1、幾何光學習題及解答幾何光學習題及解答1證明反射定律符合費馬原理。證明：費馬原理是光沿著光程為最小值、最大值或恒定值的路徑傳播。BAnds或恒值max.min，在介質 n 與 n的界面上，入射光 A 遵守反射定律11ii,經 O 點到達 B 點， 如果能證明從 A 點到 B 點的所有光程中 AOB 是最小光程， 則說明反射定律符合費馬原理。設 C 點為介質分界面上除 O 點以外的其他任意一點，連接 ACB 并說明光程ACB光程AOB由于ACB 與AOB 在同一種介質里，所以比較兩個光程的大小，實際上就是比較兩個路程 ACB 與 AOB 的大小。從 B 點到分界面的垂線，垂足為o，并延長OB 至

2、B，使BOBO，連接BO ，根據幾何關系知BOOB，再結合11ii，又可證明180BAO，說明BAO 三點在一直線上，BAO 與 AC 和BC 組成BAC ，其中BCACBAO 。又CBBCAOBOBAOBOAOBAO,ACBCBACAOB即符合反射定律的光程AOB是從 A 點到 B 點的所有光程中的極小值，說明反射定律符合費馬原理。2、根據費馬原理可以導出在近軸光線條件下，從物點發出并會聚到像點的所有光線的光程都相等.由此導出薄透鏡的物象公式。證明：由 QBAFBA 得：OFAQ=BOBQ=fs同理，得 OABA=f s,BOBA=fs由費馬定理：NQA+NQA=NQQCAOBOBinn結合

3、以上各式得：(OA+OB)BA=1 得證3 眼睛 E 和物體 PQ 之間有一塊折射率為 1.5 的玻璃平板(見題 3.3 圖),平板的厚度 d 為 30cm.求物 PQ 的像與物體 PQ 之間的距離 為多少?解：.由題意知光線經兩次折射后發生的軸向位移為：cmndpp10)321 (30)11 (，即像與物的距離為cm103 眼睛 E 和物體 PQ 之間有一塊折射率為 1.5 的玻璃平板(見題 3.3 圖),平板的厚度 d 為 30cm.求物 PQ 的像與物體 PQ 之間的距離 為多少?解：.由題意知光線經兩次折射后發生的軸向位移為：cmndpp10)321 (30)11 (，即像與物的距離為

4、cm10En=1題 3.3 圖4玻璃棱鏡的折射棱角 A 為 60 度,對某一波長的光其折射率為 1.6.計算(1)最小偏向角;(2)此時的入射角;(3)能使光線從 A 角兩側透過棱鏡的最小入射角.解：由最小偏向角定義得 n=sin2A0/sin2A,得0=46 由幾何關系知，此時的入射角為:i=2A0=當在 C 處正好發生全反射時：i2= sin-16 . 11=38 41,i2=A- i2=21 19i1= sin-1(1.6sin21 19)= 35 34min4Q圖示一種恒偏向棱角鏡,它相當于一個 30 度-60-90 度棱鏡與一個 45 度-45 度度棱鏡按圖示方式組合在一起.白光沿

5、i 方向入射，我們旋轉這個棱鏡來改變1，從而使任意一種波長的光可以依次循著圖示的路徑傳播，出射光線為 r.求證：如果2sin1n則12，且光束 i 與 r 垂直（這就是恒偏向棱鏡名字的由來）解：insinsin11若1sin=2n, 則 sini1=21, i1=30。則 i2=30。,而insin2sin2211190。，而211290。，i得證。高cm 的物體距凹面鏡的焦距頂點 12cm，凹面鏡的焦距是cm,求像的位置及高度，并作光路圖解：cmscmf12,10又fss1111011121s，即cms60，ssyyssyy=-25cm即像在鏡前 60cm 處，像高為 25cm一個cm 高的

6、物體放在球面鏡前cm 處成 1cm 高的虛像求（）此像的曲率半徑；（）此鏡是凸面鏡還是凹面鏡？解：由題知物體在球面鏡前成虛象，則其為反射延長線的交點，題ssyycmysys2，又rss211，05 cmr，所以此鏡為凸面鏡。某觀察者通過一塊薄玻璃板去看凸面鏡中他自己的像他移動著玻璃板，使得在玻璃板中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面鏡的焦距為cm ,眼睛距凸面鏡頂點的距離靈 40cm,問玻璃板觀察者眼睛的距離為多少?解：根據題意，由凸面鏡成像公式得：cmssfss81014011111凸透鏡物點與像點的距離cmssd48，則玻璃距觀察者的距離為cmd2429.物體位于凹面鏡軸線上

7、焦點之外,在焦點與凹面鏡之間放一個與軸線垂直的兩表面互相平行的玻璃板,其厚度為 d1,折射率為 n.試證明:放入該玻璃板后使像移動的距離與把凹面鏡向物體移動 d(n-1)/n 的一段距離的效果相同。解：證明：將玻璃板置于凹面鏡與焦點之間，玻璃折射成像，由三題結果得0（），即題中所求。10.欲使由無窮遠發出的近軸光線通過透明球體并成像在右半球面的頂點處,問這透明球體的折射率為多少?解：設球面半徑為 r，物距和相距分別為 s 和s,由物像公式:rn nsn s nS=,s=2r,n=1,得 n=211.有一折射率為 1.5,半徑為 4cm 的玻璃球,物體在距球表面 6cm 處,求(1)物所在的像到

8、球心之間的距離;(2)像的橫向放大率.解：cmrnnrnnsnsn4, 1, 5 . 1,的玻璃球。對第一個球面，cms6415 . 1615 . 1s，cms36對第二個球面cms44836245 . 11445 . 112 s112 s從物成的像到球心距離cmrsol1525 . 121snsn12.一個折射率為 1.53,直徑為20cm的玻璃球內有兩個小氣泡.看上去一個恰好在球心,另一個從最近的方向看去,好像在表面與球心連線的中點.求兩氣泡的實際位置解 ：由球面鏡成像公式：rnnsnsn，當s=日時，s= r, 氣泡在球心。當s=2r時，s=6.05cm ，氣泡在距球心 3.95 cm

9、處。13.直徑為 1m 的球形魚缸的中心處有一條小魚,若玻璃缸壁的影響可忽略不計,求缸外觀察者所看到的小魚的表觀位置和橫向放大率.解：由:rnnsnsn, 又 s=r， s=r=15cm, 即魚在原處。=yy=nnss=1.3314.玻璃棒一端成半球形,其曲率半徑為 2cm.將它水平地浸入折射率為 1.33 的水中,沿著棒的軸線離球面頂點8cm處的水中有一物體,利用計算和作圖法求像的位置及橫向放大率,并作光路圖.解:rnnsnsn233. 15 . 1833. 15 . 1 scms182)8(5 . 1)18(33. 1snsnrnn cmnnnrnf65.1717. 0333. 15 .

10、125 . 1cmnnnnrf65.1517. 066. 233. 15 . 1233. 115.有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面,其曲率半徑為 10cm.一物點在主軸上距離 20cm 處,若物和鏡均浸在水中,分別用作圖法和計算法求像點的位置.設玻璃的折射率為1.5,水的折射率為 1.33.解：（！）對于凸透鏡：由薄透鏡焦距公式得： ff=-39.12 ,由透鏡成像公式：1sfsf，s=20cm, 得s=-40.92（2）對于凹透鏡：由薄透鏡焦距公式得: f= - f=39.12由透鏡成像公式：1sfsf，s=20cm, 得s=-13.2（3）作圖：（1）FSOFSO（2）16.一

11、凸透鏡在空氣中的焦距為 40cm,在水中時焦距為 136.8cm,問此透鏡的折射率為多少(水的折射率為 1.33)?若將此透鏡置于 CS2中(CS2的折射率為 1.62),其焦距又為多少?解：由題意知凸透鏡的焦距為：)(22111rnnrnnnf又在同一介質中21nn ， ff設nnn21)11)(1(12rnnnf因為對同一凸透鏡而言211rn是一常數，設tnnf) 1(1，當在空氣中時40, 111fn，在水中時8 .136,33. 122fntn) 11(401，tn) 133. 1(8 .1361兩式相比，可 n=1.54，將其代入上式得0463. 0t在2CS中即時62. 1 n，0

12、463. 0162. 154. 11）（f，得cmf4 .437.即透鏡的折射率為 1.54，在 CS2中的焦距為-437.4cm17.兩片極薄的表玻璃,曲率半徑分別為 20cm 和 25cm.將兩片的邊緣粘起來,形成內含空氣的雙凸透鏡,把它置于水中,求其焦距為多少?解：由薄透鏡焦距公式：)(22111rnnrnnnf，其中 n=1,n1=n2=1.33, r1=20cm,r2=25cm,得 ff=-44.8cm18.會聚透鏡和發散透鏡的焦距都是cm,求(1)與主軸成 30 度的一束平行光入射到每個透鏡上,像點在何處?(2)在每個透鏡左方的焦平面上離主軸 1cm 處各置一發光點,成像在何處?作

13、出光路圖.解：(1)由1sfsf，s =, 對于會聚透鏡：sx= f=10cm,sy=sxtg30。=5.8cm 或者sy=sxtg(-30。)=-5.8cm， 像點的坐標為(10,|5.8|) 同理，對于發散透鏡：像點的坐標為(-10,|5.8|)FS，(10,5.8)O30。30。（a）FS(-10,-5.8)O(b)(2) 由1sfsf，s =f , 對于會聚透鏡：sx=，即經透鏡后為一平行光束。對于發散透鏡：sx=-5cm，又ssyy，yssy=0.5cm，考慮到物點的另一種放置，yssy=-0.5cm，像點的坐標為(-5,|0.5|)19.題 3.19 圖(a)(b)所示的 MM分別

14、為一薄透鏡的主光軸,S 為光源,S為像.用作圖法求透鏡中心和透鏡焦點的位置題 3.19 圖OOMMMMBA(a)(b)解：對于圖(a)由于 S 的像點在MM下方，且其為放大的，故推知此薄透鏡為凸透鏡。作圖步驟為：連接SS 交MM于O點，O點即為光心，作SB/MM連接 BS 交 于F，F即為像方焦點,作MMSA/連接 AS 交MM于 F ，F 即為物方焦點，然后據此作圖即可。對于圖(b)由于 S 的像點在MM上方，且其為縮小的，故推知此薄透鏡為凹透鏡。作圖步驟與上述類似。OOOO20.比累對切透鏡是把一塊凸透鏡沿直徑方向剖開成兩半組成,兩半塊透鏡垂直光軸拉開一點距離,用擋光的光闌K擋住其間的空隙

15、(見題3.20圖),這時可在屏上觀察到干涉條紋.已知點光源 P 與透鏡相距 300cm ,透鏡的焦距 f=50cm,兩半透鏡拉開的距離 t=1mm,光屏與透鏡相距l=450cm.用波長為 632.8nm 的氦氖激光作為光源,求干涉條紋的間距.K解 ： 分 成 兩 半 透 鏡 ， 對 稱 軸 仍 是 PKO,P1,P2構 成 兩 相 干 光 源 ， 相 距 為d, ,s=f s(f +s)=60cm, r0=L-S=390cm, 上半透鏡相當于 L 的主軸與光心上移 0.5mm,下半透鏡相當于 L 的主軸與光心下移 0.5mm,d=2y+t=0.12cm.0ry /d=2.056mm.21.把焦

16、距為 10cm 的會聚透鏡的中央部分 C 切去,C 的寬度為 1cm,把余下的兩部分粘起來(題3.21 圖).如在其對稱軸上距透鏡 5cm 處置一點光源，試求像的位置解：該透鏡是由 A、B 兩部分膠合而成，這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上，A 部分的主軸在系統中心線下方 0.5cm 處，B 部分的主軸系統中心線上方 0.5cm 處，PP1P題 3.20 圖由透鏡成像公式：1sf s f，經 A 成像得s=-10cm ，經 B 成像的s=-10cm，這兩個像點在垂直于主軸的方向上的距離為 3cm.21.把焦距為 10cm 的會聚透鏡的中央部分 C 切去,C 的寬度為 1cm,把余下的兩部分粘

17、起來(題3.21 圖).如在其對稱軸上距透鏡 5cm 處置一點光源，試求像的位置解：該透鏡是由 A、B 兩部分膠合而成，這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上，A 部分的主軸在系統中心線下方 0.5cm 處，B 部分的主軸系統中心線上方 0.5cm 處，由透鏡成像公式：1sf s f，經 A 成像得s=-10cm ，經 B 成像的s=-10cm，這兩個像點在垂直于主軸的方向上的距離為 3cm.ABCBA題 3.21 圖ABCBA題 3.21 圖23. 題 3.23 圖所示的是一個等邊直角棱鏡和兩個透鏡所組成的光學系統.棱鏡折射率為 1.5,凸透鏡的焦距為 20cm,凹透鏡的焦距離為 10cm,兩

18、透鏡間距為 5cm, 凸透鏡距棱鏡邊的距離為 10cm.求圖中長度為 1 cm 的物體所成像的位置和大小.(提示:物經棱鏡成像在透鏡軸上,相當于經過一塊厚 6cm 的平板玻璃,可利用例 3.1 的結果求棱鏡所成像的位置.).解：因為 n=1.5,其全反射角為，042045。所以，物體經球面上反射，為厚度為 6cm 的透鏡，物體將在厚透鏡左側成虛像，平行平板的軸向位移l=l(1-1n)凸透鏡的物距為s1=-20,f1=-20.所以 s2=s=由物像公式知成像的位置及大小為 25 和-10。24.顯微鏡由焦距為 1cm 的物鏡和焦距=為 3cm 的目鏡組成,物鏡與物鏡之間的距離為 20cm,問物體

19、放在何處時才能使最后的像成在距離眼睛 25cm 處?解：在目鏡下由物像公式得222111fss即3112512s22752scmcmss223652021題 3.23 圖在物鏡下由高斯公式得11111fss即1136522scms3433651即物體在物鏡下放 1.06cm 處。25題 3.25 圖中 L 為薄透鏡,水平橫線 MM為主軸。ABC 為已知的一條穿過這個透鏡的路徑，用作圖法求出任一條光線 DE 穿過透鏡后的路徑。CMBDEL題CABDEL題FCABDEL題3.25F為 DE 的出射光線26題 3.26 圖中 MM是一厚透鏡的主軸,H、H是透鏡的主平面，S1是點光源，S1是點光源的像

20、。試用作圖法求任一物點 S2的像 S2的位置.27雙凸透鏡的折射率為 1.5，r1=10cm，r2=15cm，r2的一面鍍銀，污點 P在透鏡的前主軸上 20cm 處，求最后像的位置并作出光路圖。解：經第一界面折射成像：rnnsnsn， n=1.5 ,n=1,rr 1=10cm,s1=-20cm所以 s1，即折射光為平行光束經第二界面反射成像：rss211，s2= s1，rr 2=-15cm ,所以 s2=-7.5cm再經第一界面折射成像：rnnsnsn， n=1 ,n=1.5,rr 1=10cm,s3= s2=-7.5cm所以 s3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方 4cm 處。28 實物

21、與光屏間的距離為 l， 在中間某一位置放一凸透鏡， 可使實物的像清晰地投于屏上，將移過距離 d 之后，屏上又出現一個清晰地像。（1)試計算兩個像的大??；（2）證明透鏡的焦距（l2d2/4l ）;(3)l 不能小于透鏡焦距的 4 倍。解：(1)令 s2=x，則s1=)(xdl，題 3.26 圖s2=xl ，第一次成像：111fss f=l)xd(l)xd(1)第二次成像： f1s1 s1 f=lx)xl ( (2)由(1) (2)得2dlx， （3）則s1=2dl ， s1=2dl ，s2=2dl ， s2=2dl (4)1=s sy y1111=dldl，2=dldls sy y222212=

22、)(dldl2，又y2=y1=y，故兩次成像大小之比為：12=)dldl(2(5)(2)將（3）代入（4）得 f=4ldl22（6）（3）由（6）得) 4fl ( ld（7）所以l不能小于透鏡焦距的 4 倍。L1L題 2.2829一厚透鏡的焦距 f為 60mm，其兩焦點間的距離為 125mm,若（1）物點置于光軸上物方焦點左方 20mm處 ；（2）物點置于光軸上物方焦點右方 20mm 處；（30)虛物落在光軸上像方主點右方 20mm 處，文在這三種情況下像的位置各在何處？像的性質各如何？并作光路圖。解：由厚透鏡的物象公式的高斯公式fss111得實像）(1206018011mmss由fss111

23、得虛(120mms）mms20fss111(15mms 實像）30.一個會舉薄透鏡和一個發散薄透鏡互相接觸而成一復合光具組， 當物距為時，實像距鏡，若會聚透鏡的焦距為，問發散透鏡的焦距是多少？解：111fss， ff ，mms60，mms80符合光學的焦距為 f= 34.29cmffd f1f1 f12121， 及 d=0， f2=-14.1cm31 雙凸透鏡兩個球面表面的曲率半徑分別為和，沿軸厚度為，玻璃的折射率為，試求其焦點主點和節點的位置，并會圖表示之。解：rrn) 1n( tr1r1)1n( f12121，代入數據得 f=134.86mm ff-134.86mmf11= r1n ,得

24、f1=200mmf12= r1n ,得 f2=-400mmp=fntf2=20247mm fntf p1=-4.495mmx= f=134.86mm , x=f=-134.86mm32.兩個焦距均為的雙凸透鏡，其間距離為，組成一個目鏡，求其焦點和節點的位置，如他們的焦距分別為和，間距為，再求其焦點和節點的位置。PPBBFF-ff-xxt-ssHHKKO1O2題 3.31解：1f cmf202cmd34空氣中22ff5 . 13843422)2(22121dfffffcmff5 . 1cmfdfp12345 . 12，cmfx5 . 1cmfdfp1234231，cmfx5 . 1當cmdcmf

25、cmfcmf4,2,2,62213426262121dfffff，cmff3cmfdfp64232，cmfx3cmfdfp26431，cmfx333 一焦距為的薄凸透鏡與一焦距為的薄凹透鏡相距， 求： （）復合光具組焦點及主平面的位置。 （） 當物體放在凸透鏡前時像的位置和放大率。解析：cmf201cmf202cmd6cms301空氣中cmff2011cmff2022cmdfffff67.666202020202121=cmFF621326)20(2021fffmcmdfp2 . 02066201dfp2-0.2mcms301mcmpss1 . 010)20(301msfsfs117. 01

26、. 032) 1 . 0(3217. 11 . 0117. 0ss34 一薄透鏡的主平面和H，節平面和K和交平面和F位置如圖所示，有一發光點在物方主平面左邊處，試作光路途并計算像的位置。解：cmscmfcmf20,6,5FFHKK5c6c題3.34圖_15)5(20cmfsxf fxxcmxf fx21565cmxfs82635. 一條光線射到一折射率為的一球行水滴，求：（）后表面的入射角，問這條光線將被全反射還是部分發射？（）偏轉角；（）產生最小偏轉角的入射角。解：（1）由折射定律nsin=sin=sin-1(nsin )又臨界角c= sin-1(n1), 即c,故是部分反射。（2）由圖知：

27、=（-）+，即=2-，而=-2，所以=-4+2（3）dd=-2dx4d=0， 即21dd，而=sin-1(nsin )，cos2=31(n2-1)36.將燈絲至于空心玻璃球的中心，玻璃球的內外直徑分別為和求：（）從球外觀察到的燈絲像的位置（設玻璃折射率）；（）玻璃溫度計管子的內外直徑分別為和，求從外側觀察到的直徑數值；（）統一溫度計的豎直懸掛于直徑 100mm 得盛水玻璃燒杯的正中， 從較遠處通過燒杯壁觀察時， 溫度計的內外直徑為多少？解：rnnsnsn題 3.35（1） n=1.5 ,n=1，s1=r1=4cm, s1= 4cm 即在球心處n=1.5 ,n=1，s2=4.5cm s2= 4.

28、5cm 即像仍在球心處（2） n=1.5 ,n=1，r1=4cm ，s1=3.85cm s1= 3.896cmn=1.5 ,n=1，s2=4.396cm s2= 4.348cmd=0.304cm=3mm(3) n=1.33 ,n=1.5，r1=1.5mm ,s=1mm s1= 0.96mms2=49.46mm s2= 4.348cmd(內)=1.5mm n=1 ,n=1.33，r1=50mm ,s=48.5mm s2= 48.1mmd(外)=4mm37如題所示為梅斯林分波面干涉實驗裝置。其中1O、2O分別為兩塊半透鏡）。（共軸，且、的光心，和121212121lSSSSOOSLL試證來自）；（點的光程差兩端的光束到達和22121PSPSlPLL定性討論與軸線垂直的光屏上接收到的干涉圖樣的特點。證明：物象具有等光程性，s