場力的功。塊無限遠離時電場力的功。帶電體系的靜能量帶電體系的靜能量互能互能(各個帶電體無限遠離時電各個帶電體