1、(一)例若橢圓的準(zhǔn)線方程為，求實(shí)數(shù)m的取值集合，并寫出此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與離心率的大小解：方程表示橢圓，則m橢圓的準(zhǔn)線方程為，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，于是有m，從而a，bm，解得m所以m的取值集合為3，并且橢圓方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±，0），離心率為例如果橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)把橢圓的對(duì)稱軸上夾在兩條準(zhǔn)線之間的線段三等分，那么此橢圓的離心率等于解：社橢圓的方程為由于，兩準(zhǔn)線l、l之間的距離為，依題設(shè)條件：有所以從而橢圓的離心率例已知是橢圓在x軸上方的焦點(diǎn)，是此橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分所成的比為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程解：把已知橢圓變形為a2=25,b2=16從而焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)

2、的坐標(biāo)為（x，y），則由分所成比為，得：代入得：例已知焦點(diǎn)（，）的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程解：由焦點(diǎn)（，）知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且（），故設(shè)橢圓方程為：將代入整理得：由韋達(dá)定理： 解得t=75所求橢圓方程為例已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于、兩點(diǎn)，若，求l方程分析：直線與橢圓相交問題，交點(diǎn)設(shè)而不求，應(yīng)用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，并注意分類討論思想的應(yīng)用解：c=54=1,F2(1,0)當(dāng)k不存在時(shí)，l：x代入橢圓方程，k存在故設(shè)l：y=k（x），代入橢圓方程整理得：設(shè)（x1,y1）,B(x2,y2)由韋達(dá)定理：又k2=1,k=±1所以或(二)例1求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦

3、點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).選題意圖：用簡(jiǎn)單例題鞏固橢圓的幾何性質(zhì).解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：這里a=5,b=1,所以.因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別是2a=10和2b=2,兩個(gè)焦點(diǎn)分別是、，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).例2已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)6，且，求橢圓的方程.選題意圖：考查a、b、c的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí).解：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，橢圓的方程是或.說明：當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不知道時(shí)，橢圓方程有兩種情況.例3已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸的2倍，且橢圓過(-2，-4)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程.解：2a=2×2b,a=2b,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為點(diǎn)(-2，-4)在橢圓上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為點(diǎn)(-2，-4)在橢圓上， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(三)例1已知橢圓(ab0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是橢圓上的任一點(diǎn)，求證：PF1=a+ex0,PF2=a-ex0，其中e是橢圓的離心率.選題意圖：考查橢圓第二定義的基本應(yīng)用；考查轉(zhuǎn)化基本思想方法，把兩點(diǎn)距離計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到特殊直線距離計(jì)算問題.證明：橢圓 (ab0)的兩焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0),相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是.橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到

5、相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這橢圓的離心率.化簡(jiǎn)得：.說明：PF1、PF2都是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦點(diǎn)半徑.稱作焦半徑公式，結(jié)合這兩個(gè)公式，顯然到焦點(diǎn)距離最遠(yuǎn)(近)點(diǎn)為長(zhǎng)軸端點(diǎn).例2求兩對(duì)稱軸都與坐標(biāo)軸重合，離心率e=0.8，焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于的橢圓的方程.選題意圖：本題考查橢圓的離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程等基礎(chǔ)知識(shí).解：設(shè)所求橢圓的方程為 (ab0)或 (ab0).由題意，得：解這個(gè)方程組，得：所求橢圓的方程為：.例3在橢圓上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍.選題意圖：訓(xùn)練到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離之間的關(guān)系等基本知識(shí).解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為

6、橢圓的左、右焦點(diǎn).橢圓的準(zhǔn)線方程為, 把代入方程得.因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為().說明：此題也可利用焦半徑公式來求.(四)例1已知橢圓(a0，b0,為參數(shù))上的點(diǎn)P(x,y)，求：(1)x、y的取值范圍；(2)3x+4y的取值范圍.選題意圖：熟悉參數(shù)方程中各量的幾何意義.解：(1)-1cos1,-1sin1,-aacosa,-bbsinb.-axa,-byb為所求范圍.(2)(其中為第一象限角，且tan=).而-1sin（）1.即為所求.例2把參數(shù)方程(為參數(shù)).寫成普通方程，并求出離心率.選題意圖：考查橢圓的離心率及參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系.解：由參數(shù)方程得：.平方相加得：為所求普通方程.橢圓的離

7、心率.例3設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸、離心率,已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).選題意圖：考查靈活運(yùn)用橢圓參數(shù)方程解決問題的能力.解法1：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 (其中，)由.設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d，則： 如果即那么當(dāng)時(shí)d取得最大值由此得矛盾.因此必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，d取得最大值，解得所求橢圓的參數(shù)方程是由求得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)是解法2：設(shè)所求橢圓的方程為（）由解得設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d.則其中-b，如果，則當(dāng)y=-b時(shí)，d取得最大值.，解得矛盾.故必有b，當(dāng)時(shí)d取得最大值解得b=1,a=2所求橢

8、圓方程為由可求得到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)為（±）.(五)例1已知橢圓的焦點(diǎn)是（，）和（，），直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線.(1)求橢圓的方程；(2)又設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，且，求.解：(1)，又橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上橢圓的方程為（）由解得又即.例2求與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)為M(1，1)的直線方程.解法1：由橢圓的對(duì)稱性知垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則交點(diǎn)間的線段的中點(diǎn)必然在x軸上，不可能是點(diǎn)M(1，1)，因此，所求的直線與x軸不垂直，設(shè)它的方程為，代入橢圓方程，整理得： 這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由韋達(dá)

9、定理得：k必須滿足條件由解得經(jīng)檢驗(yàn)，也能使式成立，所求直線的方程為：解法2：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,（x2,y2）.點(diǎn)A、B都在橢圓上，-，得：.AB的中點(diǎn)為M(1，1)，顯然，即直線AB的斜率為-，所求直線方程為即4x+9y-13=0.檢驗(yàn)知，符合題意.說明：與橢圓的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，往往設(shè)出弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)，把端點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得到兩個(gè)方程，然后相減.但這時(shí)也要注意到0. 例3已知橢圓（），、是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P(，)，證明.分析：要善于將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)（，），（，），的中點(diǎn)M（，）.（）點(diǎn)A、B在橢圓上，則 (2)線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)（，）有兩種等價(jià)方式()M為AB中點(diǎn)有 PM則·，即 （），則 再?gòu)那笞C的結(jié)論看，是要求P點(diǎn)橫坐