1、新人教A版選修2-2 : 1.1.3導數的幾何 意義 1.1.3 導數的幾何意義 教學目標: 1了解平均變化率與割線斜率之間的關系； 2理解曲線的切線的概念； 3通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義，并會用導 數的幾何意義解題； 教學重點:曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意 義； 教學難點:導數的幾何意義 教學過程: 一創設情景 （一） 平均變化率、割線的斜率 （二） 瞬時速度、導數 我們知道，導數表示函數 y=f（x） 在 x=x0 處的瞬時變化率， 反映了函數 y=f（x） 在 x=x0 附近的變化情況，導數的幾何意 義是什么呢？ 二新課講授 （一）曲線的切線及切線的斜率:如圖

2、3.1-2 ，當沿著曲線 趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？ 來源 :ZXXK 來源 : 我們發現，當點沿著曲線無限接近點 P即 X-0時，割線趨近 于確定的位置，這個確定位置的直線 PT稱為曲線在點P處的 切線. 問題：割線的斜率與切線 PT的斜率有什么關系？ 切線PT的斜率為多少？ 容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點 P時， 無限趨近于切線PT的斜率，即 說明：（1）設切線的傾斜角為 a ,那么當 Xf0時，割線PQ 的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率. 這個概念 : 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法 ; 切線斜率的本質 -函數在處的導數 . （2）曲線在某點處的切線

3、:1） 與該點的位置有關 ;2） 要根據割 線是否有極限位置來判斷與求解 . 如有極限 , 則在此點有切線 , 且切線是唯一的 ;如不存在,則在此點處無切線 ;3） 曲線的切 線 , 并不一定與曲線只有一個交點 , 可以有多個 , 甚至可以無 窮多個 . （二）導數的幾何意義： 函數 y=f（X） 在 X=X0 處的導數等于在該點處的切線的斜率， 即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟 : 求出P點的坐標； 求出函數在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率； 利用點斜式求切線方程 . 來源 :ZXXK (二)導函數： 由函數 f(x) 在 x=x0 處求導數的過程可以看到 , 當時,

4、是一個 確定的數，那么，當x變化時，便是x的一個函數，我們叫它為 f(x) 的導函數 . 記作：或， 即: 注：在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數 (三) 函數在點處的導數、導函數、導數 之間的區別與聯系。 (1)函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自 變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。 (2 )函數的導數，是指某一區間內任意點 x而言的， 就是函 數 f(x) 的導函數 (3 )函數在點處的導數就是導函數在處的函數值，這也是 求 函數在點處的導數的方法之一。 三典例分析 例 1: (1)求曲線 y=f(x)=x2+1 在點 P(1,2) 處的切線方程 . (2)求函數

5、y=3x2在點處的導數. 解：( 1) , 所以，所求切線的斜率為 2，因此，所求的切線方程為即 ( 2)因為 所以，所求切線的斜率為 6，因此，所求的切線方程為即 來 源:ZXXK （ 2）求函數 f（x）= 在附近的平均變化率，并求出在該點處的 導數 解： 例 2（課本例 2 ）如圖 3.1-3 ，它表示跳水運動中高度隨時 間變化的函數 ，根據圖像，請描述、比較曲線在、附近的變化情況 解：我們用曲線在、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻 附近的變化情況 （ 1） 當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線 比較平坦，幾乎沒有升降 （ 2） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下

6、降，即函數在附近單調遞減 （ 3） 當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下 降，即函數在附近單調遞減 從圖 3.1-3 可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程 度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢 例 3（課本例 3 ）如圖 3.1-4 ，它表示人體血管中藥物濃度 （ 單位： ） 隨時間（單位：）變化的圖象根據圖像，估計時， 血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到） 解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃 度在此時刻的導數，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切 線的斜率 如圖 3.1-4 ，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條 切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值 作處的切線，并在切線上去兩點，如，則它的斜率為：所 以下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值： 0.2 來源 :Z#xx#k.Com