1、高等傳熱學導熱理論一一相變導熱(移動邊界問題)討論 第五講：相變導熱(移動邊界問題)：移動邊界的導熱問題有許多種，本講只講固液相變時的導熱模型5.1相變換熱特點與分類：特點：(1) 相變處存在一個界面把不同相的物質分成兩個區間(實際不是一個面, 而是一個區)。(2) 相變面隨時間移動，移動規律時問題的一部分。(3) 移動面可作為邊界，決定了相變問題是非線性問題。 分類：(1) 半無限大體單區域問題(Stefan Question(2) 半無限大體雙區域問題(Neumman Question)(3) 有限雙區域問題5.2相變導熱的數學描述和解：假定：固液兩相內部只有導熱，沒有對流(適用于深空中相

2、變)物性為常量。不考慮密度變化引起的體積變化。控制方程：對固相：2 2 丄二一對液相：丄3 一”asxal .1: x初值條件:"：ts ¥ =t:;邊界條件:X =0 ：tsortl =twx =°0 : t| ort s 鼻血 orx = : t|ort s =t在相變界面，熱量守恒，溫度連續，Qi為相變潛熱：匸a亂內丄門 d 6(®x =()： $| _' lQ land ts = L = t pcXcXd T5.2.1半無限大體單區域問題(Stefan Question的簡化解：以融解過程為例：-2忽略液相顯熱，丄叢 _t2- =o，方程

3、解為一直線，由邊界條件得: al cTcX=tw ' (tp -tw)X/對固相，忽略溫差：tw二tp，即固相溫度恒等于相變溫度等于初始溫度。由相變處得換熱條件求S的變化規律：x-?lQld、（）dxd、（.）d .j. =2a|C| （tw -tp）./Q|=.,2ai. Stei式中：Stei =c(tp tw)/Qi叫Stefan' Number,物理意義是相變時液相顯熱和液固潛熱比。液體厚度與時間的開平方成正比。所以:進入物體的融解熱流密度為：S后Stwtp)'熱流密度與時間的開平方成反比。5.2.2半無限大體單區域問題(Stefan Question的精確解：

4、同樣以融解過程為例：2對液相，丄 孑，設方程解為(滿足初始條件)：a| 去 ex1= A Berf (x / . 4al.)由邊界溫度條件得：二erf (x/"”)tp -tw erf4alT)由相變處得換熱條件求對固相，忽略溫差：tw =tp，即固相溫度恒等于相變溫度等于初始溫度。S的變化規律，設 0=6 / J4aj叫凝固常數，液體厚度也與時間的開平方成正比。x =、（.）l 丄 I Qi dxlPlQlyn2.(tp -tw)=0二 exp()erf (')al.i .Jexp(')erf(.】)=(tw -tp)/(、二 gal) = Stel /、.二上式是

5、關于凝固常數的方程，叫相變問題的特征方程。進入物體的融解熱流密度為:=0：=(twtp)，熱流密度同樣-?.； ： alerf )與時間的開平方成反比。5.2.3半無限大體雙區域問題(NeummanQuestior)的精確解: 同樣以融解過程為例：對液相，設方程解為(滿足初始條件)：al ct exti =tw Aerf (x/4ai .)由邊界溫度條件得：勺二3 erf （x/4a）wtp -twerf (、； / ； 4al .)A 二erf(、/ ,4ai .)對固相，as CT21認 二，設方程解為（滿足初始條件） jxti 二 t： Berfc (x/4as )由邊界溫度條件得：tp

6、ts a _ erfc(X/J4asl) B _7： erfc (、/. 4as )erfc (、 / * 4a$.)tp t:由相變處得換熱條件求S的變化規律，設門/.4a|叫凝固常數，液體厚度也與時間的開平方成正比,:+x = J. （.）:！亠林 Q ex得相變問題的特征方程：:ti；xA £ eg Ju a iti =tw Aerf (x/4ai .)ti =tw Aerf (x/4ai .)：ts；:x2' (t p - tw )p述 exp( 11 )erf (I 】)；al .冬(t _t jI (tw " t p-二 exp( J'：； j

7、)erfc (: I 】)_'as -)/ al g _(tp -t：J/ Vl”Ql _-22電1 exp 1 ) erf (門)1 exp 1 )erfc (門)steStes 一：匚/ 幾2 2Upe )erf (門) 門 exp(門)erfcC)進入物體的融解熱流密度為:-Ct| q = i 一:Xx 20:=(twtp)，熱流密度還是: al . erf 1)與時間的開平方成反比。5.2.4非線性問題求解方法總結：對非線性問題，直接求解難度大，一般是進行適當簡化，在簡化基礎上構造一個滿足大多數唯一性條件的，保留部分待解常數的解函數。將這個解函數代入 余下的唯一性條件，求出待解

8、常數，即為近似解或精確解。5.3關于湖水結冰問題的討論：幾何條件假定：湖面很大，也很深，看成半無限大體。換熱條件假定：結冰前湖水均溫，為 ，湖水主體溫度一直保持18。大氣環 境溫度為ta，湖面與大氣間的表面傳熱系數為常量 hl,冰層下表面與湖水間的表 面傳熱系數也為常量h2。物性假定：因為在0C附近，冰的比熱CsQ|，忽略冰層熱容作用。由此可 得在冰層中的溫度分布為直線。tp -ta設坐標原點在湖面，冰層厚度為 S，我們根據能量守恒和平壁導熱規律得：（1）= h2（G tp） +PsQl 157/（-d .冰層溫度分布:丸-（tp -tw）x/ J.Fom = t： - tp / tp -1S

9、te s = c s 1.1 p - ta / Q12 r ,2Fo = h1/ I. ： sC S . S = a s*. / . S / h1：|'sd、d、.=mR -代入(1) 式:h1 t p - ta1 mR（1、.）tp -tad .=0 1 . = 0, t s = t ： -,、： = 0 j. = 01d d -1 -mR（1 、.）_ 12 -.二 0.5 du /（1mR、u）1.= - - l n1 mR、 /（1 一 mR） / mR = f （ mR ,、）討論：當 7 , :-max > 1-mR /mR。mR 定時，冰層的最大厚度也就確定。此時湖水對冰層的自然對流熱流量等于湖面對大氣散發的熱流量，湖水凝結停 止。2當tp > mR =0，湖水比熱無窮大，21 -11-1此種情況冰層沒有極大值，可一直增厚。即：=(* 2Cs(tp -ta)h；. / LsCsQl -1)。當mR =1 ，冰層得到的熱流量等于散出的熱流量，.一_cln ： c =0, 一 =，此種情況由于厚度不能為負值，故不會結冰，盡