1、精選優質文檔-傾情為你奉上2017年清華大學自主招生與領軍計劃數學試題（1）設函數，若對，則實數的取值范圍是 分析：如果是解答題，我們需要對求導，對分類討論單調性，求上的最小值，進而求得答案。但是對于清華領軍考試這樣的要求快速作答的選擇題，這么做很浪費時間，可以用數形結合快速得出答案。解：問題等價于在上恒成立記，兩函數均過，且由圖像可得選A（2）設為兩個隨機事件，且，則 解：（A），所以A錯（B），所以B對（C），所以C錯（D），所以D錯選B（3）從中選出三個不同數字組成四位數（其中的一個數字用兩次），如，這樣的四位數共有 解：十個數中先選出3個數，再從中選出一個作為用兩次的，再選出兩個位置放

2、這個數，剩下兩個數再排列一下，共有個.下面考慮被排在了首位的情況：10在后三位還出現了一次：則在剩下9個數中再選兩個，于是有個.2只出現在首位：則在剩下9個數中再選兩個，其中一個重復兩次，于是有個.于是符合題目要求的四位數共有個選D（4）已知集合，設映射滿足：對任意的是奇函數，這樣的映射的個數 解：設則，均為奇數，所以只需令為奇數，所以共有種選擇選C（5）若關于的方程只有一個實數解，則實數的值 解：顯然與均關于對稱，若有之外的解，則均成對出現，所以要只有一個解，則只能在處，此時當時，時，確實只有一個解.選A（11）方程的非負整數解的個數是 答案：解析：令，先研究的解的個數，然后對于的每一個可能

3、的取值，分別研究的解的個數。考查的是類比轉化的思想既然二元一次不定方程會解，三元怎么辦？自然將未知問題（三元）轉化為已知問題（二元）去解決。具體來說：的非負整數解有組，其中，分別研究的非負整數解的個數：（寫一寫，看一看歸納猜想！當然直接求解也可以，但容易算錯）組數所以，總組數（6）設為非零向量，且，則與夾角的最大值為（B） 解析：因為，取，則平移向量的起點到點，則向量的終點在以為圓心，以為半徑的圓上，如下圖所示，則與夾角為，方法一：根據幾何意義可知，當與圓相切時，夾角最大，此時，則,則.方法二：在中，不妨假設，則，當且僅當時，取最小值，此時最大，為.方法三：假設，則，則，設與夾角為，則令，則，

4、則所以（7）已知三棱錐的底面為邊長為3的正三角形，且則的體積為（C） 解析：如圖，因為,過點向面作垂線，因為斜邊長相等，則射影相等，可知到頂點距離相等，因此為的外心，因為為直角三角形，所以為的中點.平面，則,所以.（8）設函數，若對任意的實數則實數的取值范圍是（A） 解：方法一：排除法，當時，顯然滿足題意，可以排除選項BD；當時，顯然，也滿足題意，因此排除D選項，選A.方法二：即則，題目等價于對任意的實數 恒成立，當時，不等式顯然成立，當時，題目等價于對任意的實數恒成立，因為，而且0能取到，所以的最大值為0，因此.（9）設正實數滿足，則的最小值為 D 解：設，則由均值不等式可得，又因為，所以，

5、則，又因為，所以，故選D.（10）給定圓及圓內一點，設是圓的兩個動點，滿足，則的中點的軌跡為 (A) 一個圓 一個橢圓 一段雙曲線 一段拋物線解：如圖，建立平面直角坐標系，不妨假設圓的方程為，則,所以,因為，所以，設，則化簡得：，即，所以軌跡為一個圓.（11）方程的非負整數解的個數是 答案：解析：令，先研究的解的個數，然后對于的每一個可能的取值，分別研究的解的個數。考查的是類比轉化的思想既然二元一次不定方程會解，三元怎么辦？自然將未知問題（三元）轉化為已知問題（二元）去解決。具體來說：的非負整數解有組，其中，分別研究的非負整數解的個數：（寫一寫，看一看歸納猜想！當然直接求解也可以，但容易算錯）

6、組數所以，總組數（12）設整數滿足且對任意整數，是24的倍數，滿足條件的有序數組的個數為 答案：解析：整體思路盡量給出足夠強的必要條件，進而枚舉解決。具體來說：令，易得，所以可能的取值有種；下面分析即可；令，易得；令，易得；因此，設，其中，更進一步討論，有：，即，因為奇數的平方模余，偶數的平方模余，所以只需，即可滿足題意；當時，；當時，；當時，； 當時，；因此總共有種情況（13）設是三角形的三個內角，則的最大值 答案：解析：方法一：嘗試和差化積，發現搞不定，再嘗試積化和差：取等條件顯然能取到，從而選方法二：根據不等號的方向和整個式子的結構，想到采用均值不等式進行放縮，然后和差化積：取等條件顯然

7、能取到，從而選方法三：作為選擇題，容易根據的不對稱性判斷，選項應該不是答案，而，所以直接猜。此方法適用于時間不夠的情況。（14）設則 答案：解析： ； ；所以 （15）設是的排列，且滿足，則這種排列的個數是 答案：解析：首先若（）滿足題意，則（）也滿足題意，所以答案一定是或；此時若時間不夠，直接選或。由題意，所以（或對換），此時有：，所以為奇數，下面分類討論：若，有，矛盾；若，則，從而；若，則，此時對應兩種情況；若，則，此時無解；其它情況無解；綜上，滿足題意的排列有種。（16）設，對于有序數組，記為中所包含的不同整數的個數，例如，當取遍所有的個有序數組時，的平均值為 【答案】C解析：首先的取值

8、有4種情況。當時，說明的取值各不相同，因為，所以共有種不同情況；當時，說明取3個不同的數值，先把對分成三組，任取兩個字母為一組，剩余兩個字母各自一組，共有種，然后再從任取三個數字有種，所以共有種不同情況；當時，說明取2個不同的數值，第一種情況：有3個字母取值相同，根據上述分析有種不同情況；第二種情況：分別有2個字母取值相同，根據上述分析有種不同情況；當時，說明僅取1個數值，所以有種不同情況。所以的平均值為（17）設，則的體積為 【答案】D解析：由題知在空間直角坐標系中，幾何體在第一象限，且與軸的交點分別為，法1：因為,所以幾何體的體積為法2：以為棱的平行六面體的體積為而三棱錐的（18）已知在區

9、間內有兩個零點，則的取值范圍為 【答案】B解析：二次函數在區間內有兩個零點充要條件是在直角坐標系中，畫出上述區域所求，對于拋物線，與縱軸的交點在點之間， 因為邊界不能取到，所以解得.（19）在中，為上的點，且，設則 解析：為中點，為中點，為中點，如圖所示，故，D正確（20）一根直細桿放在數軸上占用的范圍是區間，若該細桿的質量線密度為，則其質量為 解答：用換元法求積分：,記則質量等于 （21）設函數，則有兩個極大值點 有兩個極小值點 的極大值點 的極小值點解答：直接求導數，得到 由導數可知函數由3個極值點，并且 綜上可知是函數的極大值點，是函數的極小值點；答案BC. （22）一道四選項的選擇題，

10、趙、錢、孫、李各選了一個選項，且選的恰好各不相同.趙說：我選的是；錢說：我選的是之一；孫說：我選的是；李說：我選的是.已知四人中只有一人說了假話，則說假話的人可能是趙 錢 孫 李解答：假設趙說了假話，則錢孫李說的真話，錢孫李分別選了B,C,D,因為選的恰不相同，推出趙選A，即趙沒說假話，矛盾.假設錢說了假話，則錢選的是A，而趙選A說的是真話，也矛盾;假設孫說了假話，則趙錢李說的是真話，一種可能是孫選的是B，錢選的是C，沒有矛盾.同理，假設李說了假話，則趙錢孫說了真話，一種可能性是李選了B，錢選了D，也沒有矛盾.綜上，答案是CD.（23）某人投100次籃球，設投完前次籃球時的命中率為.已知則存在

11、，使得 答案：ABCD.（24）設為兩個單位向量，是實數，若，則的最大值為1 的最大值為 的最大值為 的最大值為 解答：; ,從而最大值是，取到極大值時;從而的最大值為，取到極大值時; 答案:BD（25）設復數滿足：，則的的最小值為 的最小值為 的最大值為 的最大值為 【答案】BD解析：由題可設， ， 把兩邊平方得把式代入上式，有所以 因為，所以，所以且由的任意性可知，均能取到.（26）已知橢圓，直線與橢圓交于兩點，為橢圓上的動點，設直線分別與直線相交于兩點，則橢圓上滿足的點恰有2個橢圓上滿足的點恰有4個軸上滿足 的點恰好有2個軸上滿足 的點恰好有4個解析：橢圓，求得，設直線，因為所以（點處切

12、線斜率），易得聯立與橢圓方程，化簡得： 由韋達定理，得，再求得故利用兩點式，可得直線方程：與直線聯立，求得因此需滿足，顯然橢圓上有4個點滿足此要求。欲滿足，即滿足，即，也即，軸上滿足此要求的點恰好有2個綜上，選BC（27）已知為橢圓的左焦點，設是橢圓的右準線上一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，則 的面積為定值 的周長為定值解析：，離心率，右準線即橢圓的右焦點為，由圓錐曲線的切線性質（切線方程），若是橢圓上的點，是橢圓右準線上點，且是橢圓切線，則有成立，同理，即共線，為焦點弦，焦點弦最短為通徑，故，B正確，A錯誤，對來說，三角形的周長為，為定值，D正確；顯然不是定值，故三角形面積不是定值，C

13、錯誤綜上，選BD（28）設滿足，則點只有有限個 有無限個 位于同一條直線上 位于同一條拋物線上 【答案】C解析：將進行代數變形，有令函數，易證是奇函數，且在上單調遞增。因為由是奇函數，由單調遞增，,得.（29）設函數是上的奇函數，若的圖象關于直線對稱，且在區間上是單調函數，則的值不唯一 的值唯一 的值不唯一 的值唯一 答案：AC解：根據題意（），又在區間上單調，有，因此或，當時，；當時，（30）已知為隨機變量，則 答案：ABC解：（A），正確；（B）,正確；（C），相等，正確；（D）反例：時，（31）已知實數滿足：當時，恒有，則 答案：ABD解：處理這類選擇題，通常采用必要條件解題：令，有，線

14、性規劃如圖所示：C選項反例：（32）設均為正數，且，則中小于1的數最多只有一個 小于2的數最多只有兩個 答案：AC解：（A）若，則，矛盾，故選項正確；（B）若，則，不矛盾，例如取，（），故選項錯誤；（C）若（），則，求和后與條件矛盾，故選項正確；（D）反例，取（）33數列中，A一定是等比數列B當，時C當各項為正數時，D當存在正整數使得時，解析：根據對稱特點，將相加得故為等比數列，所以A選項正確；于是所以，遞推有將代入得可寫為于是同理時，上述各式也成立將，代入，得，所以代入中得，故B選項正確當各項為正數時，假設不全相等，（i）若最小，則現取當時，故總有充分大的，當時，這與題設矛盾（ii）若不是最小數，則從而現取當時，故總有充分大的，當時，這與題設矛盾所以當各項為正數時，故C選項正確當存在正整數使得時，易得，故D選項正確（競賽原題）設，數列中，且，試求證：若則證明：根據對稱特點，將相加得故為等比數列，于是所以，遞推有將代入得可寫為于是同理時，上述各式也成立假設不全相等，不妨設最小，則現取當時，故總有充分大的，當時，這與題設矛盾從而